Ondes dans les milieux diélectriques

Ondes dans les milieux diélectriques

PC*

I) Propagation d'ondes EM dans un diélectrique : 1 – Equation de propagation :

Ainsi, les champs EM vérifient l'équation de d'Alembert :

2 2 2 2

2 2 2 2

n E n B

E 0 ; B 0

c t c t

∆ − ^∂ = ∆ − ^∂ =

∂ ∂

r r

r r

r r

2 – Dispersion et absorption :

Le champ électrique d'une onde plane monochromatique se propageant dans le sens des x > 0 s'écrit :

) ,

:

( _{1 1 2 2}

) (

0

1

2 positifs

n c k

c et n k

Avec e

e E

E ^{k x j} _ω^{t k x} ω ω

=

=

= ^{− −}

r r

Soit, en notation réel et en supposant

E

r

réel :

)

cos( ₁

0

2 t k x

e E

E^r = ^{r −k x} ω −

L'indice n₁ : c’est l'indice de réfraction que l'on utilise en optique. Il permet d'exprimer la vitesse de phase de l'onde plane :

1

1 n

c v = ωk =

ϕ

Si n₁ dépend de ω, il y a dispersion. Si la pulsation est éloignée d'une pulsation propre, l'indice du milieu est réel et égal à n₁. De plus, n₁ varie peu avec la fréquence, la dispersion est faible (voir l'application suivante, sur la loi de Cauchy).

• L’indice n₂ : caractérise l'absorption de l'onde par le milieu. Il est encore appelé indice d'extinction. La longueur δ =1/k2 donne l’ordre de grandeur de la longueur de pénétration de l'onde dans le milieu.

exp(- x / δ)

x Courbe à t fixé

II) Réflexion et réfraction des ondes EM :

On considère deux milieux diélectriques LHI (1) et (2). On se place dans les zones de transparence pour lesquelles les indices n₁ et n₂ sont réels.

Une onde incidente arrive à l'interface entre les deux milieux (sur le dioptre, surface qui sépare les deux diélectriques). On souhaite déterminer l'onde réfléchie et l'onde transmise.

On admet la continuité du champ électromagnétique.

1 – Lois de Descartes :

Le champ électromagnétique de l’onde incidente, se propageant dans la direction du vecteur urⁱ

dans le milieu (1) s’écrit :

) . (

0

r k t i i i

e

E E

r r

r

r

=

) . 0i i( t k r i

i

e i

E B k

r r

r r

r ∧ −

= ^ω

ω (avec ⁱ uⁱ

n c

kr ω r

= 1 )

(2) (1)

P O

N

i

r k

r

k

r

r r

k

r

(2) (1)

P O

N

i r k

r

k

r

rrP

k t

r

(1)

N r ki

r

kr

r

(2)

P kt

r i₁

i₂

Réfraction limite, réflexion totale, onde évanescente :

Le milieu le plus réfringent à l’indice de réfraction le plus grand.

Incidence rasante et angle de réfraction limite.

Application : l’incidence de Brewster :

2 – Coefficients (en amplitude) de réflexion et de transmission en incidence normale :

(1)

(2)

x

E_i E_r

E_t k_t

B_t B_i

B_r k_r

k_i

(On a supposé sur le dessin les ondes polarisées rectilignement) r

r

r r r r

On en déduit :

2 1

2 1

0

0 n n

n r n

avec E

r

E _{r i}

+

= −

= r r

2 1

1 0

0

2 n n

t n avec

E t

E _{t i}

= +

= r r

Quelques remarques :

* t est toujours positif : il n'y a pas de changement de phase lors de la transmission.

* r peut être positif ou négatif :

- n₁ > n₂ : la réflexion n'introduit pas de déphasage - n₁ < n₂ : la réflexion introduit un déphasage de π.

3 – Coefficients (en énergie) de réflexion et de transmission en incidence normale :

Le vecteur de Poynting incident est (en valeur moyenne) :

x i

i E u

c

n r

r 2

, 0 0

1

2µ

= Π

Pour les ondes réfléchie et transmise :

x t t

x r

r E u

c et n

u c E

n r r r

r 2

, 0 0 2 2

, 0 0 1

) 2

2µ (^{− Π =} µ

= Π

Les coefficients en énergie de réflexion et de transmission sont alors :

2 2 1

2 2 1

1 2 2

2 1

2 2 1

) (

4 n n

n t n

n T n

n et n

n r n

R

i t

i r

= + Π =

= Π







 +

= − Π =

= Π r

r r

r

Exercice : couche antireflet

Un verre d'indice n (réel) est recouvert d'une mince couche transparente d'épaisseur a et d'indice N (réel) comme l'indique le schéma ci-dessous :

Une OPPM (1) de pulsation ω, à polarisation rectiligne (E₀ réel), de champ noté :

E₁ = E₀ej(ωt - kz)

e_x (avec, dans l'air d'indice 1, k = ω / c)

arrive sur la couche transparente sous incidence normale. Cette onde donne naissance, par réflexion et par transmission, aux OPPM notées (2), (3), (4) et (5), de même pulsation ω.

a) Donner l'expression générale des champs électromagnétiques de ces ondes (en notation complexe).

b) Ecrire, pour ces champs, les conditions aux limites en z = 0 et en z = a. En déduire l'amplitude complexe E₀₂ du champ électrique réfléchi par la couche en fonction de n, N, a, k et E₀.

c) A quelles conditions doivent satisfaire N et n d'une part, a d'autre part, pour qu'il n'y ait pas d'onde réfléchie dans l'air (E₀₂ = 0) ?

On exprimera a en fonction de la longueur d'onde λ (dans le vide) et N.

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