OD5 – Interface entre deux milieux

OD5 – Interface entre deux milieux

I – Réflexion et transmission d’une onde sonore

I-1) Interface plane infinie entre deux fluides

On étudie la réflexion et la transmission d'une onde sonore plane progressive à l'interface entre deux fluides différents, caractérisés par leur impédances 𝑍𝑍 ₁ 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑍𝑍 ₂ .

On construit un axe (Ox) orthogonal à l'interface, dans la direction et le sens de propagation de l'onde incidente. On place l'origine du repère sur l'interface, laquelle est fixe au repos, donc les pressions au repos P o sont identiques dans les deux fluides.

I-2) Modélisation et conditions aux limites

On se place dans le cas d'ondes planes progressives harmoniques. Les champs des vitesses et de surpression des trois ondes sont :

� 𝑣𝑣 _𝚤𝚤

���⃗ = 𝑣𝑣 _{𝑜𝑜𝑜𝑜} 𝑒𝑒 ^{𝑗𝑗( ω 𝑡𝑡−𝑘𝑘 𝑖𝑖 𝑥𝑥)} 𝑢𝑢 ����⃗ _𝑥𝑥 𝑣𝑣 _𝑟𝑟

���⃗ = 𝑣𝑣 _{𝑜𝑜𝑟𝑟} 𝑒𝑒 ^{𝑗𝑗( ω 𝑡𝑡+𝑘𝑘 𝑟𝑟 𝑥𝑥)} 𝑢𝑢 ����⃗ _𝑥𝑥 𝑣𝑣 _𝑡𝑡

���⃗ = 𝑣𝑣 _{𝑜𝑜𝑡𝑡} 𝑒𝑒 ^{𝑗𝑗( ω 𝑡𝑡−𝑘𝑘 𝑡𝑡 𝑥𝑥)} 𝑢𝑢 ����⃗ _𝑥𝑥

𝑒𝑒𝑒𝑒 �

𝑝𝑝 _𝑜𝑜 = 𝑍𝑍 ₁ 𝑣𝑣 _𝑜𝑜 𝑝𝑝 _𝑟𝑟 = −𝑍𝑍 ₁ 𝑣𝑣 _𝑟𝑟

𝑝𝑝 _𝑡𝑡 = 𝑍𝑍 ₂ 𝑣𝑣 _𝑡𝑡 𝑜𝑜ù � 𝑍𝑍 ₁ = µ _{01 𝑐𝑐 1} 𝑍𝑍 ₂ = µ _{02 𝑐𝑐 2}

On applique le principe fondamental de la dynamique à une

surface S de l'interface. Comme son nom l'indique, l'interface sépare

les deux fluides ; ce ne sont plus les molécules du fluides 1, mais pas

encore celle de 2 : l'interface n'a pas de masse.

Alors : 𝑚𝑚𝑎𝑎⃗ = 0 �⃗

⟺ �𝑃𝑃 ₀ + 𝑃𝑃 _𝑜𝑜 (0, 𝑒𝑒) + 𝑃𝑃 _𝑟𝑟 (0, 𝑒𝑒)� 𝑆𝑆 𝑢𝑢 ����⃗ − �𝑃𝑃 _{𝑥𝑥 0} + 𝑃𝑃 _𝑡𝑡 (0, 𝑒𝑒)� 𝑆𝑆𝑢𝑢 ����⃗ _𝑥𝑥 = 0 �⃗

Ainsi :

𝑃𝑃 _𝑜𝑜 (0, 𝑒𝑒) + 𝑃𝑃 _𝑟𝑟 (0, 𝑒𝑒) = 𝑃𝑃 _𝑡𝑡 (0, 𝑒𝑒)

⇒ _{𝑍𝑍 1 𝑣𝑣 0𝑜𝑜 𝑒𝑒} ^{𝑗𝑗 ω 𝑖𝑖 𝑡𝑡} _{− 𝑍𝑍 1 𝑣𝑣 0𝑟𝑟 𝑒𝑒} ^{𝑗𝑗 ω 𝑟𝑟 𝑡𝑡} _{= 𝑍𝑍 2 𝑣𝑣 0𝑡𝑡 𝑒𝑒} ^{𝑗𝑗 ω 𝑡𝑡 𝑡𝑡}

Cette équation est vraie pour tout t, ainsi les pulsations des trois ondes sont identiques :

ω _{𝑜𝑜 =} ω _{𝑟𝑟 =} ω _𝑡𝑡 𝑛𝑛𝑜𝑜𝑒𝑒é𝑒𝑒 ω

L'onde incidente fait vibrer l'interface à la pulsation ω _{; cette} vibration crée les ondes réfléchie et transmise à cette même pulsation. En simplifiant par l'exponentielle complexe :

Les fluides ne sont pas miscibles, ils ne se mélangent pas. Si les molécules du fluide 1 bougent à une certaine vitesse, ils poussent les molécules du fluide 2 à la même vitesse. Les champs des vitesses sont donc continus :

𝑣𝑣 _𝑜𝑜 (0, 𝑒𝑒) + 𝑣𝑣 _𝑟𝑟 (0, 𝑒𝑒) = 𝑣𝑣 _𝑡𝑡 (0, 𝑒𝑒) ⇔ _{𝑣𝑣 0𝑜𝑜 + 𝑣𝑣 0𝑟𝑟 = 𝑣𝑣 0𝑡𝑡}

I-3) Justification des conditions aux limites en 0

Les conditions aux limites sont écrites en x = 0, alors que l'interface vibre, sous l'action de l'onde incidente, et donc se propage d'une distance ξ _(𝑒𝑒) .

