IPST : Licence LPAI – L3-S6 Mécanique des Fluides (Daniel Huilier)
Contrôle continu du Mardi 10 juin 2008 10h00-12h00
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Première partie : Exercice sur les écoulements en conduite cylindrique (Barême : 12 points)
Calculer la perte de charge pour une conduite en fonte neuve sans revêtement (fonte nue), de longueur 305 mètres, de diamètre intérieur égal à 305 mm, quand :
a) de l’eau y coule à 15,6 °C à 1,525 m/s (vitesse de débit)
b) du fuel – oil moyen y coule dans les mêmes conditions (on prendra dans ce cas un coefficient de frottement λ de 0.0213)
c) du fuel – oil lourd y coule dans les mêmes conditions
On utilisera pour ces calculs la table 2 qui fournit les densités et viscosité cinématique de liquides à différentes températures (en extrapolant à 15,6°C) et le diagramme A-1 (dit de Moody – Nikuradse) permettant de calculer le coefficient de frottement à partir des réseaux de courbes , sachant que la rugosité ε de différents revêtements (dont la fonte nue) est donnée dans la partie gauche au bas de ce diagramme.
d) Dans le cas des écoulements d’eau, on peut tout-à-fait utiliser des lois des écoulements en canaux à surface libre voire en conduites d’eau partiellement remplies ou entièrement pleines.
On rappelle que la loi de Hazen-Williams est donnée (en unités SI) par :
54 . 0 63 .
0 S
R C 8492 . 0 V= avec :
V vitesse de débit (m/s) R : rayon hydraulique (m)
C : coefficient de rugosité de Hazen-Williams
S : pente de la ligne de charge (perte de charge exprimée en mètre par unité de longueur) Vérifiez si cette loi corrobore les résultats de la question a) en utilisant la table 6 . Commentez
Corrigé : Cas de l’eau
A) Quand on utilise le diagramme A-1, on peut d’abord évaluer la rugosité relative de la conduite.
Pour la fonte nue, la valeur de conception est de :
cm 024 .
≈0
ε , ce qui donne une rugosité relative 0.000787 305
24 . 0 Dε = =
La viscosité cinématique de l’eau à 15,6°C est extrapolée des valeurs de la tableau 2 à partir des valeurs : ν = 1.142 e-6 m2/s à 15°C et ν = 1.007 e-6 m2/s à 20°C , soit :
s / m 10 x 1258 . 1 ) C 15 C 6 . 15 ( x 10 15 x
20
007 . 1 142 . 10 1 x 142 . 1 ) C 6 . 15
( −6 −6 ° − ° = −6 2
−
− −
=
° ν
Le nombre de Reynolds de l’écoulement est alors de : 413150 10
x s / m 1258 . 1
m 305 . 0 x s / m 525 .
Re=1 2 −6 =
L’écoulement est ainsi pleinement turbulent.
Le diagramme A-1 permet alors d’obtenir un coefficient de frottement de l’ordre de 0.019 Ce qui donne une perte de charge en hauteur de colonne d’eau (lois de Darcy-Weisbach) de :
m 245 . s 2 / m 81 . 9 x 2 x m 305 . 0
) s / m 525 . 1 ( x m 019 305
. g 0 2 .V D
h L 2
2
2 ⎟⎟⎠=
⎜⎜ ⎞
⎝
= ⎛ λ
= Δ
kPa 023 . 2 22
x m 305 . 0
) s / m 525 . 1 ( x m 305 x m / kg 019 1000
. 2 0 V D p L
2 3
2 ⎟⎟=
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
= ⎛ λρ
= Δ
Cas du fuel-oil moyen
B) Quand on utilise le diagramme A-1, on peut d’abord évaluer la rugosité relative de la conduite.
Pour la fonte nue, la valeur de conception reste la même et est évidemment indépendante du liquide :
cm 024 .
≈0
ε , ce qui donne encore une rugosité relative 0.000787 305
24 . 0 Dε = =
La viscosité cinématique du fuel – oil moyen à 15,6°C est extrapolée des valeurs de la tableau 2 à partir des valeurs :
ν = 4.47 e-6 m2/s à 15°C et ν = 3.94 e-6 m2/s à 20°C , soit :
s / m 10 x 4064 . 4 ) C 15 C 6 . 15 ( x 10 15 x 20
94 . 3 47 . 10 4 x 47 . 4 ) C 6 . 15
( −6 −6 ° − ° = −6 2
−
− −
=
° ν
Le nombre de Reynolds de l’écoulement est alors de : 105557 s
/ m 10 x 4064 . 4
m 305 . 0 x s / m 525 .
