Ondes dans les milieux diélectriques

Ondes dans les milieux diélectriques

PC*/PC

I) Notions d’électromagnétisme dans les milieux diélectriques :

Dans la matière, un champ EM agit sur les atomes, les molécules ou les ions en les déformant. Le milieu matériel va ainsi :

• Se polariser sous l’action du champ électrique

• S’aimanter sous l’action du champ magnétique

Ces modifications vont alors provoquer l’apparition d’un champ électrique (ou magnétique) induit par le champ EM externe, qui s’ajoute à celui-ci.

Le but de ce paragraphe est d’expliquer comment ces phénomènes microscopiques se traduisent à l’échelle macroscopique dans l’expression des équations de Maxwell.

Dans certains milieux (métaux, plasmas), les charges se déplacent librement (on parle de charges et de courants libres). Dans les diélectriques, les charges ne se déplacent que très peu et s'organisent sous forme essentiellement de dipôles électriques (on néglige les contributions dues à l’apparition de quadripôles ou même d’octopôles électriques).

Le champ électrique ne pénètre pas dans les milieux conducteurs, la densité surfacique de charges libres d’ajustant pour annuler le champ créé par les charges externes. Par contre, le champ électrique pénètre à l’intérieur d’un matériau isolant et agit sur les porteurs de charge de la matière, d’où le nom de diélectrique (du grec, signifiant « à travers »).

On peut citer l’expérience de l’introduction de matière isolante entre les armatures d’un condensateur, réalisée historiquement par Faraday : on constate que la capacité augmente, d’un facteur qui dépend du matériau, appelé permittivité relative de l’isolant et notée ε_r. Pour maintenir le même potentiel, le générateur auquel sont reliées les armatures doit fournir une quantité d’électricité plus importante.

Pour interpréter de manière qualitative cette expérience, on peut suivre la démarche suivante :

• Charger un condensateur plan, puis l’isoler ; quelle conséquence cela a-t-il par la suite sur les charges libres des armatures ?

• Introduire un diélectrique entre les armatures ; quelles sont les caractéristiques du vecteur polarisation dans le diélectrique ?

• Qu’en déduit-on sur les charges volumiques de polarisation ? Et en surface ? (s’aider de petits dipôles)

• Dans quel sens a varié le potentiel pendant l’introduction ? Et la capacité ?

Le vecteur polarisation vaut P=ε χ_{0 e}E

r r

, où E r

est le champ total à l’intérieur du condensateur.

Sur l’armature gauche, la charge surfacique de polarisation est σ_P =P.(−u_x)= −P

r r

. Le champ électrique créé par cette répartition est alors

0 0

P

P x x e

E σ u Pu E

ε ε χ

= − = − = −

r r r r

. Par conséquent, le champ global E

r

, somme du champ initial et de celui créé par les charges de polarisation vaut :

0

0 0

1

e 1

e r

E E χ E soit E E E

χ ε

= − = =

+

r r r r r r

Remarque : on montre bien que le vecteur D r

reste constant :

0 0 0 0 0

1

r r

E E soit D ε ε E ε E D

=ε = = =

r r r r r r

Quelques remarques sur la piézoélectricité :

1 – Vecteur polarisation :

• Vecteur polarisation :

Dans la plupart des milieux (comme l’air ou l’eau, par exemple) soumis à un champ électrique extérieur, les chargées liées se déplacent à l’échelle atomique et il apparaît alors des dipôles électriques : le milieu se polarise.

Un milieu susceptible de se polariser est un « diélectrique ».

On peut citer différentes types de polarisation : la polarisation électronique (ou atomique), la polarisation d’orientation ou encore la polarisation ionique :

* Polarisation électronique : un matériau isolant initialement neutre peut être constitué d'atomes ou de molécules présentant une symétrie telle qu'ils ne possèdent pas de moment dipolaire électrique permanent (H₂, O₂, …). En revanche, plongé dans un champ électrique, la molécule se déforme (le nuage électronique surtout) et le barycentre des charges négatives diffère de celui des charges positives ; il y a apparition d'un moment dipolaire induit par le champ électrique.

* Polarisation d'orientation : pour des molécules polaires (ayant déjà un moment dipolaire), la présence d'un champ électrique a tendance à orienter les moments dipolaires dans le sens du champ, faisant apparaître ainsi à l'échelle mésoscopique un moment dipolaire résultant non nul.

En l'absence de champ (figure (a)), l'orientation des dipôles élémentaires est aléatoire. En présence de champ (figure (b)), les dipôles ont tendance à s'orienter davantage dans la direction du champ (malgré l'effet antagoniste de l'agitation thermique).

* Polarisation ionique : un cristal ionique se déforme dans un champ électrique et il apparaît alors un moment dipolaire résultant.

Illustration schématique des différents mécanismes de polarisation.

On note P r

le vecteur polarisation, défini comme étant le moment dipolaire par unité de volume : τ

d p P d

r r

= où dpr

désigne le moment dipolaire du volume mésoscopique dτ . Le vecteur polarisation peut s’exprimer sous la forme :

dp *

P n p

dτ

= =

r r r

où n^* est la densité particulaire de moments dipolaires (nombre de dipôles par unité de volume).

Modèle de polarisation électronique de l’atome :

(fig) et

• Vecteur densité volumique de courants liés :

Ces charges liées se déplacent et créent un courant de charges liées dont on peut définir son vecteur densité volumique.

Volume dτ

Oi

Mi (qi)

v_i r_i

Mi : barycentre des charges négatives (qi < 0)

Oi : noyau fixe

Le vecteur polarisation vaut :

∑

∑ ⁼

=

=

i i i i

i i

i qr

M d O d q

d p

Pr dr r

τ τ

τ

1 1

(la somme s'effectue sur toutes les charges q_i contenues dans le volume mésoscopique dτ).

En dérivant par rapport au temps : (les points O_i sont fixes)

liées i

i

iv j

d q t

P r r

r

=

∂ =

∂ ∑

τ

1 ; P _liées t j

∂ =

∂

r r

où j_liées r

désigne, par une définition analogue à celle du vecteur densité de courants de charges libres, le vecteur densité volumique de courants de charges ici liées.

• Densité de charges liées correspondantes :

On peut étudier l’état électrique d’un milieu matériel polarisé en définissant une densité volumique de charges liées.

En l'absence de charges et de courants libres, le principe de conservation de la charge conduit ici à :

=0

∂ +

∂

liées liées divj

t ρ r

Soit :

( )

)

( + =

∂

= ∂

∂ + ∂

∂

=∂

∂ + ∂

∂

∂ divP

P t t div t

t div P

t ^liées

liées liées

r r r

ρ ρ ρ

Par conséquent, ρ_liées+divP= f M( ) r

est indépendante du temps. En considérant l'état de repos du système, il vient :

( ) ( ) 0 ( ) ( ( ) ( ) 0)

liées M divP M f M car liées M divP M

ρ + = = ρ = =

r r

Ainsi, tout se passe comme si apparaissait une densité de charges liées égale à : P

liées div

r

− ρ =

Ainsi, dans un milieu matériel, on pourra utiliser les équations de Maxwell dans le vide à condition de tenir compte de ces différentes densités volumiques de charges et de courants.

Densité surfacique de charge de polarisation : 1^ère méthode : la relation _liées divP

r

−

ρ = permet d’affirmer (par analogie à l’équation de Maxwell- Gauss) que :

2 1 ,

1 ,

2 −P =− n→

Pr _n r _{n liées}r

σ Si le milieu (2) est le vide et nr

le vecteur normal du diélectrique vers le vide (normale sortante) : n

liées P r r

= . σ 2^ème méthode (neutralité du milieu) :

La charge électrique portée par le diélectrique doit rester nulle ; ainsi :

liées liées 0

Vρ dτ+ Sσ dS =

∫∫∫ ∫∫

Soit :

( ) _liées ( . _liées) 0

V −divP dτ+ Sσ dS= S −P n+σ dS =

∫∫∫ ^r ∫∫ ∫∫ ^{r r}

Cette égalité doit être valable pour tout volume (V), par conséquent : _liées Prnr

= .

σ .

2 – Equations de Maxwell dans les milieux :

La densité totale de charges dans le milieu matériel peut s’écrire, en tenant compte des charges libres et des charges liées de polarisation :

P

libres div

liées libres

r

−

= +

=ρ ρ ρ

ρ

De même, en tenant compte des effets de polarisation, la densité de courants devient : t

j P j

j

j _{libres liées libres}

∂ +∂

= +

=

r r r r r

Les équations de Maxwell-Gauss et Maxwell-Ampère donnent ensuite : )

1 (

0 0

P div E

div _libres

r r

−

=

= ρ

ε ε

ρ

Et :

t E t

j P t

j E B

rot _libres

∂ + ∂









∂ +∂

∂ = + ∂

=

r r

r r

r r

0 0 0

0 0

0 ε µ µ ε µ

µ On définit le champ :

P E D

r r r

+

=ε₀ D

r

est le vecteur déplacement électrique.

Les équations de Maxwell-Gauss et Maxwell-Ampère deviennent :









∂ +∂

=

= t

j D B

rot et

D

div _{libres libres}

r r r

r

µ0

ρ

Les deux autres équations, ne faisant pas intervenir les sources, restent inchangées : t

E B rot et

B

div ∂

−∂

=

=

r r r

0

On obtient ainsi les équations de Maxwell dans les milieux diélectriques.

Dans la suite, on considère des milieux diélectriques dépourvus de charges et de courants libres.

Les équations de Maxwell deviennent :

t E B rot B

t div B D

rot D

div ∂

−∂

=

∂ =

= ∂

=

r r r r

r r

; 0

;

;

0 µ₀

Remarque (discontinuités des champs) :

On a montré dans le cours sur les équations locales que les discontinuités ou continuités des champs E

r et B

r

découlaient des équations de Maxwell de la manière suivante : 0

div B= r

d’où ∆B_N =B_N2 −B_N1 =0 r

r r r

rot E B t

= −∂

∂ uuur r r

d’où ∆E_T =E_T2 −E_T1 =0 r

r r r

0

div E ρ

=ε r

d’où

2 1 1 2

0

N N N

E E E σ n

ε ^→

∆ = − =

r r r r

0 0 0

rot B j E

µ ε µ ^∂t

= +

∂ uuur r r r

d’où

2 1 0 1 2

T T T S

B B B µ j n_→

∆ = − = ∧

r r r r r

De la même manière, dans un diélectrique dépourvu de charges et de courants libres, les équations de Maxwell :

t E B rot B

t div B D

rot D

div ∂

−∂

=

∂ =

= ∂

=

r r r r

r r

; 0

;

;

0 µ₀

conduisent uniquement aux relations de continuités suivantes :

2 1 0

N N N

D D D

∆ = − =

r r r r

; ∆B_T =B_T2 −B_T1

r r r

; ∆B_N =B_N2 −B_N1 =0

r r r r

; ∆E_T =E_T2−E_T1 =0

r r r r

3 – Théorème de Gauss pour D r

: Il se réécrit simplement :

∫∫_(S) ^{Dr.nrdS =}∑^{qlibresintérieures}

Ainsi, en l'absence de charges libres :

0

) .

( =

∫∫_S ^{Dr nr dS}

Le vecteur D r

devient à flux conservatif.

4 – Milieu linéaire, homogène et isotrope :

La plupart des milieux ne présentent pas de polarisation permanente. Pour ces milieux, lorsque l'intensité du champ électrique E

r

(variable éventuellement dans le temps) n'est pas trop importante, le lien entre la polarisation P

r

du milieu et E r

reste linéaire.

Lorsque les variations de E r

sont rapides, la polarisation induite ne suit pas toujours instantanément les variations du champ, mais avec un certain retard (déphasage).