A l’interface des deux milieux il y a continuité de la vitesse et la surpression ce qui se traduit par :

�𝑍𝑍 ¹ (𝑣𝑣 _0𝑜𝑜 − 𝑣𝑣 _0𝑟𝑟 ) = 𝑍𝑍 ₂ 𝑣𝑣 _0𝑡𝑡

𝑣𝑣 _0𝑜𝑜 + 𝑣𝑣 _0𝑟𝑟 = 𝑣𝑣 _0𝑡𝑡

Cependant si on écrit les conditions aux limites en ξ _(𝑒𝑒) on a : 𝑃𝑃 _𝑜𝑜 ( ξ _{, 𝑒𝑒) = 𝑍𝑍 1 𝑣𝑣 0𝑜𝑜 𝑒𝑒} ^{𝑗𝑗( ω 𝑡𝑡−𝑘𝑘 ξ )} _{= 𝑍𝑍 1 𝑣𝑣 0𝑜𝑜 𝑒𝑒} ^{𝑗𝑗� ω 𝑡𝑡−2 λ πξ �}

Comme : ξ _≪ λ dans le cas de l’approximation acoustique, on retrouve l’expression en x=0 : 𝑃𝑃 _𝑜𝑜 ( ξ _{, 𝑒𝑒 )} ∼ _{𝑃𝑃 𝑜𝑜 (0, 𝑒𝑒)}

⇒ Les conditions aux limites sont écrites en x = 0 dans l'approximation acoustique.

I-4) Coefficients de réflexion et de transmission en amplitude

On définit les coefficients de réflexion et de transmission en amplitude pour les champs des vitesses par :

𝑟𝑟 _𝑣𝑣 = 𝑣𝑣 _0𝑟𝑟

𝑣𝑣 _0𝑜𝑜 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑒𝑒 _𝑣𝑣 = 𝑣𝑣 _0𝑡𝑡 𝑣𝑣 _0𝑜𝑜 Or :

�𝑍𝑍 ¹ (𝑣𝑣 _0𝑜𝑜 − 𝑣𝑣 _0𝑟𝑟 ) = 𝑍𝑍 ₂ 𝑣𝑣 _0𝑡𝑡

𝑣𝑣 _0𝑜𝑜 + 𝑣𝑣 _0𝑟𝑟 = 𝑣𝑣 _0𝑡𝑡 ⇔ _�𝑍𝑍 ^{1 (1 − 𝑟𝑟 𝑣𝑣 ) = 𝑍𝑍 2 𝑒𝑒 𝑣𝑣} 1 + 𝑟𝑟 _𝑣𝑣 = 𝑒𝑒 _𝑣𝑣

⇒ _{1 + 𝑟𝑟 𝑣𝑣 =} ^{𝑍𝑍 1 (1 − 𝑟𝑟 𝑣𝑣 )}

𝑍𝑍 ₂ ⇒ _{𝑟𝑟 𝑣𝑣 �1 +} ^{𝑍𝑍 1}

𝑍𝑍 ₂ � = 𝑍𝑍 ₁ 𝑍𝑍 ₂ − 1

⇒ _{𝑟𝑟 𝑣𝑣 =} ^{𝑍𝑍 1 − 𝑍𝑍 2}

𝑍𝑍 ₁ + 𝑍𝑍 ₂ 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑒𝑒 _𝑣𝑣 = 1 + 𝑟𝑟 _𝑣𝑣 = 2𝑍𝑍 ₁ 𝑍𝑍 ₁ + 𝑍𝑍 ₂ De même :

𝑟𝑟 _𝑝𝑝 = 𝑝𝑝 _0𝑟𝑟

𝑝𝑝 _0𝑜𝑜 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑒𝑒 _𝑝𝑝 = 𝑝𝑝 _{𝑜𝑜𝑡𝑡} 𝑝𝑝 _{𝑜𝑜𝑜𝑜}

⇒

⎩ ⎨

⎧𝑟𝑟 _𝑝𝑝 = 𝑝𝑝 _0𝑟𝑟

𝑝𝑝 _0𝑜𝑜 = 𝑍𝑍 ₁ 𝑣𝑣 _{𝑜𝑜𝑟𝑟}

−𝑍𝑍 ₁ 𝑣𝑣 _0𝑜𝑜 = −𝑟𝑟 _𝑣𝑣 𝑒𝑒 _𝑝𝑝 = 𝑝𝑝 _{𝑜𝑜𝑡𝑡}

𝑝𝑝 _{𝑜𝑜𝑜𝑜} = 𝑍𝑍 ₂ 𝑍𝑍 ₁ 𝑒𝑒 _𝑣𝑣 Donc :

𝑟𝑟 _𝑝𝑝 = 𝑍𝑍 ₂ − 𝑍𝑍 ₁

𝑍𝑍 ₁ + 𝑍𝑍 ₂ 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑒𝑒 _𝑝𝑝 = 2𝑍𝑍 ₂

𝑍𝑍 ₁ + 𝑍𝑍 ₂

Les coefficients de réflexion et de transmission sont calculés dans le cas d'ondes planes progressives harmoniques. Mais si les ondes sont planes, progressives, mais ne sont pas de forme harmonique, les formules ne changent pas car une onde de forme quelconque est développée en somme de Fourier.