Re=1 −6 2 =
L’écoulement est ainsi encore pleinement turbulent.
On prend la valeur proposée de l’ordre de 0.0213
Ce qui donne une perte de charge en hauteur de colonne d’huile de :
m 523 . s 2
/ m 81 . 9 x 2 x m 305 . 0
) s / m 525 . 1 ( x m 0213 305
. g 0 2 .V D
h L 2
2
2 ⎟⎟=
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
= ⎛ λ
= Δ
Ou en perte de pression (ρ = 857 kg/m3) :
Cas du fuel – oil lourd
C) Quand on utilise le diagramme A-1, on peut d’abord évaluer la rugosité relative de la conduite.
Pour la fonte nue, la valeur de conception est de :
cm 024 .
≈0
ε , ce qui donne une rugosité relative 0.000787 305
24 . 0 Dε = =
La viscosité cinématique de l’eau à 15,6°C est extrapolée des valeurs de la tableau 2 à partir des valeurs : ν = 201 10-6 m2/s à 15°C et ν = 156 10-6 m2/s à 20°C , soit :
s / m 10 x 6 . 195 ) C 15 C 6 . 15 ( x 10 15 x 20
156 10 201
x 201 ) C 6 . 15
( −6 −6 ° − ° = −6 2
−
− −
=
° ν
Le nombre de Reynolds de l’écoulement est alors de : 2378 10
x s / m 6 . 195
m 305 . 0 x s / m 525 .
Re=1 2 −6 =
L’écoulement est ainsi en régime de transition.
Le diagramme A-1 permet alors d’obtenir un coefficient de frottement λ de l’ordre de 0.035 Ce qui donne une perte de charge en hauteur de colonne d’huile/fuel lourd de :
m 135 . s 4
/ m 81 . 9 x 2 x m 305 . 0
) s / m 525 . 1 ( x m 035 305
. g 0 2 .V D
h L 2
2
2 ⎟⎟=
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
= ⎛ λ
= Δ
kPa 000 . 2 37
x m 305 . 0
) s / m 525 . 1 ( x m 305 x m / kg 035 912
. 2 0 .V D p L
2 2 3
⎟⎟=
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
= ⎛ λρ
= Δ
Réponse à la question d)
Le rayon hydraulique pour une conduite circulaire pleine est :
m 07625 . 4 0 D 2 R R 2 R R
2 = = =
π
= π
La pente S est donnée par : 0.0073606 305
245 . 2 L
S= Δh = =
On prendra pour le coefficient C de rugosité de Hazen-Williams : C = 130
s / m 5378 . 1 ) 0073606 .
0 ( x ) 07625 . 0 ( x 130 x 8492 . 0 S R C 8492 . 0
V= 0.63 0.54 = 0.63 0.54 =
Résultat proche de la valeur initiale de 1.525 m/s
(Barème : 3 points)
Après une inondation dans une station d’observation de rivière, un ingénieur visite le site. Ayant localisé les traces de la crue, réalisé un arpentage approprié et fait les calculs nécessaires, il détermine que l’aire de la section droite A, le périmètre mouillé p et la pente de la surface de l’eau, au moment du maximum de la crue valaient respectivement 2960 m2, 341 m et 0.00076. L’ingénieur a également noté que le fond du canal était tapisssé de terre mélangée à de l’herbe et des touffes d’algues. Estimer le courant de crête (le débit ou la vitesse) de l’inondation. On pourra se servir de la table D3-D10 pour approximer le coefficient de Manning n.
Solution
Pour un canal revêtu d’herbes et d’algues, on peut considérer que le coefficient de Manning est de l’ordre de : n = 0.030
Le débit vaut avec la formule de Manning :
s / m 11488 )
00076 . 0 341 ( ) 2960 2960 030 (
. 0 S 1
nAR
Q 1 1/2 3
3 / 2 2
/ 1 3 /
2 ⎟ =
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎟ ⎛
⎠
⎜ ⎞
⎝
=⎛
=
La vitesse de débit est de 3.875 m/s 2960
11472 A
V= Q = =
Exercice de sédimentation (Barême : 5 points)
Des grains de sable de diamètre D = 0.10 mm et de densité 2.3 sédimentent dans un lac après avoir été soulevé du fond par un bateau à moteur. Déterminez la vitesse de sédimentation dans l’eau du lac au repos. On se placera dans le cadre du régime de Stokes à faible nombre de Reynolds, ce que l’on pourra vérifier à postériori.
