,
:
( 1 1 2 2
) ( 0
1
2 positifs
n c k c et n k Avec e
e E
E k x jωt kx ω ω
=
=
= − −
r r
Soit, en notation réel et en supposant E0
r
réel :
)
cos( 1
0
2 t k x
e E
Er = r −kx ω −
* L'indice n1 est l'indice de réfraction que l'on utilise en optique. Il permet d'exprimer la vitesse de phase de l'onde plane :
1
1 n
c v = kω =
ϕ
Si n1 dépend de ω, il y a dispersion.
Si la pulsation est éloignée d'une pulsation propre, l'indice du milieu est réel et égal à n1. De plus, n1 varie peu avec la fréquence, la dispersion est faible (voir l'application suivante, sur la loi de Cauchy).
* Le coefficient n2 caractérise l'absorption de l'onde par le milieu. Il est encore appelé indice d'extinction. La longueur δ =1/k2 donne l’ordre de grandeur de la longueur de pénétration de l'onde dans le milieu.
exp(- x / δ)
x Courbe à t fixé
Pour qu'il y ait absorption, il faut se placer dans une zone de fréquences située au voisinage d'une pulsation propre du milieu.
Par exemple, le verre absorbe le rayonnement UV dont la longueur d'onde est inférieure à 320 nm. L'ozone et le dioxygène possèdent également une zone d'absorption dans l'UV, ce qui explique le rôle protecteur de l'ozone et de l'atmosphère.
Courbes expérimentales n1(λλλ) et nλ 2(λλλλ) pour l'eau dans l'IR.
L'eau et le dioxyde de carbone absorbent l'IR (ce qui explique l'effet de serre) : les rayons solaires traversant l’atmosphère sont absorbés par le sol ; celui – ci s’échauffe et émet un rayonnement infrarouge. C’est ce rayonnement infrarouge qui, absorbé par la vapeur d’eau et le dioxyde de carbone contenus dans l’atmosphère, échauffe celle – ci.
A une échelle réduite, une serre de jardin utilise le même principe, car le verre absorbe le rayonnement infrarouge de longueur d’onde supérieure à 2 500 nm.
1ère application ; Loi de Cauchy pour l'indice d'un prisme de verre :
On se propose d’étudier le modèle simplifié suivant de la propagation d’une onde dans un milieu neutre dilué (du verre, par exemple) et de démontrer l’expression de la loi de Cauchy donnée en 1ère année (n(λ)=A+B/λ2).
On suppose que f = 0 et que ω0 >> ω. L’indice du milieu pour la pulsation ω est défini par la relation : vϕ =c/n, où vϕ est la vitesse de phase.
Montrer que l’on peut écrire une formule approchée (loi de Cauchy) : B2 n A
= +λ , où λ est la longueur d’onde dans le vide d’une onde de pulsation ω et où A et B sont des constantes caractéristiques du milieu que l’on exprimera en fonction de ω0, χe et c.
Si l'on reprend les notations du cours, l’indice du milieu est réel et vaut, avec Q infini (on suppose ω0
ω<< , on est loin de l’absorption). On peut alors faire un DVL de n 2 :
2 0
2 2 0
1 1
1
n e χ
χ ω
ω
= + ≈ +
− Soit :
2
0 0
2 2
0 2
0
1 1 1 1
2 2
1
n χ χ ω
ω ω
ω
≈ + ≈ + +
−
La longueur d’onde dans le vide est donnée par :
ω
λ= 2πc, d’où :
2 2 0
2 2 2
0
4 1
1 1
2
c B
n χ π A
ω λ λ
= + + = +
En posant :
2 2 0
2 0 0
1 2 2
A χ et B π c
ω χ
= + =
C’est la loi de Cauchy.
2nde application ; loi de Gladstone :
Afin de ne pas confondre avec l’indice, exprimer la densité particulaire n* en fonction de la masse volumique ρ et de la masse molaire M.
Pour un gaz (milieu dilué), montrer qu’il est facile d’obtenir une relation simple entre la polarisabilité α (grandeur microscopique) et l’indice n du milieu transparent (grandeur macroscopique).
Dans le cas de l’air, quelle est alors la valeur numérique de α ? En appliquant la relation 4 a3
α = π , où a est le rayon des molécules supposées sphériques, déduire la « taille » des molécules d’air.