I-5) Coefficients de réflexion et de transmission en puissance

On définit les coefficients de réflexion et de transmission en puissance par :

𝑅𝑅 = 〈‖𝜋𝜋 ������⃗‖〉 _0𝑟𝑟

〈‖𝜋𝜋 �����⃗‖〉 _0𝚤𝚤 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑇𝑇 = 〈‖𝜋𝜋 ������⃗‖〉 _0𝑡𝑡

〈‖𝜋𝜋 �����⃗‖〉 _0𝚤𝚤

Le calcul des vecteurs de Poynting requiert la notation réelle :

� 𝜋𝜋 ���⃗ _𝚤𝚤 = 𝑃𝑃 _𝑜𝑜 𝑣𝑣 ���⃗ _𝚤𝚤 = 𝑍𝑍 ₁ 𝑣𝑣 _𝑜𝑜 ² 𝑢𝑢 ����⃗ _𝑥𝑥 𝜋𝜋 _𝑟𝑟

����⃗ = 𝑃𝑃 _𝑟𝑟 𝑣𝑣 ���⃗ _𝑟𝑟 = −𝑍𝑍 ₁ 𝑣𝑣 _𝑟𝑟 ² 𝑢𝑢 ����⃗ _𝑥𝑥 𝜋𝜋 ����⃗ _𝑡𝑡 = 𝑃𝑃 _𝑡𝑡 𝑣𝑣 ���⃗ _𝑡𝑡 = 𝑍𝑍 ₂ 𝑣𝑣 _𝑡𝑡 ² 𝑢𝑢 ����⃗ _𝑥𝑥 On en déduit : 𝑅𝑅 = �𝑟𝑟 _𝑣𝑣 𝑟𝑟 _𝑝𝑝 � 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑇𝑇 = �𝑒𝑒 _𝑟𝑟 𝑒𝑒 _𝑝𝑝 �

⇒

⎩ ⎪

⎨

⎪ ⎧ 𝑅𝑅 = 𝑟𝑟 _𝑣𝑣 ² = � 𝑍𝑍 ₂ − 𝑍𝑍 ₁ 𝑍𝑍 ₁ + 𝑍𝑍 ₂ � ² 𝑇𝑇 = 𝑍𝑍 ₂

𝑍𝑍 ₁ 𝑒𝑒 _𝑣𝑣 ² = 4𝑍𝑍 ₁ 𝑍𝑍 ₂ (𝑍𝑍 ₁ + 𝑍𝑍 ₂ ) ²

On remarque : 𝑅𝑅 + 𝑇𝑇 = 1 , qui traduit la conservation de la puissance à l'interface.

Les coefficients de réflexion et de transmission en amplitude sont donnés par :

⎩ ⎨

⎧ 𝑟𝑟 _𝑣𝑣 = 𝑍𝑍 ₁ − 𝑍𝑍 ₂

𝑍𝑍 ₁ + 𝑍𝑍 ₂ = −𝑟𝑟 _𝑝𝑝 𝑒𝑒 _𝑣𝑣 = 2𝑍𝑍 ₁

𝑍𝑍 ₁ + 𝑍𝑍 ₂ 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑒𝑒 _𝑝𝑝 = 2𝑍𝑍 ₂

𝑍𝑍 ₁ + 𝑍𝑍 ₂

Si l'on trace le coefficient de réflexion en puissance en échelle semi-logarithmique, on observe qu'une onde n'est efficacement transmise entre deux fluides que si leurs impédances sont proches.

Exemple :

- Pour l'air atmosphérique : 𝑍𝑍 _{𝑎𝑎𝑜𝑜𝑟𝑟} = 440 𝑘𝑘𝑘𝑘. 𝑚𝑚 ⁻² 𝑠𝑠 ⁻¹ , - Pour l'eau : 𝑍𝑍 _{𝑒𝑒𝑎𝑎𝑒𝑒} = 1, 4.10 ⁶ 𝑘𝑘𝑘𝑘. 𝑚𝑚 ⁻² 𝑠𝑠 ⁻¹ .

À l'interface entre l'air et l'eau, T = 0,0013 ; une onde sonore n'y est presque pas transmise, on n'entend pas les bruits aériens quand on plonge la tête sous l'eau.

Les coefficients de réflexion et de transmission en puissance sont donnés par :

⎩ ⎪

⎨

⎪ ⎧ 𝑅𝑅 = 𝑟𝑟 _𝑣𝑣 ² = � 𝑍𝑍 ₂ − 𝑍𝑍 ₁ 𝑍𝑍 ₁ + 𝑍𝑍 ₂ � ² 𝑇𝑇 = 𝑍𝑍 ₂

𝑍𝑍 ₁ 𝑒𝑒 _𝑣𝑣 ² = 4𝑍𝑍 ₁ 𝑍𝑍 ₂ ( 𝑍𝑍 ₁ + 𝑍𝑍 ₂ ) ²

𝑎𝑎𝑣𝑣𝑒𝑒𝑐𝑐 𝑅𝑅 + 𝑇𝑇 = 1

On remarque que T est maximal lorsqu’il y a adaptation

d’impédance c’est-à-dire si 𝑍𝑍 ₂ = 𝑍𝑍 ₁

II – Réflexion et transmission d’une OEPPH

II-1) Position du problème a) Indice complexe

On définit l’indice complexe du milieu par la relation : 𝑘𝑘 ( ω _{) = 𝑛𝑛 (} ω ₎ ω

Comme pour 𝑘𝑘 = 𝑘𝑘 ₁ − 𝑖𝑖𝑘𝑘 ₂ , on définit : 𝑐𝑐

𝑛𝑛( ω _{) = 𝑛𝑛 𝑟𝑟 (} ω _{) − 𝑖𝑖𝑛𝑛 𝑎𝑎 (} ω ₎ Où :

