Méthode On doit déterminer 2 vitesses. Il faut donc utiliser les 2 équations de conservation à notre disposition:

Licence LPAI, 2007-2008, Ressaut hydraulique simplifié – Daniel Huilier Tiré du Ryhming -EPFL

Ressaut Hydraulique (cas simplifié)

Considérons un ressaut hydraulique stationnaire. Par une mesure, on trouve qu'il y a une hauteur h₂ différente de h₁ de part et d'autre du ressaut aux endroits où les vitesses sont uniformes. A partir d'une telle mesure, établir la vitesse v1 et v2 en fonction de h1 et h2. Observez qu'il est important de tenir compte de la pesanteur. La pression atmosphérique est p=p_B. ^B

Méthode

On doit déterminer 2 vitesses. Il faut donc utiliser les 2 équations de conservation à notre disposition:

• L'équation de continuité pour trouver la relation entre v₁ et v₂

• On exprime l'équation de conservation de la quantité de mouvement en tenant compte de la pesanteur. On intègre la composante selon l'axe x car les vitesses v1 et v2 sont parallèles à l'axe.

Solution

• L équation de continuité pour trouver la relation entre v1 et v2 :

∫∫∫

∫∫

r r

On tient compte de l'hypothèse d'un écoulement stationnaire et incompressible, et on intègre sur les surfaces d'entrées et de sortie du volume de contrôle (L'intégrale sur la surface latérale étant nulle), en supposant l’écoulement non visqueux (on néglige la couche limite à la base/au fond):

0 h v h

v_{1 1} +ρ _{2 2} = ρ

− 1

Licence LPAI, 2007-2008, Ressaut hydraulique simplifié – Daniel Huilier Tiré du Ryhming -EPFL

Soit

1 2 2 1

h h v v =

On exprime l'équation de conservation de la quantité de mouvement en tenant compte de la pesanteur. On intègre la composante selon l'axe x car les vitesses v1 et v2 sont parallèles à l'axe.

∫∫

∫∫∫

∫∫∫

∫∫

∑

r r r r

r r r

Soit pour la projection suivant x (forces de volume fx nulle) :

∫

∫

∫

∫

∫

2 h

0 B

1 h

0 B

2 h 0

2 2 1

h 0

2

1dh v dh (p gh)dh (p gh)dh p dh

v

) h h ( 2 p gh h 2 p

gh h p h v h

v _{B 1 2}

2 2 2

B 2 1 1

B 2 2 2 1 2

1 +ρ = +ρ − −ρ − −

ρ

−

) h h ( 2 g h 1 v h

v₁² ₁+ρ ²_{2 2} = ρ ₁² − ²₂ ρ

−

Or, d'après l'équation de continuité: ₂

1 2

1 .v

h v = h soit après simplification:

2 ) h (h h gh

v ^{1 2}

2 2 1

2

= +

2 ) h (h h gh

v ^{1 2}

1 2 2

1

= +

2