IPST : Licence LPAI – L3-S5 UE52 Génie Mécanique : Mécanique des Fluides (Daniel Huilier)
Examen final (2ème contrôle continu) - Jeudi 22 janvier 2009 - 14h00-16h00 Tous documents de cours/TD, calculatrices autorisés
I) Première partie Cours & Culture générale (4 points) :
a) Définissez le nombre de Mach et classez dans un ordre croissant du nombre de Mach les écoulements suivants: Transsonique, subsonique, hypersonique, supersonique
Nombre de Mach : rapport de la vitesse locale du fluide et de la vitesse locale du son Réponse : Subsonique, Transsonique, Supersonique, Hypersonique
b) Situez dans le temps du plus ancien vers le plus récent les travaux de : Magnus, Torricelli, Navier, Bernouilli :
(R1) Torricelli, Magnus, Navier, Bernouilli (R2) Torriccelli, Bernouilli, Navier, Magnus (R3) Bernouilli, Navier, Torricelli, Magnus (R4) Bernouilli, Torricelli, Magnus, Navier
c) Dans quel cas les équations de Navier-Stokes peuvent-ils se réduire aux équations de Stokes ?
Dans le cas des écoulements à faible nombre de Reynolds (rampants) ou les forces d’inertie non-linéaires sont négligeables par rapport aux forces visqueuses
II) Deuxième partie : Exercice sur les écoulements en conduite cylindrique lisse (Barême : 9 points)
De l’huile de densité 0,85 s’écoule dans une conduite cylindrique lisse horizontale de rayon R
= 60 mm, Le nombre de Reynolds de l’écoulement est de 250. La viscosité dynamique est de 0,02 Ns/m2.
a) calculer la perte de charge linéaire Δp (par mètre de longueur de conduite), l’exprimer aussi en équivalent de hauteur de colonne d’eau (mCE)
b) Déterminez la vitesse de débit um. Donnez aussi la vitesse sur l’axe.
c) A partir du profil de vitesse, déterminez la distance par rapport à l’axe de la conduite où la vitesse locale est égale à cette vitesse de débit.
d) Calculez la contrainte visqueuse à la paroi.
e) Déterminez enfin la puissance dissipée si la conduite fait 100 mètres de long.
f) On multiplie le débit par 40. Calculer alors la nouvelle perte de charge linéaire Δp (par mètre de longueur de conduite).
g) Que devient cette perte de charge linéaire si la conduite présente une rugosité relative ε/D
= 0.02
h) Déterminez enfin la puissance dissipée (à fournir) pour transporter le fluide à débit initial (Reynolds = 250), sur une longueur de 100 mètres, sachant que la conduite est inclinée de 45°
vers le haut.
Réponses :
L’écoulement est laminaire, 64/250 0.256 Re
64 = =
= λ
La vitesse de débit est donnée par :
s m m
x m kg m
Ns x
D D
U =250ν / =250μ/ρ =250 0.02 . −2/(850 / 3 .0.12 )=0.049 / Vitesse maximale sur l’axe : en laminaire 2 fois la vitesse de débit = 0.098 m/s Le profil est parabolique et on a :
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ −
=2 . 1 ( ) )
( 2
2
R U r
r
u , soit u(r) = U en r=R/ 2 =0.06/ 2=0.0425m La perte de charge linéaire est donnée par :
m Pa
s m x
m x m x kg
D h LU
g
p 2.177
24 . 0
/ ) 049 . 0 ( 1 /
256 850 . . 0
. 2
2 2 2 2 3
=
=
= Δ
=
Δ ρ
λ ρ
mmCe 222 . 0 ) s / m 81 . 9 x m / kg 1000 /(
Pa 177 . 2
hCem= 3 2 =
Δ
Contrainte à la paroi : Pa x m m Pa
L R p
p 2.177 0.06 /2 0.0653
2
. = =
= Δ τ Autre calcul :
Pa x
x R
U R
r r U
AXE
p . ( = )=−2 / =−0.02 2 0.098/0.06=0.0653
∂
=μ ∂ μ
τ
Puissance dissipée :
Watt s
m x
x s m x
m x Pa R
U L
p. . . . 2 =2.177 100 0.049 / 3.1416 (0.06 / )2 =0.12064
Δ π
Autre calcul : τp.2πRLU =0.0653Pax2x3.1416x0.06mx100mx0.049m/s=0.12064Watt
Pour un nombre de Reynolds de 10000, en conduite lisse, on a le régime de Blasius : λ =0.3164.Re-1/4 ,soit λ=0.03164
La vitesse de débit est aussi multipliée par 40, soit : 1.96 m/s La perte de charge linéaire est donnée par :
m Pa
s m x
m x m x kg
D h LU
g
p 430.5
24 . 0
/ ) 96 . 1 ( 1 / 03164 850
. . 0
. 2
2 2 2 2 3
=
=
= Δ
=
Δ ρ
λ ρ
En conduite horizontale, la puissance sur 100 mètres est donnée par :
Puissance dissipée : Δp.L.U.π.R2 =430.5Pa x100m x1.96m/s x3.1416 x (0.06m)2 =954Watt En conduite rugueuse, d’après les courbes de Nikuradsé : λ = 0.0525
Pa Pa
p 430.5 714 03164
. 0
0525 .