�𝑛𝑛 ^𝑟𝑟 ( ω ₎ ∶ 𝑖𝑖𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖𝑐𝑐𝑒𝑒 𝑖𝑖𝑒𝑒 𝑟𝑟é𝑓𝑓𝑟𝑟𝑎𝑎𝑐𝑐𝑒𝑒𝑖𝑖𝑜𝑜𝑛𝑛 𝑛𝑛 _𝑎𝑎 ( ω ₎ ∶ 𝑖𝑖𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖𝑐𝑐𝑒𝑒 𝑖𝑖′𝑎𝑎𝑎𝑎𝑠𝑠𝑜𝑜𝑟𝑟𝑝𝑝𝑒𝑒𝑖𝑖𝑜𝑜𝑛𝑛

L’indice de réfraction permet de définir la vitesse de phase, en effet : 𝑣𝑣 ϕ = ω

𝑘𝑘 ₁ = ω

2 π λ ₌ ω 2 π

λ ₀ 𝑛𝑛 _𝑟𝑟 Or : λ _{0 = 𝑐𝑐𝑇𝑇}

⇒ _{𝑣𝑣 ϕ =} ^𝑐𝑐 𝑛𝑛 _𝑟𝑟 ( ω ₎ b) Incidence normale

Une OPPH arrive sous incidence normale sur l’interface entre les

deux milieux matériels, d’indices complexes 𝑛𝑛 ₁ 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑛𝑛 ₂ . La surface de

séparation entre les deux milieux est le plan d’équation z = 0. L’onde

incidente se propage donc selon le vecteur 𝑢𝑢 ����⃗ _𝑧𝑧 dans le milieu 1. Cette

onde donne naissance à une onde réfléchie et une onde transmise.

Les champs 𝐸𝐸�⃗ 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝐵𝐵�⃗ s’écrivent : 𝐸𝐸�⃗ ∶ �

𝐸𝐸 _𝚤𝚤

���⃗ = 𝐸𝐸 _{𝑜𝑜𝑜𝑜} 𝑒𝑒 ^{𝑜𝑜( ω 𝑡𝑡−𝑘𝑘 1 𝑧𝑧)} 𝑢𝑢 ����⃗ _𝑥𝑥 𝐸𝐸 _𝑟𝑟

����⃗ = 𝐸𝐸 _{𝑜𝑜𝑟𝑟} 𝑒𝑒 ^{𝑜𝑜� ω 𝑡𝑡+𝑘𝑘 1 𝑧𝑧�} 𝑢𝑢 ����⃗ _𝑥𝑥 𝐸𝐸 _𝑡𝑡

���⃗ = 𝐸𝐸 _{𝑜𝑜𝑡𝑡} 𝑒𝑒 ^{𝑜𝑜( ω 𝑡𝑡−𝑘𝑘 2 𝑧𝑧)} 𝑢𝑢 ����⃗ _𝑥𝑥 Et :

𝐵𝐵�⃗ ∶

⎩ ⎪

⎪ ⎨

⎪ ⎪

⎧ 𝐵𝐵 ���⃗ _𝚤𝚤 = 𝑘𝑘 ����⃗ ∧ 𝐸𝐸 ₁ ���⃗ _𝚤𝚤

ω ^{= 𝑛𝑛 1 𝑢𝑢 ����⃗ ∧ 𝐸𝐸 𝑧𝑧 𝚤𝚤}

���⃗

𝑐𝑐 = 𝑛𝑛 ₁ 𝐸𝐸 _{𝑜𝑜𝑜𝑜}

𝑐𝑐 𝑒𝑒 ^{𝑜𝑜� ω 𝑡𝑡−𝑘𝑘 1 𝑧𝑧�} 𝑢𝑢 ����⃗ _𝑦𝑦 𝐵𝐵 _𝑟𝑟

����⃗ = − 𝑘𝑘 ����⃗ ∧ 𝐸𝐸 ₁ ����⃗ _𝑟𝑟

ω ^{= − 𝑛𝑛 1 𝑢𝑢 ����⃗ ∧ 𝐸𝐸 𝑧𝑧 𝑟𝑟}

����⃗

𝑐𝑐 = − 𝑛𝑛 ₁ 𝐸𝐸 _{𝑜𝑜𝑟𝑟}

𝑐𝑐 𝑒𝑒 ^{𝑜𝑜� ω 𝑡𝑡+𝑘𝑘 1 𝑧𝑧�} 𝑢𝑢 ����⃗ _𝑦𝑦 𝐵𝐵 _𝑡𝑡

����⃗ = 𝑘𝑘 ����⃗ ∧ 𝐸𝐸 ₂ ���⃗ _𝑡𝑡

ω ^{= 𝑛𝑛 2 𝑢𝑢 ����⃗ ∧ 𝐸𝐸 𝑧𝑧 𝑡𝑡}

���⃗

𝑐𝑐 = 𝑛𝑛 ₂ 𝐸𝐸 _{𝑜𝑜𝑡𝑡}

𝑐𝑐 𝑒𝑒 ^{𝑜𝑜� ω 𝑡𝑡−𝑘𝑘 2 𝑧𝑧�} 𝑢𝑢 ����⃗ _𝑦𝑦 II-2) Relations de passage

a) Pour le champ électrique

On considère une surface Σ portant une charge surfacique 𝜎𝜎 ( 𝑁𝑁, 𝑒𝑒 ). On sait qu'au point N, qui appartient à Σ , le champ électrique n'est pas défini. On considère deux points 𝑀𝑀 ⁻ 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑀𝑀 ⁺ infiniment voisins de N situés de part et d'autre de la surface de discontinuité, sur la normale (𝑁𝑁, 𝑛𝑛 ��������⃗ ) _{− +}

