c) A partir du profil de vitesse, déterminez la distance par rapport à l’axe de la conduite où la vitesse locale est égale à cette vitesse de débit

(Daniel Huilier)

Examen final - Vendredi 16 janvier 2009 - 14h00-16h00 Tous documents de cours/TD, calculatrices autorisés

I) Première partie Cours & Culture générale (4 points) :

a) Définissez le nombre de Mach et classez dans un ordre croissant du nombre de Mach les écoulements suivants: Transsonique, subsonique, hypersonique, supersonique

Nombre de Mach : rapport de la vitesse locale du fluide et de la vitesse locale du son Réponse : Subsonique, Transsonique, Supersonique, Hypersonique

b) Situez dans le temps du plus ancien vers le plus récent les travaux de : Magnus, Torricelli, Navier, Bernouilli :

(R1) Torricelli, Magnus, Navier, Bernouilli (R2) Torriccelli, Bernouilli, Navier, Magnus (R3) Bernouilli, Navier, Torricelli, Magnus (R4) Bernouilli, Torricelli, Magnus, Navier

c) Dans quel cas les équations de Navier-Stokes peuvent-ils se réduire aux équations de Stokes ?

Dans le cas des écoulements à faible nombre de Reynolds (rampants) ou les forces d’inertie non-linéaires sont négligeables par rapport aux forces visqueuses

II) Deuxième partie : Exercice sur les écoulements en conduite cylindrique lisse (Barême : 9 points)

De l’huile de densité 0,85 s’écoule dans une conduite cylindrique lisse horizontale de rayon R = 60 mm, Le nombre de Reynolds de l’écoulement est de 250. La viscosité dynamique est de 0,02 Ns/m².

a) calculer la perte de charge linéaire Δp (par mètre de longueur de conduite), l’exprimer aussi en équivalent de hauteur de colonne d’eau (mCE)

b) Déterminez la vitesse de débit um. Donnez aussi la vitesse sur l’axe.

c) A partir du profil de vitesse, déterminez la distance par rapport à l’axe de la conduite où la vitesse locale est égale à cette vitesse de débit.

d) Calculez la contrainte visqueuse à la paroi.

e) Déterminez enfin la puissance dissipée si la conduite fait 100 mètres de long.

f) On multiplie le débit par 40. Calculer alors la nouvelle perte de charge linéaire Δp (par mètre de longueur de conduite).

g) Que devient cette perte de charge linéaire si la conduite présente une rugosité relative ε/D = 0.02

h) Déterminez enfin la puissance dissipée (à fournir) pour transporter le fluide à débit initial (Reynolds = 250), sur une longueur de 100 mètres, sachant que la conduite est

Réponses :

L’écoulement est laminaire, 64/250 0.256 Re

64 = =

= λ

La vitesse de débit est donnée par :

s m m

x m kg m

Ns x

D D

U =250ν / =250μ/ρ =250 0.02 . ⁻²/(850 / ³ .0.12 )=0.049 / Vitesse maximale sur l’axe : en laminaire 2 fois la vitesse de débit = 0.098 m/s Le profil est parabolique et on a :

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

=2 . 1 ( ) )

( ₂

2

R U r

r

u , soit u(r) = U en r=R/ 2 =0.06/ 2 =0.0425m La perte de charge linéaire est donnée par :

m Pa

s m x

m x m x kg

D h LU

g

p 2.177

24 . 0

/ ) 049 . 0 ( 1 /

256 850 . . 0

. 2

2 2 2 2 3

=

=

= Δ

=

Δ ρ

λ ρ

mmCe 222 . 0 ) s / m 81 . 9 x m / kg 1000 /(

Pa 177 . 2

hCem= ^{3 2} =

Δ

Contrainte à la paroi : Pa x m m Pa

L R p

p 2.177 0.06 /2 0.0653

2

. = =

= Δ τ Autre calcul :

Pa x

x R

U R

r r U

AXE

p . ( = )=−2 / =−0.02 2 0.098/0.06=0.0653

∂

=μ ∂ μ

τ

Puissance dissipée :

Watt s

m x

x s m x

m x Pa R

U L

p. . . . ² =2.177 100 0.049 / 3.1416 (0.06 / )² =0.12064

Δ π

Autre calcul : τ_p.2πRLU =0.0653Pax2x3.1416x0.06mx100mx0.049m/s=0.12064Watt Pour un nombre de Reynolds de 10000, en conduite lisse, on a le régime de Blasius :

λ =0.3164.Re^-1/4 Soit λ=0.03164

La vitesse de débit est aussi multipliée par 40, soit : 1.96 m/s La perte de charge linéaire est donnée par :

En conduite horizontale, la puissance sur 100 mètres est donnée par :

Puissance dissipée :

Watt m

x x

s m x m x Pa R

U L

p. . . . ² =430.5 100 1.96 / 3.1416 (0.06 )² =954

Δ π

En conduite rugueuse, d’après les courbes de Nikuradsé : λ = 0.0525 Pa

Pa p 430.5 714

03164 . 0

0525 .

0 =

= Δ

En conduite inclinée de 45° vers le haut, la différence de pression supplémentaire à vaincre est de :

kPa x

x x L

g

p= _huile. . .sin(45°)=850 9.81 100 0.707=590

Δ ρ sur 100 mètres

Globalement la puissance vaut :

Watt m

x x

s m x

Pa R

U

p. . . ² =590000 0.049 / 3.1416 (0.06 )² =327

Δ π

Diagramme de Nikuradse

On veut mesurer la viscosité du lait. Des recherches sur le web donnent une viscosité dynamique du lait double de celle de l’eau. On utilise pour cela un viscosimètre, à chute de bille qui comporte un long tube de verre vertical, rempli de lait, et dans lequel on laisse tomber une bille sphérique. On mesure le temps nécessaire relatif au déplacement de la bille entre deux repères fixes A et B.