0 =
= Δ
En conduite inclinée de 45° vers le haut, la différence de pression supplémentaire à vaincre est de :
kPa x
x x L
g
p= huile. . .sin(45°)=850 9.81 100 0.707=590
Δ ρ sur 100 mètres
Globalement la puissance vaut :
Watt m
x x
s m x
Pa R
U
p. . . 2 =590000 0.049 / 3.1416 (0.06 )2 =327
Δ π
Diagramme de Nikuradse
III) Partie 3 : Corps immergés, forces de traînée
Traînée d’une sphère de liège dans une rivière (7 points) Source : Munson et al. Page 615
Une sphère de liège de 2 pouces (inches) de diamètre est attachée au fond d’une rivière par un câble fin. Sachant que le coefficient de traînée de la sphère est de 0.5 et que l’on néglige la masse et la traînée du câble, déterminez la vitesse d’écoulement de la rivière.
Le poids spécifique (ρg) du liège est de 13 lb/ft3 (Rappels : 1 lb = 4.448 N, 1 foot = 0.3048 m, 1 inch = 2.54 cm)
Indications :
Montrez d’abord que le masse volumique du liège est de 208 kg/m3 On écrira l’équilibre des forces horizontales et verticales (poids, poussée d’Archimède, force de traînée et tension du câble)
Poids de la sphère de liège : Volume de la sphère :
3 6 3
3 (0.0254) 68.642 10
3 4 3
4 R x m
Vol = π = π = −
Masse spécifique :
3 3
3
3 2042N/m
m ) 3048 . 0 (
N 448 . 4 x ft 13
/ lb 13
g= = =
ρ
Poids de la sphère :
N m
x x
m N gVol
Poids=ρ =2042 / 3 68.642 10−6 3 =0.140 Poussée d’Archimède vers le haut :
N m
x x
m N x Vol
g
PA =ρeau. . =98100 / 3 68.642 10−6 3 =0.673
La composante verticale de la tension du fil compense la résultante force de pesanteur + force d’Archimède :
Tension verticale = Tension x sin(60°) = Tension x 3/2 La tension sera donnée par :
N 615 . 0 3 / 2 x ) 140 . 0 673 . 0 ( 3 / 2 x ) Poids P
(
T= A − = − =
La composante horizontale de la traction compense la traînée :
D 2 2 f
H U .( R )C
2 N 1 308 . 0 ) 60 cos(
. T
T = ° = = ρ π
Si on met Cd à 0.5 :
s / m 78 . C 0 ).
R (
T . U 2
D 2 f
H =
π
= ρ
Le nombre de Reynolds vaut : 34450
10 141 . 1
0504 . 0 78 .
Re= = 0 −6 =
x x UD
ν
sachant qu’on a pris une viscosité cinématique de l’eau à 15°C en supposant qu’elle est pure sans particules en suspension. Ce qui fait que le coefficient de trainée de 0.5 est justifié.
Exercice complémentaire ( à effectuer si le temps le permet)
Exercice : Chute d’un grelon
La grêle est générée par des allers-retours verticaux répétés de particules de glace grossissant dans des nuages orageux. Quand les grelons ont atteint une taille suffisante, la force aérodynamique occasionnellement ascendante n’est plus en mesure de contrecarrer le poids des grelons, et ceux-ci quittent le nuage pour tomber au sol. Estimez la vitesse de chute limite U des grelons en supposant que leur taille (diamètre D) est de 1.5 inches (1 inch = 2.54 cm), soit la taille d’une balle de golf, ce qui peut arriver.
Ecrivez d’abord l’équation d’équilibre de chute limite.
On négligera ensuite la poussée d’Archimède (à justifier). En supposant que le coefficient de traînée est de l’ordre de 0.5, calculez la vitesse de chute U, et le nombre de Reynolds pour justifier la valeur 0.5 choisie.
La masse volumique de la glace est de 948.3 kg/m3 et celle de l’air est de 1.2266 kg/m3 La viscosité cinématique de l’air est sensée être dans les notes de cours.
SOLUTION
Dans des conditions d’équilibre
2
2
1C AU
Vg
Vg air D air
glace ρ ρ
ρ = + , avec 3
6 D V =π
et 2
4D A=π
Soit encore en négligeant la poussée d’Archimède, m s
C U gD
D air glace
/ 75 . 3 27
4 ⎟⎟⎠1/2 =
⎜⎜ ⎞
⎝
=⎛ ρ ρ
Le nombre de Reynolds est de : Re=(27.75 x 0.0381)/(15 x10−6)=70485 Le coefficient de traînée choisi au départ est compatible d’après la figure ci-dessous.
Evolution du coefficient de traînée d’une sphère ou d’un cylindre à surface lisse par unité de longueur en fonction du nombre de Reynolds (échelles logarithmiques) (Munson, Young & Okiishi, page 582, 4th edition)
