Résistance électrique de l'espace compris entre deux cylindres

Texte intégral

(1)

HAL Id: jpa-00236928

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Submitted on 1 Jan 1874

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cylindres

M. Blavier

To cite this version:

M. Blavier. Résistance électrique de l’espace compris entre deux cylindres. J. Phys. Theor. Appl.,

1874, 3 (1), pp.151-154. �10.1051/jphystap:018740030015100�. �jpa-00236928�

(2)

I5I

RÉSISTANCE ÉLECTRIQUE DE L’ESPACE COMPRIS ENTRE DEUX CYLINDRES;

PAR M. BLAVIER,

Inspecteur divisionnaire des lignes télégraphiques.

( FI--,. )

Le condensateur est formé de deux

cylindres indéfinis,

dont l’un

est intérieur à

l’autre;

le

cylindre

intérieur est en communication

avec une source

électromotrice ;

l’armature extérieure

communique

avec la terre. Nous devons déterminer la valeur de la

charge

pour

toute

position

des deux

cylindres

dont leurs axes,

d’ailleurs,

restent

parallèles.

On sait que le

potentiel V

d’une distribution

électrique

en un

point quelconque

est

égal

a la somne des rapports des masses élec-

triques

ni à leur distance 1 au

point

considéré

En posant V = const., on a une série de surfaces

équipotentielles

ou de

niveau;

en

chaque point,

la force

qui agirait

sur une masse

électrique

q est normale à la surface

équipotentielle qui

passe par

ce

point

et a pour valeur

dV étant

l’augmentation

du

potenticl

à une distance infiniment

petite

dN du

point considéré, comptée

sur la normale à la surface de niveau.

Les

lignes

de force sont les

lignes

normales aux surfaces

équi- potentielles.

Si un corps conducteur est

électrisé,

le

potentiel

est constant

dans toute son

étendue, puisque,

pour

qu’il y

ait

équilibre,

la force

qui agit

en

chaque point

doit être nulle. La surface extérieure du corps est une surface de

niveau,

et la force lui est en

chaque point

normale. On

démontre,

de

plus,

que toute la

cliarge

réside entre la

surface extérieure et le corps isolant

qui

entoure le conducteur.

En

chaque point, l’épaisseur

de la couche

électrique,

ou la

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphystap:018740030015100

(3)

charge qui correspond

la dérivée étant

prise

à extérieur.

Si l’on

prend

les dérivés secondes de

V.

c’est-à-dire

de Em/r,

par rapport à x, y et z, et w 1 "11 fait leur somme, on est conduit à

l’équation

fondamentale

(1()iii on a l’habitude de

resprésenter

le

premier

terme par le sym- bole AV.

Cette

équation, identique

avec celle de la

propagation,

ne

s’ap- plique qu’aux points

situes en dehors des niasses

électriques.

Pour déterminer le

potentiel

aux divers

points

de

l’espace,

on a

donc,

comme dans le cas de la

propagation,

il

intégrer l’équations

et à déterminer convenablement les constantes.

Considérons, comme nous l’avons fait

précédemment,

deux cy- lindres

parallèles

indéfinis à hase circulaire.

Si l’on

prend

l’axe des z

parallèle

aux axes des

cylindres,

la va-

lent du

potentiel

scra

indépendante

de la

1-ariaLle z,

et

l’équation

dinén 11 t iullc deviendra

L’intégrale générale

a été donnée

plus

haut

[équation (3) J.

Les

cylindres

coupent lc

plan

des xy suivant deux circonférences

qui

sont des courbes

d’égale tension,

et les calculs faits

précédem-

ment à l’occasion de la

propagation

sont

applicables.

En

adoptant

les mêmes

notations,

on a, pour la valeur

générale de V (1),

(t) Le potentiel V et la tension Il représentent les mêmes grandeurs; c’est seulement

pour éviter la confusion que nous avons adopté deux notations différentes.

(4)

I53

a et (1.’ étant les distances de deux

points

fixes :B1 et N

(fig. 1)

au

centre 0 du

grand cercle;

leurs valeurs sont données par les

équa- tions (11)

et

(12).

Si le

cylindre

extérieur est en communication a, ec la terre, son

potentiel

V1 est

nul;

soit V2 celui de la source électromotrice avec

laquelle

le

cylindre

intérieur est en

coinmunication,

on a

on en tire

Il reste à déterminer la

charge électrique

du

cylindre intérieur, qui

est en communication avec la source

électrique.

L’épaisseur

de la couche

électrique,

ou la densité en

chaque point,

est

égale

à

-I/4T

dV/dN pour un élément de courbe ds et une

longueur

d des

cylindres ;

la

charge dQ

sera donc

Pour avoir la

charge totale,

il faut

prendre l’intégrale

dans toute

l’étendue du cercle

On a vu que cette

intégrale

a pour valeur 2T A: donc

Le

pouvoir

condensant H est

proportionnel a

la

charge Q

En

remplaçant log &

par sa valeur en fonction de J.

(21).

on

trouve

31 étant une constante.

(5)

Ce résultat nous montre, ainsi que nous l’avons

dit,

que le pou- voir condensant suit la mème loi que la

conductibilité,

c’est-à-dire que, en

déplaçant

les

cylindres,

la

charge

varie en raison inverse de la valeur de la résistance À. Cela n’a rien

qui

doive

surprendre;

car, en

appliquant l’analyse

à

l’hypothèse

des deux

fluides,

on trouve

que les lois de l’induction

électrostatique

sont les mêmes que celles de la

propagation

de l’électricité.

Pour avoir une

représentation géométrique

de

l’épaisseur

de la

Fig. 2.

couche

dccLrique

aux divers

points

du

cylindre intérieur,

on tra-

cera une courbe

d’égale

tension très-voisine de la circonférence ABC

(fié;-. 2);

on mènera aux divers

points

de cette dernière des nor-

malcs sur chacune

desquelles

on

prendra

une

longueur

inv erse-

ment

proportionnelle

à la distance des deux

courbes, comptée

sur

cette normale.

On

pourrait

avoir une

expression

de la

charge électrique qui correspond

à

chaque

élélllcnt ds cn se servant de

l’équation

car on a Bu que la B aleur de

dV/dN ds,

pour chacun des termes de l’in-

tégrale générale,

est

Ad (rx) [équation (19)].

Figure

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