On admet l'expression, déjà rencontrée, en électrostatique de la variation du champ électrique entre les points 𝑀𝑀 ⁻ 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑀𝑀 ⁺ :

𝐸𝐸�⃗(𝑀𝑀 ⁺ , 𝑒𝑒) − 𝐸𝐸�⃗(𝑀𝑀 ⁻ , 𝑒𝑒) = 𝜎𝜎

𝜀𝜀 ₀ 𝑛𝑛 ��������⃗ _{− +}

b) Pour le champ magnétique

Il arrive que le courant source du champ magnétique soit localisé dans un volume de faible épaisseur, situé entre deux surfaces. Pour calculer le champ magnétique 𝐵𝐵�⃗ créé en un point M situé en dehors de la distribution de courant, on peut modéliser la distribution de courant source de champ magnétique par une distribution surfacique, de vecteur densité surfacique de courant électrique 𝚥𝚥 _𝑠𝑠

��⃗ ( 𝑁𝑁, 𝑒𝑒 ), au point N de la distribution. La figure illustre cette modélisation.

Le courant δI qui traverse une section du tube de courant représenté s'écrit :

δ _{𝐼𝐼 = 𝚥𝚥⃗ . 𝑖𝑖𝑆𝑆} ^{����⃗} _{= 𝑗𝑗} ε _{𝑖𝑖𝑑𝑑 = 𝑗𝑗 𝑠𝑠 𝑖𝑖𝑑𝑑} La dimension est [𝑗𝑗 _𝑠𝑠 ] = 𝐴𝐴𝑚𝑚 ⁻¹

On considère une surface Σ parcourue par une densité

surfacique 𝚥𝚥 ��⃗(𝑁𝑁, _𝑠𝑠 𝑒𝑒) . On sait qu'au point N, qui appartient à Σ, le

champ magnétique n'est pas défini. On considère deux points

𝑀𝑀 ⁻ 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑀𝑀 ⁺ infiniment voisins de N situés de part et d'autre de la

surface sur la normale (𝑁𝑁, 𝑛𝑛 ��������⃗ ) _{− +} :

On admet l'expression de la variation du champ magnétique entre les points 𝑀𝑀 ⁻ 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑀𝑀 ⁺ , au passage d'une distribution surfacique de courants, à un instant t :

𝐵𝐵�⃗ ( 𝑀𝑀 ⁺ , 𝑒𝑒 ) − 𝐵𝐵�⃗ ( 𝑀𝑀 ⁻ , 𝑒𝑒) = µ _{0 𝚥𝚥 ��⃗ 𝑠𝑠 ( 𝑁𝑁, 𝑒𝑒 ) ∧ 𝑛𝑛 ��������⃗ − +} c) Pour notre problème

On suppose l’absence de distribution surfacique, de plus le champ électrique est tangentiel et par conséquent ne présente pas de discontinuité.

II-3) Coefficients de réflexion et transmission a) En amplitude

Les relations de passage entraînent :

� 𝐸𝐸 _{𝑜𝑜𝑜𝑜} + 𝐸𝐸 _{𝑜𝑜𝑟𝑟} = 𝐸𝐸 _{𝑜𝑜𝑡𝑡} 𝑛𝑛 ₁ �𝐸𝐸 _{𝑜𝑜𝑜𝑜} − 𝐸𝐸 _{𝑜𝑜𝑟𝑟} � = 𝑛𝑛 ₂ 𝐸𝐸 _{𝑜𝑜𝑡𝑡}

On reconnaît le même type de système que pour le champ en vitesse des ondes sonores d’où :

Dans le cas de notre configuration, on a continuité du champ électromagnétique :

� 𝐸𝐸 ���⃗ _𝚤𝚤 (0 ⁻ , 𝑒𝑒) + 𝐸𝐸 ����⃗ _𝑟𝑟 (0 ⁻ , 𝑒𝑒) = 𝐸𝐸 ���⃗ _𝑡𝑡 (0 ⁺ , 𝑒𝑒 ) 𝐵𝐵 ���⃗ _𝚤𝚤 (0 ⁻ , 𝑒𝑒) + 𝐵𝐵 ����⃗ _𝑟𝑟 (0 ⁻ , 𝑒𝑒) = 𝐵𝐵 ����⃗ _𝑡𝑡 (0 ⁺ , 𝑒𝑒)

Les coefficients de réflexion et transmission pour le champ électrique sont donnés par :

⎩ ⎪

⎨

⎪ ⎧𝑟𝑟 _𝐸𝐸 = 𝐸𝐸 _{𝑜𝑜𝑟𝑟}

𝐸𝐸 _{𝑜𝑜𝑜𝑜} = 𝑛𝑛 ₁ − 𝑛𝑛 ₂ 𝑛𝑛 ₁ + 𝑛𝑛 ₂ 𝑒𝑒 _𝐸𝐸 = 𝐸𝐸 _{𝑜𝑜𝑡𝑡}

𝐸𝐸 _{𝑜𝑜𝑜𝑜} = 2𝑛𝑛 ₁

𝑛𝑛 ₁ + 𝑛𝑛 ₂

Or :

⎩ ⎪ ⎨

⎪ ⎧ 𝐵𝐵 ^{𝑜𝑜𝑜𝑜} = 𝑛𝑛 ₁ 𝑐𝑐 𝐸𝐸 ^{𝑜𝑜𝑜𝑜} 𝐵𝐵 _{𝑜𝑜𝑟𝑟} = − 𝑛𝑛 ₁

𝑐𝑐 𝐸𝐸 ^{𝑜𝑜𝑟𝑟} 𝐵𝐵 _{𝑜𝑜𝑡𝑡} = 𝑛𝑛 ₂

𝑐𝑐 𝐸𝐸 ^{𝑜𝑜𝑡𝑡}

b) En puissance

La notation complexe utilisée, peut poser problème dans le calcul de R et T dans le cas où les indices sont complexes.

