IPST L3 S5- Mécanique des Fluides Epreuve de contrôle continu (Daniel Huilier)
IPST : Licence LPAI – L3-S6 Mécanique des Fluides (Daniel Huilier) Contrôle continu du Mardi 6 mai 2008 - Corrigé
8h15-9h45
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Première partie : Exercice sur les écoulements en conduite cylindrique (Barême : 12 points)
De l’huile de densité 0,91 s’écoule dans une conduite cylindrique lisse horizontale de rayon R = 52 mm, Le nombre de Reynolds de l’écoulement est de 250. La viscosité dynamique est de 0,018 Ns/m2.
a) calculer la perte de charge linéaire Δp (par mètre de longueur de conduite), l’exprimer aussi en équivalent de hauteur de colonne d’eau (mCE)
b) Déterminez la vitesse de débit um. Donnez aussi la vitesse sur l’axe.
c) A partir du profil de vitesse, déterminez la distance par rapport à l’axe de la conduite où la vitesse locale est égale à cette vitesse de débit.
d) Calculez la contrainte visqueuse à la paroi.
e) Déterminez enfin la puissance dissipée si la conduite fait 100 mètres de long.
f) On multiplie le débit par 20 (nombre de Reynolds = 5000). Calculer alors la nouvelle perte de charge linéaire Δp (par mètre de longueur de conduite).
g) Déterminez enfin la puissance dissipée (à fournir) pour transporter le fluide à débit initial (Reynolds = 250), sur une longueur de 100 mètres, sachant que la conduite est inclinée de 60° vers le haut.
Réponses :
L’écoulement est laminaire, 64/250 0.256 Re
64 = =
= λ
La vitesse de débit est donnée par :
s / m 04755 . 0 ) m 104 . 0 . x m / kg 910 /(
m . Ns 018 . 0 x 250 D / 250 D / 250
U= ν = μ ρ = −2 3 =
Le débit Q vaut : Q=UπR2 =0.04755xπx(0.052)2 =4.0410−4m3/s
Vitesse maximale sur l’axe : en laminaire 2 fois la vitesse de débit = 0.0951 m/s = Umax La perte de charge linéaire est donnée par :
Pa 53 . m 2
208 . 0
s / m ) 04755 . 0 ( mx 1 x m / kg x910 256 . D 0 . 2 . LU h
g p
2 2 2 2 3
= ρ =
λ
= Δ ρ
= Δ
mm 2579 . 0 ) s / m 81 . 9 x m / kg 1000 /(
Pa 53 . 2
hCem= 3 2 =
Δ
Le profil de vitesse est parabolique en régime laminaire , soit ⎟
⎠
⎜ ⎞
⎝⎛ −
= max )2 R (r 1 U ) r ( U On cherche r pour lequel U(r)=Umax/2 soit :
2 ) 1 R
(r 2 = , soit r=R/ 2 =52mm/ 2 =36.77mm
1
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Contrainte à la paroi : 2.53Pax0.052m/2m 0.0659Pa L
2 R . p
p = Δ = =
τ
Puissance dissipée : Δp.L.U.π.R2 =2.53Pax100mx0.04755m/sx3.1416x(0.052m/s)2 =0.1022Watt Autre calcul : τp.2πRLU=0.0659Pax2x3.1416x0.052mx100mx0.04755m/s=0.1024Watt
Pour un nombre de Reynolds de 5000, en conduite lisse, on a le régime de Blasius : λ =0.3164.Re-1/4 Soit λ=0.037626
La vitesse de débit est aussi multipliée par 20, soit : 0.951m/s La perte de charge linéaire est donnée par :
Pa 88 . m 148
208 . 0
s / m ) 951 . 0 ( mx 1 x m / kg x910 037626 .
