Résistance électrique de l'espace compris entre deux cylindres

HAL Id: jpa-00236928

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Submitted on 1 Jan 1874

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cylindres

M. Blavier

To cite this version:

M. Blavier. Résistance électrique de l’espace compris entre deux cylindres. J. Phys. Theor. Appl.,

1874, 3 (1), pp.151-154. �10.1051/jphystap:018740030015100�. �jpa-00236928�

I5I

RÉSISTANCE ÉLECTRIQUE DE L’ESPACE COMPRIS ENTRE DEUX CYLINDRES;

PAR M. BLAVIER,

Inspecteur divisionnaire des lignes télégraphiques.

( FI--,. )

Le condensateur est formé de deux

cylindres indéfinis,

^{dont l’un}

est intérieur à

l’autre;

^le

cylindre

^{intérieur est en} communication

avec une source

électromotrice ;

l’armature extérieure

communique

avec la terre. Nous devons déterminer la valeur de la

charge

pour

toute

position

^{des deux}

cylindres

^{dont leurs axes,}

d’ailleurs,

^restent

parallèles.

On sait que le

potentiel V

d’une distribution

électrique

^{en un}

point quelconque

^est

égal

^{a la somne des} rapports ^{des masses élec-}

triques

^{ni à} leur distance ^{1 au}

point

^considéré

En posant ^{V =} const., ^{on a une série} de surfaces

équipotentielles

ou de

niveau;

^en

chaque point,

^{la force}

qui agirait

sur une masse

électrique

q ^est normale à la surface

équipotentielle qui

passe par

ce

point

^{et a} pour valeur

dV étant

l’augmentation

^du

potenticl

^{à une distance infiniment}

petite

^{dN du}

point considéré, comptée

^sur la normale à la surface de niveau.

Les

lignes

^{de force sont les}

lignes

^{normales aux surfaces}

équi- potentielles.

Si un corps conducteur ^est

électrisé,

^le

potentiel

est constant

dans toute son

étendue, puisque,

pour

qu’il y

^ait

équilibre,

^{la force}

qui agit

^en

chaque point

^{doit être nulle.} La surface extérieure du corps ^{est une} surface de

niveau,

^{et la force lui est en}

chaque point

normale. On

démontre,

^de

plus,

que ^toute la

cliarge

^{réside entre la}

surface extérieure et le _corps isolant

qui

^entoure le conducteur.

En

chaque point, l’épaisseur

^{de la couche}

électrique,

^{ou la}

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphystap:018740030015100

charge qui correspond

la dérivée étant

prise

^à extérieur.

Si l’on

prend

les dérivés secondes de

V.

c’est-à-dire

de Em/r,

par rapport ^à x, y ^{et z, et w} 1 ^"11 fait leur _somme, on est conduit à

l’équation

fondamentale

(1()iii on a l’habitude de

resprésenter

^le

premier

^terme par le sym- bole AV.

Cette

équation, identique

^avec celle de la

propagation,

^ne

s’ap- plique qu’aux points

^{situes en} dehors des niasses

électriques.

Pour déterminer le

potentiel

^{aux divers}

points

^de

l’espace,

^{on a}

donc,

^{comme dans le cas de la}

propagation,

^il

intégrer l’équations

et à déterminer convenablement les constantes.

Considérons, comme nous l’avons fait

précédemment,

deux cy- lindres

parallèles

^{indéfinis à hase} circulaire.

Si l’on

prend

l’axe des z

parallèle

^{aux axes des}

cylindres,

^{la va-}

lent du

potentiel

^scra

indépendante

^{de la}

1-ariaLle z,

^et

l’équation

dinén 11 t iullc deviendra

L’intégrale générale

^{a été donnée}

plus

^haut

[équation (3) J.

Les

cylindres

coupent ^lc

plan

des xy suivant deux circonférences

qui

^sont des courbes

d’égale tension,

^et les calculs faits

précédem-

ment à l’occasion de la

propagation

^sont

applicables.

En

adoptant

^{les mêmes}

notations,

^on a, pour la valeur

générale de V (1),

(t) ^Le potentiel V ^{et la tension Il} représentent ^{les mêmes} grandeurs; ^{c’est seulement}

pour éviter la confusion que nous avons adopté deux notations différentes.

I53

a et (1.’ étant les distances de deux

points

fixes :B1 et N

(fig. 1)

^au

centre 0 du

grand ^cercle;

^{leurs valeurs sont données par les}

^équa- tions (11)

^et

(12).

Si le

cylindre

^{extérieur est en} communication ^{a, ec} la terre, son

potentiel

^{V1 est}

nul;

^{soit V2 celui de la source} électromotrice ^avec

laquelle

^le

cylindre

^{intérieur est en}

coinmunication,

^{on a}

on en tire

Il reste à déterminer la

charge électrique

^du

cylindre ^intérieur, qui

^{est en} communication avec la source

électrique.

L’épaisseur

^{de la couche}

électrique,

^ou la densité en

chaque point,

^est

égale

^à

-I/4T

^{dV/dN pour un élément de courbe ds et une}

longueur

^{d des}

cylindres ;

^la

_charge dQ

^{sera donc}

Pour avoir la

charge totale,

^{il faut}

prendre l’intégrale

^{dans toute}

l’étendue du cercle

On ^a vu que ^cette

intégrale

^a pour valeur 2T A: donc

Le

pouvoir

condensant H est

proportionnel a

^la

charge Q

En

remplaçant log &

par ^sa valeur en fonction de J.

(21).

^on

trouve

31 étant une constante.

Ce résultat nous montre, ^ainsi que ^{nous l’avons}

dit,

que le _pou- voir condensant suit la mème loi _{que la}

conductibilité,

c’est-à-dire que, ^en

déplaçant

^les

cylindres,

^la

charge

^{varie en} raison inverse de la valeur de la résistance À. Cela n’a rien

qui

^doive

surprendre;

car, en

appliquant l’analyse

^à

l’hypothèse

^{des deux}

fluides,

^{on trouve}

que les lois de l’induction

électrostatique

^{sont les mêmes} que celles de la

propagation

de l’électricité.

Pour avoir une

représentation géométrique

^de

l’épaisseur

^{de la}

Fig. ^2.

couche

dccLrique

^{aux divers}

points

^du

cylindre intérieur,

^{on tra-}

cera une courbe

d’égale

^tension très-voisine de la circonférence ABC

(fié;-. 2);

^{on mènera aux divers}

points

^{de cette} dernière des nor-

malcs sur chacune

desquelles

^on

prendra

^une

longueur

^{inv erse-}

ment

proportionnelle

^{à la} distance des deux

courbes, comptée

^sur

cette normale.

On

pourrait

^{avoir une}

expression

^{de la}

charge électrique qui correspond

^à

chaque

élélllcnt ds cn se servant de

l’équation

car on a Bu que la ^{B aleur} de

dV/dN ^ds,

pour chacun des ^termes de l’in-

tégrale générale,

^est

Ad (rx) [équation (19)].