En effet on définit :

⎩ ⎪

⎨

⎪ ⎧𝑅𝑅 = � 〈 Π

𝑟𝑟 〉

〈 Π

𝑜𝑜 〉�

𝑇𝑇 = � 〈 Π

𝑡𝑡 〉

〈 Π

𝑜𝑜 〉�

Or :

〈 Π 〉 = 1

2 µ ₀ ^{𝑅𝑅 𝑒𝑒 ( 𝐸𝐸. 𝐵𝐵 ∗ )} ⇒

⎩ ⎪

⎪ ⎨

⎪ ⎪

⎧ 〈 Π

𝑜𝑜 〉 = �𝐸𝐸 _0𝑜𝑜 � ²

2 µ _{0 𝑐𝑐 𝑅𝑅} ^{𝑒𝑒 �𝑛𝑛 1 ∗ �}

〈 Π

𝑟𝑟 〉 = �𝐸𝐸 _0𝑟𝑟 � ²

2 µ _{0 𝑐𝑐 𝑅𝑅} ^{𝑒𝑒 �−𝑛𝑛 1 ∗ �}

〈 Π _𝑡𝑡 〉 = �𝐸𝐸 _0𝑡𝑡 � ²

2 µ _{0 𝑐𝑐 𝑅𝑅} ^{𝑒𝑒 �𝑛𝑛 2 ∗ �}

D’où les coefficients de réflexion et de transmission pour le champ magnétique :

⎩ ⎨

⎧ 𝑟𝑟 ^𝐵𝐵 = −𝑟𝑟 _𝐸𝐸 = 𝑛𝑛 ₂ − 𝑛𝑛 ₁ 𝑛𝑛 ₁ + 𝑛𝑛 ₂ 𝑒𝑒 _𝐵𝐵 = 𝑛𝑛 ₂

𝑛𝑛 ₁ 𝑟𝑟 _𝐸𝐸 = 2𝑛𝑛 ₂

𝑛𝑛 ₁ + 𝑛𝑛 ₂

Donc :

⎩ ⎪

⎨

⎪ ⎧ 𝑅𝑅 = � 〈 Π

𝑟𝑟 〉

〈 Π

𝑜𝑜 〉� = �𝑟𝑟 _𝐸𝐸 � ² 𝑇𝑇 = � 〈 Π

𝑡𝑡 〉

〈 Π

𝑜𝑜 〉� = 𝑅𝑅 _𝑒𝑒 �𝑛𝑛 ₂ ^∗ �

𝑅𝑅 _𝑒𝑒 �𝑛𝑛 ₁ ^∗ � �𝑒𝑒 _𝐸𝐸 � ² II-4) Cas d’un interface vide-plasma

a) Domaine transparent ω _> ω _𝑝𝑝

- Dans le cas du vide : 𝑘𝑘 ₁ = ^ω _𝑐𝑐 = 𝑛𝑛 ₁ ( ω ₎ ^ω

𝑐𝑐 ⇒ _{𝑛𝑛 1 = 1} - Dans le cas du plasma : 𝑘𝑘 ₂ ² = ^{ω 2} _𝑐𝑐 ⁻ ₂ ^{ω 𝑝𝑝 2}

Or si ω _> ω _{𝑝𝑝 , 𝑘𝑘 2 =} ^ω

𝑐𝑐 � 1 − ^ω _ω ^{𝑝𝑝 2} ₂ ⇒ _{𝑛𝑛 2 =} � 1 − ^ω _ω ^{𝑝𝑝 2} ₂ = 𝑛𝑛

⇒

⎩ ⎪

⎨

⎪ ⎧𝑟𝑟 _𝐸𝐸 = 𝑛𝑛 ₁ − 𝑛𝑛 ₂

𝑛𝑛 ₁ + 𝑛𝑛 ₂ = 1 − 𝑛𝑛

1 + 𝑛𝑛 < 1 𝑒𝑒 _𝐸𝐸 = 2𝑛𝑛 ₁

𝑛𝑛 ₁ + 𝑛𝑛 ₂ = 2

1 + 𝑛𝑛 < 1 𝑜𝑜ù 𝑛𝑛 = � 1 − ω _𝑝𝑝 ² ω ² De plus :

⎩ ⎪

⎨

⎪ ⎧ 𝑅𝑅 = � 〈 Π

𝑟𝑟 〉

〈 Π

𝑜𝑜 〉� = �𝑟𝑟 _𝐸𝐸 � ² = � 1 − 𝑛𝑛 1 + 𝑛𝑛 � ² 𝑇𝑇 = � 〈 Π

𝑡𝑡 〉

〈 Π

𝑜𝑜 〉� = 𝑅𝑅 _𝑒𝑒 �𝑛𝑛 ₂ ^∗ �

𝑅𝑅 _𝑒𝑒 �𝑛𝑛 ₁ ^∗ � �𝑒𝑒 _𝐸𝐸 � ² = 4𝑛𝑛 (1 + 𝑛𝑛 ) ²

On remarque qu’on a une réflexion quasi-totale quand 𝑛𝑛 ₂ → ₀ c’est- à-dire quand ω→ω _𝑝𝑝

b) Domaine réactif ω _< ω _𝑝𝑝 Ainsi si ω _< ω _𝑝𝑝 alors :