D 0 . 2 . LU h
g p
2 2 2 2 3
= ρ =
λ
= Δ ρ
= Δ
En conduite horizontale, la puissance sur 100 mètres est donnée par :
Puissance dissipée : Δp.L.U.π.R2 =148.88Pax100mx0.951m/sx3.1416x(0.052m)2 =120.27Watt En conduite inclinée de 60° vers le haut, la différence de pression supplémentaire à vaincre est de :
kPa 087 , 773 866 . 0 x 100 x 81 . 9 x 910 ) 60 sin(
. L . g .
p=ρhuile ° = =
Δ sur 100 mètres
Globalement la puissance vaut :
Watt 90 . 311 )
m 052 . 0 ( x 1416 . 3 sx / m 04755 . 0 Pax 7773087 Q
. p R . . U .
p π 2 =Δ = 2 =
Δ
Deuxième partie : Exercice sur les écoulements en canaux libres (Barême : 8 points)
Exercice 1 : (Giles-Evett-Liu, 10.41)
Le débit d’un canal rectangulaire (n = 0.012) de 4.6 m de large est de 11.3 m3/s quand la pente est de 1 m sur 100 m. L’écoulement est-il surcritique ou sous-critique ?
Solution :
Il faut raisonner par l’inverse en cherchant la pente critique du problème, si celle-ci est inférieure à 1/100, l’écoulement en question sera surcritique, sinon dans le cas contraire, l’écoulement sera sous-critique.
On sait que dans les conditions critiques où le nombre de Froude = 1:
Débit surfacique ;qmax = gy3c , soit 2.456 m /s m
6 . 4
s / m 3 .
q 11 2
3
max = = et la hauteur critique sera : m
851 . 0 81 . 9 / ) 456 . 2 ( g / q
yc =3 2max =3 2 = et la vitesse critique vaut : VC = gyC =2.85m/s
On peut alors déterminer la pente critique pour la profondeur critique venant d’être calculée et ce à l’aide de la relation de Chezy-Manning :
2
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2 / 1 c 3 /
2 S
nR A1 Q=
Le rayon hydraulique vaut : R = A/p =
) m 851 . 0 ( 2 m 6 . 4
) m 851 . 0 )(
m 6 . 4 (
+ = 0.621 m
2 / 1 3 / 2
3 S
) m 851 . 0 ( 2 m 6 . 4
) m 0851 )(
m 6 . 4 012 . 0 ) 1 m 851 . 0 )(
m 6 . 4 ( s / m 3 .
11 ⎟⎟
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
⎟ +
⎠
⎜ ⎞
⎝
= ⎛
Soit . Cette pente critique est inférieure à 0.01, pente effective, donc l’écoulement sera torrentiel (surcritique).
0023 . 0 Sc = Ou encore :
s / m 95 . 76 )
621 . 0 012( . 0 R 1 n
C= 1 1/6 = 1/6 =
Et 0.0023
621 . 0 x ) 95 . 76 (
85 . 0 x 81 . 9 R
C gy R C
S V2 2C 2
2 c
C = = = =
Exercice 2 : (Giles-Evett-Liu, 10.13)
Quel est le débit dans un canal rectangulaire de 1.22 m de large, revêtu de ciment (n = 0.015), ayant une pente de 4m pour 10000 m, si l’eau a une profondeur de 610 mm. Utiliser à la fois la loi de Kutter et celle de Manning.
a) Solution de Kutter
Le coefficient de Kutter est donné par :
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ + +
+
= +
S 00155 . 23 0 R 1 n
n 1 S
00155 . 23 0 C
Le rayon hydraulique est : 0.305m
m 61 . 0 m 22 . 1 m 61 . 0
) m 61 . 0 )(
m 22 . 1
R ( =
+
= +
Le calcul du coefficient de Kutter donne : C=54.1m1/2/s
m2
744 . 0 610 . 0 x 22 . 1 by A
s / m 6 . 0 0004 . 0 x 305 . 0 x 1 . 54 RS C V
=
=
=
=
=
=
Le débit est alors : Q=AV=AC RS =(1.22m)(0.61m)(54m1/2 /s) (0.305m)0.0004=0.444m3/s b) Solution de Manning
s / m 45 . 0 ) 0004 . 0 ( ) m 305 . 0 015( . 0 ) 1 m 61 . 0 )(
m 22 . 1 ( S . n R
0 . A1 RS AC AV
Q= = = 2/3 1/2 = 2/3 1/2 = 3 soit encore si
on calcule le coefficient de Manning : R 54.7 m /s n
0 .
C=1 1/6 = 1/2 et
s / m 45 . 0 0004 . 0 ) m 305 . 0 ( ) s / m 7 . 54 )(
m 61 . 0 )(
m 22 . 1 ( RS AC AV
Q= = = 1/2 = 3
Les 2 lois donnent des résultats identiques
3
