PUISSANCE DISSIPÉE, OU ENGENDRÉE, PAR LES DIFFÉRENTS MODES EXCITÉS DANS UN PLASMA

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PUISSANCE DISSIPÉE, OU ENGENDRÉE, PAR LES

DIFFÉRENTS MODES EXCITÉS DANS UN PLASMA

P. Rolland

To cite this version:

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PUISSANCE DISSIPÉE, OU ENGENDRÉE C 3

-

227 alors tenir compte de l'énergie mise en jeu lors d e la BRYANT (G. H.), C. R. VIIe Conf. Phen. Ionisation dans modulation ; c'est pourquoi notre théorie paraît inter- les gaz, Belgrade III, 377, 1965.

de plus décisive des résultats expérimen- CRAWFOKD (F. W.) et collab. J . A ~ p l i e d Ph~sics, 19639 taux antérieurement publiés. _DATTNER34,2196. _{(A.), Ericsotl Tech., 1957,}

2, 309.

DAVY (P.), Revue Physique Appl., 1967, 2, 2, 65-71. Bibliographie

IRISH (R. T.), BRYANT (G. H.), Proc. Phys. Soc., 1964, BRENOT (J. C.), Diplôme d'Etudes Supérieures, Orsay, 1966. 84, 975.

PUISSANCE DISSIPÉE,

OU

ENGENDRÉE,

PAR LES

DLFFERENTS

MODES

EXCITES

DANS UN PLASMA

(*)

p a r P. ROLLAND

Service d'Ionique générale, C. E. A. d e Saclay

Résumé.

-

On étudie les échanges d'énergieentre un plasrnaet une sourced'excitation J(r)sin cl10 I.

Pour inclure le cas des ondes croissantes associées aux instabilités convectives, on traite ce problème dans le cadre de ia théorie du paquet d'ondes, en définissant le champ par une intégrale double dans deux plans complexes ; les parcours d'intégration sont précisés après avoir séparé en deux classes les racines k ( w ) de l'équation de dispersion. On trouve que même en l'absence de collisions, la puissance échangée n'est pas nulle, à cause de la dispersion spatiale. Ceci permet d'établir une connexion avec les théories cinématiques des ondes croissantes [l] 121, tout en précisant quels sont les modes générateurs d'énergie. Par ailleurs, la puissance dissipée par dispersion spatiale se révèle identique à la dissipation par effet Landau pour les grandes ondes, ce qui confirme le carac- tère cinérnatiquc de ce dernier et fait la jonction entre les théories microscopiques et macroscopi- ques.

Abstract. - The energy exchange between a plasma and a source of excitation J(r) sin wu t is investigated. In order t o include the case of growing waves associated with convective instabilities, this problern is treated in the context of the wave-packet theory, by writing the field as a double integral in two complex planes. The paths of integration are defined after a separation into two classes of the roots k ( o ) of the dispersion equation. We find that - even in the absence of collisions - there still is a power exchange, due to the spatial dispersion. Thus, a connexion can be established with thc kinematic thcories of growing waves [l] [2] and the modes generating power can be found. Morcover, the power dissipated by spatial dispersion is found to be identical with that due to Landau's effect for long waves. This confirms the kinematic character of the latter and bridges a gap between macroscopic and microscopie thcories.

1 . Introduction. - Lorsqu'un plasma contenant plusieurs composantes (ions, électrons, faisceaux ...)

est soumis à une excitation harmonique, plusieurs types d'ondes peuvent être engendrés à la fois : ondes non amorties, évanescentes o u croissantes dans I'espace. Les critères cinématiques développés jusqu'ici [ l ] [2] ne disent rien sur le sens des échanges d'énergie correspondant aux différents modes excités. II nous a semblé intéressant de compléter cette desci'iption

(*) Colloque National sur la Physique des Milieux Ionisés.

Grenoble, 25-26 mai 1967.

cinématique p a r une étude d e I'énergie absorbée (ou générée) par le milieu ainsi perturbé [3]. Pour inclure le cas des ondes croissantes associées aux instabilités convectives, cas dans lequel le champ n'admet pas une double transformée de Fourier dans lc temps et l'espace, il est nécessaire d'établir d'abord une expression générale d u champ, dans le cadre de la théorie d u paquet d'ondes.

2. Expression générale du champ. - Considérons un courant d e source S(x, t ) , allumé en u n certain instant t , , d e forme arbitraire dans l'espace e t le temps,

(3)

C 3 - 228 P. ROLLAND

mais doublement sommable sur x et t . Soit 3(o, k) sa double transformée de Fourier.

On démontre [3] que le champ en tout point, pour satisfaire les équations de Maxwell et le principe de causalité (le milieu est au repos avant l'allumage de la source), doit être exprimé par la formule (1) :

Dans la formule (I), D(w, k) est le noyau de dis-

persion du milieu. Les parcours d'intégration y et

r

sont précisés après avoir skparé en deux classes n et m les racines k(w) de l'équation de dispersion

k,(o) telles que Im (k,) -,

+

co quand Im ( a ) i - co

/

k,(o) telles que Im (km) +

-

co

i

(2)

quand Im ( a ) +

-

co

-

Le parcours y passe au-dessous de tous les points critiques 52 faisant permuter certains k, avec certains km.

- Le parcours

r

suit l'axe k réel en faisant éventuellement des lacets de façon à passer au-dessous des racines k, et au-dessus des racines km.