𝑘𝑘 ₂ = 𝑖𝑖 ω

𝑐𝑐 � ω _𝑝𝑝 ²

ω ^{2 − 1} ⇒ _{𝑛𝑛 2 = 𝑖𝑖�} ω _𝑝𝑝 ²

ω ^{2 − 1 = 𝑖𝑖 𝑛𝑛}

⇒

⎩ ⎪

⎨

⎪ ⎧𝑟𝑟 𝐸𝐸 = 𝑛𝑛 ₁ − 𝑛𝑛 ₂

𝑛𝑛 ₁ + 𝑛𝑛 ₂ = 1 − 𝑖𝑖𝑛𝑛 1 + 𝑖𝑖𝑛𝑛 𝑒𝑒 _𝐸𝐸 = 2𝑛𝑛 ₁

𝑛𝑛 ₁ + 𝑛𝑛 ₂ = 2 1 + 𝑖𝑖𝑛𝑛

⇒

⎩ ⎪

⎨

⎪ ⎧𝑅𝑅 = �𝑟𝑟 _𝐸𝐸 � ² = � 1 − 𝑖𝑖𝑛𝑛

1 + 𝑖𝑖𝑛𝑛 � ² = 1 𝑇𝑇 = 𝑅𝑅 _𝑒𝑒 �𝑛𝑛 ₂ ^∗ �

𝑅𝑅 _𝑒𝑒 �𝑛𝑛 ₁ ^∗ � �𝑒𝑒 _𝐸𝐸 � ² = 0

II-5) Cas d’un interface vide-conducteur a) Conductivité réelle constante

On se place dans le cas où le milieu 2 est un conducteur ohmique de résistance γ ₀ réelle tel que :

ω ≪ 1

τ < ω _𝑝𝑝

La relation de dispersion dans ce cas s’écrit : 𝑘𝑘 = 1 − 𝑖𝑖

δ 𝑜𝑜ù δ = � 2 γ ₀ 𝜔𝜔 µ ₀ Or : 𝑘𝑘 = 𝑛𝑛 ( ω ₎ ^ω

𝑐𝑐

⇒ _{𝑛𝑛 (} ω _{) =} ω ^{𝑐𝑐 1 − 𝑖𝑖} δ = (1 − 𝑖𝑖 ) 𝑐𝑐 ωδ

L’onde évanescente transmise ne transporte aucune énergie. Le plasma se comporte comme un miroir parfait :

𝑅𝑅 = 1 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑇𝑇 = 0

⇒

⎩ ⎪

⎪ ⎨

⎪ ⎪

⎧ 𝑟𝑟 _𝐸𝐸 = 1 − 𝑐𝑐 ωδ ^{+ 𝑖𝑖 𝑐𝑐} ωδ 1 + 𝑐𝑐

ωδ ^{− 𝑖𝑖 𝑐𝑐} ωδ ⁼

−1 + 𝑖𝑖 + ωδ 𝑐𝑐 1 − 𝑖𝑖 + ωδ 𝑐𝑐

𝑒𝑒 _𝐸𝐸 = 2

1 + 𝑐𝑐

ωδ ^{− 𝑖𝑖 𝑐𝑐} ωδ ⁼

2 ωδ 𝑐𝑐 1 − 𝑖𝑖 + ωδ

𝑐𝑐

< 1 Dans la limite où :

ωδ

𝑐𝑐 ≪ 1 ⇔ δ _≪ ω ^𝑐𝑐 ⇔ δ _≪ λ ₀

2 π ⇒ δ _≪ λ ₀

C’est-à-dire la limite du conducteur parfait d’épaisseur de peau nulle on a :

⇒

⎩ ⎪

⎨

⎪ ⎧𝑟𝑟 _𝐸𝐸 ∼ ^{−1 + 𝑖𝑖}

1 − 𝑖𝑖 ∼ _{− 1} 𝑒𝑒 _𝐸𝐸 ∼ ²

ωδ 𝑐𝑐 1 − 𝑖𝑖 ∼ ₀

b) Domaine optique

Dans le cas du domaine optique on se retrouve avec une conductivité complexe :

γ ₌ γ ₀ 1 + 𝑖𝑖 ωτ

Si : ¹ _τ ≪ ω < ω _𝑝𝑝 , alors : 𝑘𝑘 = −𝑖𝑖𝑘𝑘 ₂ = −𝑖𝑖� ^{ω 𝑝𝑝 2} _𝑐𝑐 ⁻ ₂ ^{ω 2}

Le conducteur parfait réfléchit entièrement le champ électrique.

Le champ réfléchi est en opposition de phase avec le champ

incident. Ce conducteur est un bon miroir pour les faibles

pulsations

On se retrouve donc dans les mêmes résultats que le plasma dilué dans la zone ω _{< 𝜔𝜔 𝑝𝑝} .

⇒ _�𝑅𝑅 ^{= 1}

𝑇𝑇 = 0 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑠𝑠𝑖𝑖 𝑛𝑛 ≫ 1 ∶ � 𝑟𝑟 _𝐸𝐸 = 1 − 𝑖𝑖𝑛𝑛

1 + 𝑖𝑖𝑛𝑛 ∼ _{− 1} 𝑒𝑒 _𝐸𝐸 = 2

1 + 𝑖𝑖𝑛𝑛 ∼ ₀

III – Polarisation par réflexion vitreuse

III-1) Lumière polarisée et lumière naturelle

Les sources de lumière naturelle sont constituées par un grand nombre d’émetteurs (molécules, atomes, …) répartis et orientés au hasard sous l’effet de l’agitation thermique. Chacun d’eux émet une vibration de polarisation aléatoire dans le plan perpendiculaire à la direction de propagation, les différentes vibrations étant incohérentes entre elles. Le champ électrique prend alors une direction quelconque dans le plan (xOy).