Les composantes de E r

et de P r

sont liées par des équations différentielles linéaires.

Lorsque le champ E r

varie sinusoïdalement dans le temps, on adopte la notation complexe et les composantes de E

r

et de P r

sont alors liées par des relations linéaires du type :

































=















z y x

zz e zy e zx e

yz e yy e yx e

xz e xy e xx e

z y x

E E E P

P P

, , ,

, , ,

, , , 0

χ χ χ

χ χ χ

χ χ χ

ε soit ^Pr =^ε0

[ ]

où

[ ]

Le milieu linéaire est homogène si ses propriétés ne dépendent pas du point M ; les coefficients de la matrice

[ ]

Il est isotrope si la matrice

[ ]

Finalement, dans un DLHI (diélectrique linéaire homogène isotrope), la relation entre les champs E

r et P

r

est : (en notation complexe)

E

P e

r r

χ ε₀

=

où χ_e est la susceptibilité du milieu (sans dimension), fonction de la pulsation ω du champ électrique.

Remarque : pour le vide, χ_e =0.

Expression du vecteur déplacement électrique (ou induction électrique) D r

:

Les équations de Maxwell dans les milieux diélectriques font apparaître un nouveau champ inconnu ^Dr :

P E D

r r r

+

=ε₀

Dans un milieu linéaire, homogène et isotrope : (et en notation complexe) E

E P

E

D e

r r r

r r

ε χ

ε

ε + = + =

= _{0 0}(1 )

ε est appelé permittivité diélectrique complexe du milieu. C'est une constante caractéristique du matériau.

Dans le cas du vide, ₀ ( 0) r r r r

=

= E P

D ε , alors ε_vide =ε₀.

On définit la permittivité relative ε_r (constante sans dimension) par : εr

ε

ε = ₀ soit ε_r =1+χ_e L’équation de Maxwell divD=ρ_libres

r

se réécrit alors, en faisant apparaître le champ électrique :

r libres

E div ε ε

ρ

0

= r

(dans la zone où ε_r est réelle)

En régime stationnaire, ε_r peut se mesurer par le rapport des capacités d’un condensateur avec et sans diélectrique. Elle dépend de la température et de la pression.

Quelques ordres de grandeurs :

* Solides : ε_r (paraffine) = 2,1 ; ε_r (verre) = 5,4 à 10

* Eau : ε_r (eau) = 81

* Air : ε_r (verre) = 1,000590 (à 20°C et 1 bar)

II) Etude d'un modèle de polarisation électronique, le modèle de l'électron élastiquement lié :

1 - Le modèle de l'électron élastiquement lié :

Ce modèle est dû au physicien hollandais Lorentz (1853 – 1928).

Chaque électron est traité comme un oscillateur harmonique amorti par frottement fluide (perte d’énergie par rayonnement dipolaire).

Il est placé dans un champ électrique supposé uniforme à l'échelle de la molécule, de la forme )

0cos( t E

E ω

r r

= .

Le PFD appliqué à l'électron donne :

E q v f r k a m

r r r

r =− − +

Remarques :

* Le champ de l'onde est uniforme à l'échelle de la molécule : la longueur d'onde de l'onde est >> que les dimensions de la molécule.

* Pour un milieu peu dense, on néglige les champs créés par les molécules voisines. Le champ électrique local est confondu avec celui de l’onde.

* On néglige l'action du champ magnétique de l'onde.

Dans la suite, on pose :

0 2 2 0 2

0 ; ;

ω ε τ

ω m

e n f

m m

k

p =

=

=

Alors :

mE r q r r

r r

&r

&

&r

= + +1 ₀²

τ ω

On peut définir Q=ω₀τ le facteur de qualité de l'oscillateur : mE r q Q r

r r r r

r r

&r

&

&r

&r r

&

&r+1 + ₀² = + ⁰ + ₀² = ω ω

τ ω

En régime sinusoïdal forcé : E

jQ m

q r

r r

2 0 2

0 2 0

1 1

ω ω ω

ω ω

− +

=

2 – Vecteur polarisation :

Le moment dipolaire de la molécule est p=qr =αε₀E r r r

(où α est la polarisabilité de la molécule).

Le vecteur polarisation s'en déduit : (n^* désigne le nombre de charges liées par unité de volume)

E jQ

m q n P

r r

2 0 2

0 2 0 2

*

1 1

ω ω ω

ω ω

− +

=

3 – Susceptibilité complexe du milieu : A partir de P E

e

r r

χ ε₀

= , on déduit :







 =

− +

=

− +

= ₂

0 0

2

* 0 2

0 2

0 0

2 0 2

0 2 0 0

2

*

1 : 1 1

1 χ ε ω

ω ω ω

ω χ ω

ω ω

ω ω χ ε

m q Avec n

jQ jQ

m q n

e

χ₀ est la susceptibilité diélectrique statique (pour ω = 0).

On pose χ χ₁ jχ₂

e = − , alors :

2 0

0 2

2 0 2

0 2

2 0

0 2

2 0 2

2 0 2

1

1 1

1

; 1 1

1

χ ω

ω ω

ω ω

ω χ

χ ω

ω ω

ω ω ω χ





 +







 −

=





 +







 −

−

=

Q Q Q

Dans la réalité, Q est de l'ordre de 10 ³ à 10 ⁴.

Remarque : on reconnaît des expressions semblables aux fonctions de transfert d’un filtre rejecteur de bande pour χ₁ et passe-bande pour χ₂.

On constate que les grandeurs χ₁ et χ₂ varient notablement dans la bande passante

Q ω0

ω ≈

∆ ,

de part et d'autre de ω₀ (voir figures (a) et (b)).

(Le facteur de qualité vaut ici Q = 10)

Dans cette bande passante, χ₂ prend des valeurs importantes. En dehors de cette zone, χ₂ est très faible (passe-bande très sélectif).

La figure suivante donne les parties réelle et imaginaire de la susceptibilité avec deux pulsations de résonance, l’une à la limite visible – UV et l’autre à la limite UV – Rayons X :

On peut montrer que χ₂ est directement reliée à la puissance moyenne volumique dissipée.

En effet, celle-ci vaut :

(

)

2Re

.E 1 j E

j

Pd liées liées

r r r r

=

= or :

E j j

P j jliées

r r r

)

( _{1 2}

0 χ χ

ωε

ω = −

= D'où :

2 0 2

2 0

1 E

P_d = ωε χ

Ainsi, l'absorption de l'onde EM sera surtout importante pour des pulsations comprises autour de ω₀.

Ainsi, lorsque la bande d’absorption est éloignée du domaine d’étude (généralement le visible), alors il est inutile de tenir compte du terme d’amortissement dans le PFD appliqué à l’électron. La susceptibilité et l’indice sont alors réels (c’est l’EM dans le vide où c est remplacé par c / n !).

4 – Polarisation totale et ordre de grandeurs :

Un milieu contient souvent plusieurs types de charges susceptibles de se déplacer sous l'action du champ EM de l'onde :

* Les autres électrons liés à l'atome ou à la molécule.

* Les noyaux même lourds.

Toutes ces charges liées contribuent au vecteur polarisation total qui peut se mettre sous la forme :

E jQ

m q n P

i

i i i

i i

i i

r

r ∑

− +

=

2 , 0

2

, 0

2 , 0

2

*

1 1

ω ω ω

ω ω

A chaque type d'oscillateur correspond une zone d'absorption. Entre ces zones, la dissipation d'énergie au sein du milieu est faible.

Quelques ordres de grandeurs :

* Les pulsations caractéristiques de la polarisation électronique ω_0,e sont situées dans le domaine visible et l'UV (fréquences de l'ordre de 10 ¹⁴ à 10 ¹⁵ Hz).

* Les pulsations propres associées aux mouvements des atomes d'une molécule ou des ions d'un cristal ionique, beaucoup plus massifs que les électrons, sont nettement plus faibles. Les pulsations caractéristiques de la polarisation atomique ou ionique ω_0,i, suivant les cas, apparaissent dans le domaine IR (fréquences de l'ordre de 10 ¹² à 10 ¹⁴ Hz).

Les facteurs de qualité associés sont élevés, de l'ordre de 10 ⁴ en moyenne, de sorte que l'on observe des zones d'absorption distinctes correspondant aux polarisations électroniques et ioniques.

Intervention des divers types de polarisation (représentation schématique, l'axe des pulsations étant gradué en échelle logarithmique).

La figure montre l'allure des graphes de χ₁ et de χ₂ en fonction de la pulsation en ne considérant à chaque fois qu'une seule pulsation de chaque type. L'absorption est importante à chaque fois

dans les régions où χ₂ est non négligeable (et χ₁ varie alors sensiblement). En dehors de ces régions, χ₂ est pratiquement nulle et χ₁ varie peu avec la fréquence. L'absorption est insignifiante : le milieu est transparent à l'onde EM.

La courbe en pointillés suggère l'influence d'une polarisation d'orientation ou polarisation dipolaire. Dans l'IR lointain et dans le domaine hertzien, pour un milieu constitué de molécules polaires (comme l'eau par exemple), c'est toute la molécule qui peut osciller dans le champ de l'onde.

Ainsi, l'eau présente :

• Une zone de transparence dans le domaine visible.

• Des zones d'absorption dans l'UV (transitions entre niveaux électroniques) et dans l'IR (modes de vibration de la molécule).

• Une absorption dans le domaine des ondes centimétriques (dpolarisation d’orientation), à la base du fonctionnement des fours à micro-ondes qui échauffent l'eau contenue dans les aliments.

On peut noter enfin que dans les domaines des rayons X (à très hautes fréquences, de l'ordre de 10 ¹⁷ à 10 ²⁰ Hz), χ_e est réelle et tend toujours vers zéro par valeurs négatives. La plupart des milieux sont ainsi transparents aux rayons X.

Remarque : notons encore que pour être plus réaliste, le modèle classique présenté ici devrait inclure les interactions entre les constituants du matériau.

5 – Complément ; polarisation d’orientation :

Il est important de remarquer que, contrairement aux polarisations électroniques et atomiques, la polarisabilité d’orientation dépend fortement de la température.

Modèle de Debye de la polarisation d’orientation : La polarisation d’orientation P

r

sous l’action d’un champ variable E r

se décrit bien dans le cas de l’eau (molécule polaire) par l’équation suivante :

0 0

dP P E

τ dt + =ε χ

r r r

Que représente τ ? Comment s’interprète le terme dP τ dt

r

? Ce milieu est-il linéaire ?

Décrire la situation en basses fréquences et aux fréquences optiques, sachant que τ ≈10⁻¹² s et que la fréquence d’absorption des micro-ondes est de 2,45 GHz.

Une application numérique intéressante :

Quelle est l’énergie d’une molécule d’eau de moment dipolaire p=0, 6.10⁻²⁹C m. lorsque qu’elle est orientée dans le sens d’un champ très fort E=10⁵V m. ⁻¹ ? Le liquide est à une température T = 300 K ; un choc entre molécules transférant une énergie thermique de l’ordre de kT peut-il désorienter le moment dipolaire ? Conclusion.