3ème application ; loi de Beer-Lambert :
On peut proposer une interprétation de la loi de Beer-Lambert utilisée en spectrométrie en chimie.
Sachant que, pour λ = 500 nm, l’intensité à la profondeur de 12 m est le dixième de l’intensité près de la surface de l’eau, calculer l’indice d’extinction de l’eau.
3 – Relation entre vitesse de phase et vitesse de groupe : La vitesse de phase et la vitesse de groupe sont données par :
) (
; 1 1
1 1
1 c
k n dk v d n
c
v kω g ω ω
ϕ = = = =
En dérivant k1 :
+
=
= ω ω
ω d
n dn c v d dk
g
1 1
1 1 1
Soit λ la longueur d’onde dans le vide (λ=2πc/ω) :
λ λ λ
λ π π ω ω
ω ω
d dn c
dn d c dn
d d
dn 1
1 1 1
2 1 2
1 =−
=
= Le cours
conduit à la valeur
Finalement :
λ λ λ λ
ϕ
d dn n
v d
n dn vg c
1 1 1
1 1−
=
−
=
La vitesse de phase est représentée en traits pleins et la vitesse de groupe en pointillés (limitée à c). Dans le domaine d’absorption, la vitesse de phase varie rapidement et la vitesse de groupe dépasse la valeur c. Elle ne représente plus la vitesse de propagation de l’énergie et perd sa signification.
En fait, dans une zone d’absorption, la dispersion est très importante. Un paquet d’ondes est donc fortement déformé au cours de sa propagation si bien que son amplitude (le « sommet » de l’enveloppe) peut ne plus être définie.
4) Exemple d’un milieu anisotrope, lames demi-onde ou quart d’onde :
Pour les lames demi-onde ou quart d’onde (voir TP), on distingue l’axe (Ox) (direction de propagation) des axes (Oy) et (Oz) du plan d’onde (directions de polarisation du champ électrique). Ce milieu anisotrope est bien représenté par la relation : *
0 0 0 0
0 0 0 0 ( )
0 0 0 0
x x x x
y y y y y z
z z z z
D E
D D E E Avec
D E
ε ε
ε ε ε ε
ε ε
= = = ≠
r r
Cela signifie qu’une onde EM se propage suivant (Ox) avec un indice ny = εr y, pour la composante Ey et un indice nz = εr z, pour la composante Ez. En déduire qu’une lame d’épaisseur e (par exemple de x = 0 à x = e) entraîne un changement d’état de polarisation de l’onde.
Une lame demi-onde, également notée lame λ/2, crée un déphasage valant 180°, c'est-à-dire un retard d'une moitié de longueur d'onde. L'onde sortante d'une telle lame présente une polarisation symétrique de l'onde entrante par rapport à l'axe optique.
Une lame quart d'onde, également notée lame λ/4, crée un déphasage de 90°, c'est-à-dire un retard d'un quart de longueur d'onde. Elle permet de passer d'une polarisation rectiligne à une polarisation elliptique ou circulaire, et vice-versa.
IV) Réflexion et réfraction des ondes EM :
On considère deux milieux diélectriques LHI (1) et (2).
On se place dans les zones de transparence pour lesquelles les indices n1 et n2 sont réels.
Une onde incidente arrive à l'interface entre les deux milieux (sur le dioptre, surface qui sépare les deux diélectriques). On souhaite déterminer l'onde réfléchie et l'onde transmise.
On rappelle que, dans un diélectrique dépourvu de charges et de courants libres, les équations de Maxwell :
conduisent aux relations de continuités suivantes :
2 1 0
La composante tangentielle du champ électrique est continue ainsi que la composante normale du champ magnétique à la traversée du dioptre.
La relation de Maxwell valable pour le champ D r
, divD=0 r
, montre que la composante normale du champ D
r
est continue (alors que celle du champ E r
est discontinue).
La composante tangentielle du champ magnétique est continue : finalement, le champ magnétique B
r
est continu à la traversée du dioptre.