1. Faire le bilan des forces appliquées à la sphère (poids, poussée d'Archimède, force de frottement supposée Stokienne/à faible nombre de Reynolds) et les représenter sur un schéma.

Donner l'expression littérale de chacune de ces forces en fonction -de l'accélération de la pesanteur g;

-du coefficient de viscosité μ et de la masse volumique ρ_L du lait;

-du rayon R de la sphère, de sa masse volumique ρ_B et de sa vitesse U. ^B

2. Sachant que le mouvement vertical descendant de la sphère devient rapidement uniforme avant l'arrivée au repère A, établir la relation entre la durée t du parcours AB de longueur L et les grandeurs précédentes.

3. Le temps de chute de la bille entre A et B distants de L = 11 cm est t = 10 s. Calculer le coefficient de viscosité dynamique μ du lait.

4. Calculez enfin le nombre de Reynolds et reconsidérez l’hypothèse de Stokes, et proposez une démarche pour calculer la viscosité effective du lait en supposant que la vitesse de chute est atteinte dès le point A.

Indications : On écrit l’équilibre des forçes avec une traînée non Stokienne, on isole (calcule) le coefficient de traînée C_D, et la courbe C_D = f(Re)permet de cibler une valeur approximative du nombre de Reynolds, donc de la viscosité effective du lait. On utilise alors la loi de Schiller-Nauman pour affiner le nombre de Reynolds et la viscosité du lait.

Données:

- masse volumique du lait ρL = 1032 kg·m^–3 - masse volumique de la bille ρB = 1050 kg·m^{B –3} - rayon de la bille R = 1,0 mm

Rappels de cours :

Expression générale de la traînée d’une sphère :

D

D U AC

F ²

2 1ρ

= , C_D = f(Re) où Re = UD/ν est le nombre de Reynolds et A = πR²

A très faible nombre de Reynolds, en traînée dite de Stokes (1845, 1851), on montre que les forces de pression (à hauteur d’une contribution de 1/3) et de viscosité (2/3) induisent une traînée totale égale à :

RU

F_D =6πμ , où μ est la viscosité dynamique du fluide, ce qui donne un coefficient de traînée de

Re

= 24 CD

Il existe ensuite des formules empiriques approchées qui donnent d'assez bons résultats, dont celle de Schiller-Naumann (1933) (attention, valable pour Re < 800)

) Re 15 . 0 1 Re(

24 + _0.687

D = C

Evolution du coefficient de traînée d’une sphère ou d’un cylindre à surface lisse par unité de longueur en fonction du nombre de Reynolds (échelles logarithmiques) (Munson, Young & Okiishi, page 582, 4th edition)

Solution :

Préliminaire :

En supposant que la viscosité dynamique du lait est le double de celui de l’eau, soit , le logiciel termvel basé sur la loi de Schiller-Nauman donne : Pa.s

10 . 2 ⁻³ μ =

Une vitesse limite de 0.01094 m/s proche de la vitesse expérimentale et un nombre de Reynolds de 11.3

L = U.t, soit U = 0.11/10 = 0.011 m/s

2

2

1C AU Vg

Vg _{L D L}

B ρ ρ

ρ = + , avec ³

6D V ₌π

et ²

4 D A₌π

, D = 2R

Si la traînée est Stokienne,

ρ μ C_D DU64.

Re 64 =

= , soit :

UD Vg

UR Vg

Vg _{L L}

B ρ πμ ρ πμ

ρ = +6 = +3

011 . 0 9

) 10 )(

1032 1050

)(

81 . 9 ( 2 9

2 ).

( 18

4 ).

( 6

2 2 3

3

x U

R g

UR R g

UR Vg

Vg _{L B L B L}

B

− −

− =

− =

− =

= ρ ρ

π π ρ ρ π

ρ μ ρ

Pa.s 10 . 68 .

35 ⁻⁴

μ = , soit une viscosité dynamique 3.57 fois de celle de l’eau.

36 . 6810 6

. 35

) 1032 )(

10 )(

011 . 0 )(

2 2 (

Re= = ⁻³₋₄ =

μ ρ_L

UR , nous ne sommes plus en régime de Stokes.

d’équilibre :

2

2

1C AU Vg

Vg _{L D L}

B ρ ρ

ρ = + , avec ³

6 D V π

= et ²

4D A π

=

Soit en isolant le coefficient de traînée :

77 . 3 1032 1

1050 )

011 . 0 )(

3 (

10 2 )(

81 . 9 )(

4 1 ( 3

4 ) (

2

2 ) 3 2

2 ⎟=

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

⎟⎟=

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

− =

= ⁻

L B L

L B

D U

gD AU

Vg C Vg

ρ ρ ρ

ρ ρ

La courbe classique donne un nombre de Reynolds de l’ordre de 10 à 12. On peut affiner avec la loi de Schiller-Nauman :

Re 10.5 11.5 11.25 11.3

Cd 4.01 3.763 3.82 3.81

Soit encore en prenant une valeur de l’ordre de Re = 11.5 :

s UD _L Pa

. 10 74 . 5 19

. 11

1032 ) 10 2 )(

011 . 0 ( Re

4

3 −

− =

=

= ρ

μ ,

Soit le double de la viscosité dynamique de l’eau. En accord avec les préliminaires.