III) Propagation d'ondes EM dans un DLHI :

Une erreur consiste à croire qu’un milieu isolant (comme les diélectriques) ne laisse pas passer les ondes (hertziennes par exemple). Or c’est exactement le contraire : les diélectriques sont essentiellement transparents aux ondes hertziennes, alors que les milieux conducteurs (eau de mer, métaux) les réfléchissent et les absorbent.

exercice

1 – Equation de propagation :

Les équations de Maxwell dans le milieu sont : (il n'y a ni charges ni courants libres) t

B D rot et

D

div ∂

= ∂

=

r r r

0 µ0

t E B rot et

B

div ∂

−∂

=

=

r r r

0 Avec :

E E

P E

D _{e r}

r r

r r r

ε ε χ

ε

ε₀ + = ₀(1+ ) = ₀

= En remarquant que

t B D

rot ∂

= ∂ r r

µ0 est identique à

t B E

rot _r

∂

= ∂ r r

0 0ε µ

ε , on voit qu'on se ramène à l'équation de propagation dans le vide à condition de remplacer ε₀ par ε₀ε_r.

Ainsi, les champs EM vérifient l'équation de d'Alembert :

0

;

0 ₂

2 2 2

2 2

r r r

r r r

∂ =

− ∂

∆

∂ =

− ∂

∆ t

B B c

t E

E εc^r ε^r

Remarques :

* On considère un DLHI en l’absence de charges libres. Alors : 0 )

0 ( =

= E et div D

D _r

r r

r

ω ε ε

Comme ε_r(ω) ne dépend pas des coordonnées de l’espace :

0 0

) ( ) ( )

) (

( ₀ = ₀ = =

=div E div E donc divE

D

div _{r r}

r r

r r

ω ε ε ω

ε ε

Avec D E P

r r r

+

=ε₀ , on déduit que divP=0 r

, par conséquent :

=0

−

= div P

liées

ρ r

Ainsi, les charges de polarisation sont localisées uniquement à la surface dans un DLHI.

On peut le voir par exemple dans le polycopié du cours, page 3, sur la figure du condensateur rempli d’un diélectrique.

* Equation locale de conservation de l’énergie :

L’équation de conservation de l’énergie, en l’absence de courants libres mais en tenant compte des courants de polarisation devient :

2 2

0

0 0

1 1

2 2 ^liées.

B E B

E div j E

t ε

µ µ

 

 

∂ ∧

+ = −  −

 

∂    

r r

r r

Soit, avec _liées P _{0 e}

j E

t ε χ

=∂ =

∂

r r

r

et en notant traditionnellement

0

E B µ Π = ∧

r r

r

:

2 2

0 0

0

1 1

2 2 ^e .

B E

E div E

t ε ε χ t

µ

 

∂ ∂

+ = − Π −

 

∂   ∂

r r r

Soit :

2 2

2 2

0 0

0 0

1 1 1 1

(1 )

2 ^e 2 2 ^r 2

B B

E E div

t ε χ t ε ε

µ µ

   

∂ ∂

+ + = + = − Π

   

∂   ∂  

r

On définit une nouvelle expression de l’énergie EM volumique :

2

' 2

0

0

1 1

2 2

em r

e ε ε E B

= + µ

Et l’équation locale de conservation de l’énergie EM devient alors :

'

eem

t div

∂ = − Π

∂

r

2 – Relation de dispersion, indice du milieu :

On réalise une étude harmonique en recherchant des solutions complexes de la forme, pour le champ électrique par exemple :

( . )

0

j t k r

E=E e ^{ω −} r r r r

où le vecteur d’onde k r

est a priori complexe.

L'équation de d'Alembert conduit à la relation de dispersion :

2 2 2

k _rωc ε

=

On pose ε_r =ε₁− jε₂ et k =k₁− jk₂, alors :

2 2 2 2 1 2 1

2 2 2 2

1 ; 2 ω ε

ω ε

k c c k

k

k − = =

On définit l'indice complexe du milieu par référence au vecteur d'onde dans le vide, k ωc

0 = : c k

k n k

=ω

=

0

(Remarque : l'indice d'un milieu en optique est simplement défini par :

k0

k v c v

n=c = ω =

ω ^).

Remarque sur la définition de l’indice complexe :

On a vu dans le cas des ondes mécaniques que la vitesse de phase était donné par : Re( )

v^ϕ k

= ω

L’indice correspondant (qui est l’équivalent de l’indice de réfraction connu en optique pour les ondes lumineuses) est :