1 – Lois de Descartes :
Le champ électromagnétique de l’onde incidente, se propageant dans la direction du vecteur uri dans le milieu (1) s’écrit :
Pour l’onde réfléchie dont la pulsation est la même que celle de l’onde incidente (se propageant dans la direction du vecteur urr
dans le milieu 1) :
Pour l’onde transmise dont la pulsation est la même que celle de l’onde incidente (se propageant dans la direction du vecteur urt
dans le milieu 2) :
On peut écrire la continuité de la composante tangentielle du champ électrique :
) choisie sur le dioptre).
Soit encore :
Cette équation devant être valable pour tout point P, il vient : 0 ).
( ).
(kri−krr rrP = kri−krt rrP =
Les vecteurs ki kr
On en déduit que le vecteur d’onde de l’onde réfléchie et de l'onde transmise sont donc dans le plan d’incidence (défini par ki
r réflexion sont identiques (loi de Descartes pour la réflexion).
Si on projette sur la surface du dioptre ki kt On démontre ainsi la loi de Descartes sur la réfraction.
Réfraction limite, réflexion totale, onde évanescente :
Le milieu le plus réfringent possède l’indice de réfraction le plus grand.
Incidence rasante et angle de réfraction limite.
On peut encore écrire ki −kt
r r
que est parallèle à la normale au dioptre, soit en projection :
, sin 1 , cos 1
Et enfin la composante (selon la direction de propagation (Ox)) du vecteur d’onde de l’onde transmise :
2 2 2
, 0 1 sin 1 2
kt x =α = ±jk n i −n
Par conséquent, l’onde transmise peut s’écrire (attention, x est ici > 0) :
2 2 2
Dans ce cas particulier, on peut écrire :
* Continuité du champ électrique :
t
* Continuité du champ magnétique :
x t
En multipliant vectoriellement chaque membre par urx :
t
(On a supposé sur le dessin les ondes polarisées rectilignement)
On obtient ainsi le système :
Quelques remarques :
* t est toujours positif : il n'y a pas de changement de phase lors de la transmission.
* r peut être positif ou négatif :
- n1 > n2 : la réflexion n'introduit pas de déphasage - si n1 < n2 : la réflexion introduit un déphasage de π.
3 – Coefficients (en énergie) de réflexion et de transmission en incidence normale :
Le vecteur de Poynting incident est (en valeur moyenne) :
x
Pour les ondes réfléchie et transmise :
x
Les coefficients en énergie de réflexion et de transmission sont alors :
2
la caméra interférent destructivement ; la couche antireflet est efficace pour une longueur d’onde et une incidence données.
Rayons réfléchis et transmis par la couche mince diélectrique.
Exercice d’application ; lame antireflets :
Une OPPM polarisée rectilignement de longueur d’onde λ0, provenant d’un
Solution :
4 – Coefficients (en amplitude) de réflexion et de transmission en incidence quelconque :
Le calcul des coefficients de réflexion et de transmission s'effectue de manière analogue en distinguant le cas d'une onde polarisée dans le plan d'incidence et le cas d'une onde polarisée perpendiculairement au plan d'incidence.
Les formules de Fresnel :
a) Calculer les coefficients de réflexion et de transmission en amplitude et énergie sous incidence oblique sur un dioptre plan pour :
Solution :
Remarques :
Lorsque n2 < n1, les coefficients de réflexion sont égaux à 1 pour tout angle d'incidence supérieur à l'angle limite il =arcsin(n2/n1) : on retrouve le phénomène de réflexion totale vue en optique géométrique.
D'autre part, une onde polarisée dans le plan d'incidence ne donne naissance à aucune onde réfléchie lorsque l'angle d'incidence est égal (voir exercice) à l'angle de Brewster
) / arctan(n2 n1
ib = ; dans ce cas, le dioptre éclairé par une lumière non polarisée (superposition aléatoire d'ondes polarisées dans le plan d'incidence et perpendiculaire à ce plan) donne naissance à une onde réfléchie polarisée perpendiculairement au plan d'incidence. On a ainsi obtenu une lumière polarisée rectilignement à partir de lumière non polarisée : ce procédé est appelé polarisation par réflexion vitreuse.
Cette propriété est utilisée en photographie où l'utilisation de filtres polarisants permet de réduire la lumière réfléchie (donc parasite).
(Figure)
(Figure)