d) Dans le cas des écoulements d’eau, on peut tout-à-fait utiliser des lois des écoulements en canaux à surface libre voire en conduites d’eau partiellement remplies ou entièrement pleines

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UFR Sciences & Ingénierie - L3 S5 - CC2 Mécanique des Fluides – Session I - 2010 (Daniel Huilier)

LICENCE Physique & Applications 2009-2010 L3 – S5 – UFR Sciences & Ingénierie

Mécanique des Fluides – CC2 -Sujet

Allée de von Karman derrière un

cylindre-Image équipe ITD-IMFS Dany Huilier

Contrôle Continu 2 Mécanique des Fluides – Session I Lundi 11 janvier 2010 – Salle 114

14h – 15h30 Durée : 1h30

Toutes notes et documents autorisées, sauf les ouvrages.

Première partie : Exercice sur les écoulements en conduite cylindrique (Barême : 12 points)

Calculer la perte de charge pour une conduite en fonte neuve sans revêtement (fonte nue), de longueur 300 mètres, de diamètre intérieur égal à 300 mm, quand :

a) de l’eau y coule à 20 °C à 1,525 m/s (vitesse de débit)

b) du fuel – oil moyen y coule dans les mêmes conditions (vitesse de débit et températuez c) du fuel – oil lourd y coule dans les mêmes conditions

On utilisera pour ces calculs la table 2 qui fournit les densités et viscosité cinématique de liquides à différentes températures et le diagramme A-1 (dit de Moody – Nikuradse) permettant de calculer le coefficient de frottement λ à partir des réseaux de courbes , sachant que la rugosité ε de différents revêtements (dont la fonte nue) est donnée dans la partie gauche au bas de ce diagramme (on prendra la valeur de conception, exprimée en cm !!).

d) Dans le cas des écoulements d’eau, on peut tout-à-fait utiliser des lois des écoulements en canaux à surface libre voire en conduites d’eau partiellement remplies ou entièrement pleines.

Une des lois possibles est la loi de Hazen-Williams donnée (en unités SI) par :

54 . 0 63 . 0

H S

R C 8492 . 0 V= avec :

V vitesse de débit (m/s) R : rayon hydraulique (m) H

C : coefficient de rugosité de Hazen-Williams

S : pente de la ligne de charge (perte de charge exprimée en mètre par unité de longueur, donc sans unité)

Vérifiez si cette loi corrobore les résultats de la question a) en utilisant la table 6 qui donne le coefficient de rugosité de Hazen-Williams. Pour ce faire, à partir de la réponse de la question a), calculez d’abord la perte de charge (exprimée en mètre de colonne d’eau) par unité de longueur, ce qui donne S la pente de la ligne de charge. De même il faudra déterminer le rayon hydraulique RH défini comme le rapport de la section mouillée Sm divisée par le périmètre mouillé Pm. Dans le cas d’une conduite circulaire pleine de rayon R, et

, donc

2

m R

S =π R

2 P_m = π

2 2

2 R

R R_H = R =

π π

1

(2)

Rappel théoriques sur les pertes de charges régulières (linéaires) dans les conduites Equation de Darcy-Weisbach (1854,1845)

Loi générale de la perte de charge Δh , Δp est

Pour l’eau :

g D h_mCE LU

2 . .

2

λ

=

Δ ,

D h LU

g

p _eau _mCE ^eau . . 2

ρ 2

λ

ρ Δ =

= Δ

Pour un fluide quelconque :

eau fluide

mCE D g

h LU

ρ λ .ρ

2 . .

2

=

Δ ,

D h LU

g

p _eau _mCE ^fluide

. . 2

ρ 2

λ

ρ Δ =

= Δ

avec :

λ : coefficient de perte de charge U : vitesse moyenne de débit (=Q/S) Q : débit volumique

D : diamètre de la conduite

L : longueur du tronçon de la conduite

λ est fonction du nombre de Reynolds, en conduite lisse : - pour Re < 2400, régime de Poiseuille : λ = 64.Re^-1 - pour Re > 2400, régime de Blasius : λ =0.3164.Re^-1/4

Nombre de Reynolds Re = U.D/ν avec ν : viscosité cinématique du fluide

λ est modifié en conduite à surface interne rugueuse (travaux de Nikuradse) en régime turbulent S : pente de perte de charge :

L S Δh

= hmCE

Δ : perte de charge exprimée en hauteur de colonne d’eau

Exercice de sédimentation (Barême : 8 points)

Des grains de sable de diamètre D = 0.15 mm et de densité 2.2 sédimentent dans un lac après avoir été soulevé du fond par un bateau à moteur. Déterminez la vitesse de sédimentation dans l’eau du lac au repos à 15°C. On se placera dans le cadre du régime de Stokes à faible nombre de Reynolds, ce que l’on pourra vérifier à postériori.

Aides : La vitesse de sédimentation U (de chute limite) d’un grain de sable dont la masse volumique et donc la densité sont plus élevées que celles de l’eau est atteinte lorsque l’ensemble des forces extérieures s’exerçant sur le grain de sable est nul. Dans notre cas s’exerçent sur la sphère:

- le poids du grain de sable - la poussée d’Archimède

- la force de trainée, dans le cas de Stokes à nombre de Reynolds faible (Re < 2), est donnée par où

DU 3

F= πμ μ est la viscosité dynamique de l’eau (cette force s’exerce en sens inverse de celle du vecteur vitesse), la viscosité dynamique peut être récupérée de la table 2 qui donne la viscosité cinématique de l’eau.

Il suffira donc en prenant un axe vertical dirigé vers le haut par exemple de quantifier les 3 forces dans les bons sens et écrire que la somme algébrique de ces forces s’annule, il en résultera la vitesse de sédimentation.

2

(3)

Rappels de cours

Vitesse de sédimentation

En chute sédimentaire à vitesse de chute limite, le poids est compensé par la force d’Archimède et la force de traînée.

Cas des faibles nombres de Reynolds, particules à comportement Stokien

Equation générale du mouvement d’une particule dans un fluide de vitesse u_f :

2

4

1 3 ^D _r

p f p

f

p u

D g C

dt du

ρ ρ ρ

ρ ⎟⎟ −

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −

= où u_r =u_p −u_f est la vitesse de glissement de la particule

Dans un fluide au repos u_f est nul.

A l’équilibre, dans un fluide au repos u_r =u_p,u_f =0

4 0

1 ⎟⎟ −3 ² =

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −

= ^D _r

p f p

f

p u

D g C

dt du

ρ ρ ρ

ρ

Et la vitesse terminale U = u_p de la particule vaut :

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −

= 1

3 4

f p

CD

g D

U ρ

ρ

Pour des nombre de Reynolds particulaires faibles Re=DUρ_f /μ <2

Re

= 24

CD et la force de traînée est F =3πμDU traînée dite visqueuse, due à la couche limite laminaire et à la répartition de pression autour de la sphère.

3

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4