La lumière naturelle peut donc être considérée comme la superposition de deux vibrations rectilignes orthogonales incohérentes entre elles :

𝐸𝐸�⃗ = � 𝐸𝐸 _{𝑜𝑜𝑥𝑥} (𝑒𝑒) cos � ω _{𝑒𝑒 − 𝑘𝑘𝑘𝑘 +} ϕ _{𝑥𝑥 (𝑒𝑒) � 𝑢𝑢 ����⃗ 𝑥𝑥} 𝐸𝐸 _{𝑜𝑜𝑦𝑦} ( 𝑒𝑒) cos � ω _{𝑒𝑒 − 𝑘𝑘𝑘𝑘 +} ϕ _{𝑦𝑦 ( 𝑒𝑒 ) � 𝑢𝑢 ����⃗ 𝑦𝑦}

Avec : 〈𝐸𝐸 _{𝑜𝑜𝑥𝑥} ² 〉 = 〈𝐸𝐸 _{𝑜𝑜𝑦𝑦} ² 〉 puisque les axes (Ox) et (Oy) jouent des rôles équivalents.

Dans le domaine optique, le métal conducteur se comporte comme un plasma dans la zone : ω _{< 𝜔𝜔 𝑝𝑝} . L’onde réfléchie est

déphasée de π par rapport à l’onde incidente. On retrouvera

ce résultat lors des réflexions en optique sur des miroirs.

A l’inverse les lumières polarisées rectilignement, elliptiquement ou circulairement sont, elles, totalement polarisées. La superposition d’une lumière totalement polarisée et d’une lumière naturelle est dite partiellement polarisée.

III-2) Polarisation par réflexion vitreuse a) Principe

Considérons une onde électromagnétique arrivant à la surface de séparation de deux milieux d’indice 𝑛𝑛 ₁ 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑛𝑛 ₂ Le champ électrique incident peut être décomposé en deux : une composante 𝐸𝐸�⃗ _∥ dans le plan d’incidence et une composante 𝐸𝐸�⃗ _⊥ orthogonale au plan d’incidence. Le champ réfléchi et le champ transmis peuvent être décomposés de la même façon :

En incidence normale on a :

� 𝑟𝑟 _∥ = 𝑛𝑛 ₁ − 𝑛𝑛 ₂ 𝑛𝑛 ₁ + 𝑛𝑛 ₂ 𝑟𝑟 _⊥ = 𝑛𝑛 ₂ − 𝑛𝑛 ₁

𝑛𝑛 ₁ + 𝑛𝑛 ₂

On démontre que pour une incidence quelconque :

⎩ ⎪

⎨

⎪ ⎧𝑟𝑟 _∥ = 𝑒𝑒𝑎𝑎𝑛𝑛 ( 𝑟𝑟 − 𝑖𝑖 )

𝑒𝑒𝑎𝑎𝑛𝑛(𝑟𝑟 + 𝑖𝑖)

𝑟𝑟 _⊥ = 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛 ( 𝑟𝑟 − 𝑖𝑖 )

𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛(𝑟𝑟 + 𝑖𝑖)

Les courbes représentatives de �𝑟𝑟 _∥ � 𝑒𝑒𝑒𝑒 |𝑟𝑟 _⊥ | sont données pour 𝑛𝑛 ₂ >

𝑛𝑛 ₁ ∶

Le coefficient de réflexion 𝑟𝑟 _∥ s’annule pour 𝑖𝑖 + 𝑟𝑟 = ₂ ^π vu que 𝑖𝑖 ≠ 𝑟𝑟 sauf en incidence normale. Compte tenu de la loi de Descartes :

𝑛𝑛 ₁ 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛 𝑖𝑖 = 𝑛𝑛 ₂ 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛 𝑟𝑟 ⇔ _{𝑛𝑛 1 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛 𝑖𝑖 = 𝑛𝑛 2 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛 �} π

2 − 𝑖𝑖 �

⇔ _{𝑒𝑒𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑖𝑖 =} ^{𝑛𝑛 2} 𝑛𝑛 ₁

b) Détermination de l’axe d’un polariseur

Les polariseurs utilisés en travaux pratiques sont en général montés sur un support circulaire gradué en degrés, sur lequel est indiqué une direction donnée. Cette direction représente, souvent l’axe de transmission privilégiée du polariseur, mais avec le temps cette indication devient fausse. De plus cette direction peut-être la direction perpendiculaire à l’axe de transmission. On peut préciser cette position à l’aide de la réflexion vitreuse.

Pour une incidence de Brewster, l’onde réfléchie est polarisée rectilignement.

� 𝑒𝑒𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑖𝑖 _𝐵𝐵 = 𝑛𝑛 ₂

𝑛𝑛 ₁

𝐸𝐸�⃗ _𝑟𝑟 = 𝐸𝐸�⃗ _𝑟𝑟⊥

Pour cela, on peut observer une source de lumière par réflexion à travers une lame de verre posée sur la table à travers un polariseur.

L’angle d’incidence sur la lame est choisi proche de l’incidence de Brewster (autour de 56° pour un verre d’indice 1,5). En faisant tourner le polariseur, on observe un minimum d’intensité, qui est nul si l’angle d’incidence est exactement égal à l’incidence de Brewster.

Au minimum d’intensité, on a éteint la composante du champ

orthogonale au plan d’incidence : l’axe du polariseur lui est

perpendiculaire.