Si le milieu est stable et dissipatif, tous les k , sont

dans

Z',

c'est-à-dire que Im (k,) > O, tous les kt, sont dans Z - , et tous les points critiques Q sont dans 2'

[Il.

Les parcours y et

r

se réduisent alors aux axes réels o et k, et (1) devient une double transfor- mation de Fourier.

3 . Puissance dissipée -ou engendrée

-

par le milieu.

-

On suppose que le milieu ne présente pas d'insta- bilité non convective, c'est-à-dire qu'aucun point criti- que SL ne se trouve dans Z - . Il existe alors un régime permanent, lorsque le milieu est excité par un courant de source sinusoïdal de la forme :

pour

T

- - T

2 < t < -- 2

,

= O ailleurs

.

La formule (1) permet de calculer le champ H. F. qui s'établit pendant le fonctionnement de la source. On trouve

avec

où SWo(k) est la transformée de Fourier de S,,(x).

La densité de puissance délivrée par la source s'écrit :

La puissance totale délivrée par la source est alors :

Cette formule (4) donne aussi la puissance consom- mée par le milieu, s'il n'y a pas de pertes d'énergie vers I'extCrieur.

4 . Connexion avec le critère de Sturrock.

-

Considérons le cas où D(o, k) est une expression algébrique à coefficients rCels de w et k (modèle multi- fluide sans collisions). Certaines racines k , ou k, peuvent ètre réelles. Le contour î contourne par en dessous les racines k, et par-dessus les racines km. Les contributions des racines réelles sont donc res- pectivement

Par suite un mode réel n ou m consomme de I'énergie si (oD;)~, > O OU (oDI)~,, < O ; il en produit

si (wD;),,

<

O ou (oD;)k,,,

>

O

.

Ainsi les modes réels appartenant à des branches (c stables » (au sens de Sturrock [2]) consomment de l'énergie, alors que sur une branche c( instable », I'un des modes fournit de I'énergie (dans l'interaction cc faisceau- plasma )), ce mode générateur d'énergie est cc l'onde

lente )) du faisceau). Les modes évanescents associés

à une branche cc stable )) n'apportent évidemment

aucune contribution (k, dans Z + , km dans Z - ) . Par

contre, les modes complexes instables (k, dans Z -

ou km dans 2 ' ) se révèlent générateurs d'énergie. On est donc conduit à la même classification que Sturrock en ce qui concerne les branches de la courbe de dispersion. Cependant, on obtient un renseignement supplémentaire, à savoir que sur une branche cc instable D, I'un des modes seulement est responsable de

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PUISSANCE DISSIPÉE, OU ENGENDRÉE C 3

-

229

5 . Connexion avec l'amortissement de Landau.

- On vient de voir que même en l'absence de collisions, la théorie macroscopique montre que la puissance dissipée - ou générée - par le milieu n'est pas nulle, à cause de la dispersion spatiale. Si l'on adopte la théorie microscopique, la formule (4) est encore valable, mais cette fois D est une fonction complexe de o et k , s'écrivant sur w et k réels Dr

+

iDi. Soit k, > O un zéro de Dr, au voisinage duquel

D,

-

(k

-

k,) DLi,

D i

-

Cte < O ,

DL

-

Cte < O (grandes ondes). La contribution de cette racine s'écrit

Dans la limite des grandes ondes, on obtient donc la même expression que celle que donne la théorie macroscopique. Ceci montre que l'effet Landau pour les grandes ondes est identique à la dispersion spatiale.

6 . Exemples d'applications. - 1) ONDES ÉLEC-

TROSTATIQUES DANS UN PLASMA ISOTROPE. - Le noyau de dispersion s'écrit

Il présente deux zéros k, et k , . On se donne une source bien localisée J(x, t) = JO sin o, t pour

La formule (4) donne

1

k" =

-

- J o 2

-

O , 2

-

i v o

.

a

Le maximum d'absorption se situe en o

=

op. Grâce aux collisions, l'absorption n'est pas nulle

pour w < op. Aux fréquences élevées i'effet des collisions domine l'effet de dispersion, et

2) ONDE ÉLECTROMAGNÉTIQUE POLARISÉE DANS UN PLASMA FROID SANS COLLISIONS. -Le noyau de dispersion est

Il présente deux zéros k, et km. Dans le cas d'une

source bien localisée (exemple précédent) on obtient

k = - -

40 -

Q I ) ( 0

-

Q2)

C

J

( m - m

On trouve deux pics d'absorption aux fréquences hybrides 52, et SZ, plus un troisième pic d'absorption un peu au-dessous de la fréquence cyclotron. Puisque v = 0, l'absorption est nulle dans les deux bandes d'évanescence.

7 . Conclusion. - L'intérêt théorique de cette étude est d'établir la jonction entre les critères ciné- matiques et les critères énergétiques, tout en mettant en évidence le rôle capital de la « dispersion spatiale »,

qui produit une dissipation

-

ou une génération

-

d'énergie même en l'absence de collisions. L'intérêt pratique en est de donner des formules quantitatives simples, qui montrent la contribution de chaque mode et de chaque composante dans les échanges d'énergie.

Références

[ l ] ROLLAND (P.), Phys. ,Rev., 1965, 140, 776.

[2] STURROCK (P. A.), Phys. Rev., 1959, 112. 1488: