avec η en P a ¨ s. Si le gradient est positif, alors la portion de fluide sup´ erieure a une vitesse plus grande, et la force doit entrainer la portion de fluide inf´ erieure.

I.A

d Ý Ñ

F “ ηdS Bv By ~ u

x

avec η en P a ¨ s. Si le gradient est positif, alors la portion de fluide sup´ erieure a une vitesse plus grande, et la force doit entrainer la portion de fluide inf´ erieure.

La diffusion de quantit´ e de mouvement est un transport de quantit´ e de mouvement sans mouvement macroscopique. Ce transfert se fait microscopiquement par les chocs et par les transferts microscopiques de particule ` a la surface entre les deux portions de fluide. Le brassage mol´ eculaire est du ` a l’agitation thermique des mol´ ecules composant le fluide.

I.B Voir cours

d Ý Ñ

F

_visc

“ η Ý Ñ

∆~ vdτ

I.C.1 On applique le PFD ` a une particule fluide de masse δm “ µdτ µdτ D~ v

Dt “ ´ ÝÝÑ

gradP dτ ` η Ý Ñ

∆~ vdτ ` µ~ gdτ ce qui donne l’´ equation de Navier-Stokes en simplifiant par dτ .

I.C.2 P ne d´ epend pas de x, donc la projection du gradient de P sur ~ u

x

est nulle. ~ g est sur l’axe ~ u

z

, donc il reste

µ ˆ Bv

_x

Bt ` pv

_x

Bv

_x

Bx q

˙

“ η∆v

_x

soit, puisque v

x

ne d´ epend pas de x

Bv

x

Bt “ ν B

²

v

x

Bx

²

avec ν “ η{µ la viscosit´ e cin´ ematique.

I.D Le ph´ enom` ene de diffusion correspond ` a une augmentation d’entropie en augmentant l’homog´ en´ eit´ e du syst` eme. Ce caract` ere est pris en compte par la pr´ esence de la d´ eriv´ ee premi` ere par rapport au temps, garantissant l’irr´ eversibilit´ e de l’´ equation.

Exemple d’´ equation r´ eversible : l’´ equation de d’Alembert B

²

y

Bt

²

´ c

²

B

²

y Bx

²

“ 0 I.E En terme de dimension, d’apr` es l’´ equation de diffusion

rvs

T “ ν rvs L

²

et en ordres de grandeurs

ν “ τ L

²_y

soit

L

_y

“ ?

ντ

II On utilise la question pr´ ec´ edente

δpx

0

q “ ? ντ “

c ν x

0

U L’expression du nombre de Reynolds associ´ e ` a la longueur x

₀

est

Re “ vL

ν “ U x

₀

ν donc

δpx

0

q x

₀

“

c ν x

0

U 1

x

₀

“ 1

? Re On peut consid´ erer que la couche limite est n´ egligeable quand

δpx

₀

q x

0

ă 10

^´2

soit Re ą 10

⁴

III.A.1 On projette l’´ equation de Navier-Stokes, en r´ egime permanent

$

’ &

’ %

0 “ η

^B_By^2v2^x

´

_Bx^Bp

0 “ ´

^Bp_By

´ µg En d´ erivant les deux ´ equations par rapport ` a x, on obtient

$

’ &

’ %

η

_Bx^{B B}_By^2v2^x

“

_Bx^B _Bx^Bp

B Bx

Bp By

“ 0

Or v

_x

ne d´ epend pas de x donc

_Bx^{B B}_By^2v2^x

“ 0 et donc

^Bp_Bx

ne d´ epend pas de x (premi` ere ´ equation). Par ailleurs, on peut intervertir les d´ eriv´ es dans la deuxi` eme ´ equation

B By

Bp Bx “ 0 ce qui implique que

^Bp_Bx

“ K o` u K est une constante.

On peut alors int´ egrer la projection de l’´ equation de Navier-Stokes sur ~ u

x

η B

²

v

x

By

²

“ K ñ v

x

pyq “ K

2η y

²

` αy ` β Le fluide est visqueux, donc la vitesse s’annule sur les parois :

$

’ &

’ %

v

_x

pd{2q “ 0 “

_2η^Kd₄²

` α

^d₂

` β v

_x

p´d{2q “ 0 “

_2η^Kd₄²

´ α

^d₂

` β On fait la somme et la diff´ erence

$

’ &

’ %

0 “ 2

_2η^Kd₄²

` 2β 0 “ 2α

^d₂

ñ

$

&

%

β “ ´

^Kd_8η²

α “ 0 ce qui donne comme solution

v

_x

pyq “ K

2η y

²

´ Kd

²

8η “ Kd

²

8η

ˆ 4y

²

d

²

´ 1

˙

III.A.2 Comme

^Bp_Bx

“ K

p “ Kx ` γ pyq et donc, en utilisant les conditions aux limites sur la pression

∆p “ ppx, yq ´ ppx ` L, yq “ Kx ` γ ´ Kpx ` Lq ´ γ “ ´KL et donc

K “ ´ ∆p

L ñ v

_x

pyq “ ´ ∆pd

²

8ηL

ˆ 4y

²

d

²

´ 1

˙

“ ∆pd

²

8ηL

ˆ

1 ´ 4y

²

d

²

˙

Le d´ ebit volumique est donn´ e par D

v

“

ij

~ v ¨ d Ý Ñ

S “ ż

_d{2

´d{2

ż

_h

0

v

x

pyqdydz “ h ż

_d{2

´d{2

v

x

pyqdy “ h∆pd

²

8ηL

ż

_d{2

´d{2

ˆ

1 ´ 4y

²

d

²

˙ dy soit apr` es int´ egration

D

_v

“ h∆pd

²

8ηL

„

y ´ 4y

³

3d

²



d{2

´d{2

“ h∆pd

²

8ηL

„

d ´ 4d

³

8 ¨ 3d

²

´ 4d

³

8 ¨ 3d

²



“ h∆pd

²

8ηL

2d 3 Finalement

D

v

“ h∆pd

³

12ηL

Il faut une diminution de pression (∆p ą 0) pour avoir un d´ ebit positif ce qui est coh´ erent.

On peut faire une analogie avec la conduction ´ electrique I “ V

₂

´ V

₁

R “ ´ ∆V R et d´ efinir une r´ esistance hydraulique

R

_hyd

“ 12ηL hd

³

III.A.3 Si d est divis´ e par 2, alors le d´ ebit est divis´ e par 8, et donc, dans un dispositif ` a 2 tubes de diam` etre divis´ e par 2, le d´ ebit est 4 fois plus faible. Le d´ ebit est donc tr` es fortement diminu´ e par la r´ eduction de diam` etre, ce qui est coh´ erent avec le fait que la r´ esistance vient d’un effet de viscosit´ e, en particulier au niveau de la surface de contact fluide/tube.

Dans le cas d’une r´ esistance ´ electrique, l’effet analogue ` a la viscosit´ e est le freinage des ´ electrons en raisons des chocs subis en volume (Mod` ele de Drude de la conductivit´ e). L’influence est donc moins grande et on peut montrer que la r´ esistance est inversement proportionnelle ` a d.

III.B On atteint le r´ egime parabolique lorsque l’´ epaisseur de la couche limite vaut d{2, c’est ` a dire lorsqu’elle envahit l’int´ egralit´ e du tube. On alors δ “ d{2 et

δ x

1

“ 1

? Re ñ x

₁

d “

? Re

2 IV.A div~ v “ 0 donc

Bv

_x

Bx ` Bv

_y

By “ 0

IV.B Le champ de vitesse est permanent, on calcule le terme de d´ eriv´ ee convective p~ v ¨ ÝÝÑ

gradq~ v “ v

x

B~ v Bx ` v

y

B~ v By Les projections de l’´ equation s’´ ecrivent alors

$

’ &

’ %

v

_x^Bv_Bx^x

` v

_y^Bv_By^x

“

^η_µ

∆v

_x

´

¹_µ^Bp_Bx

v

_x^Bv_Bx^y

` v

_y^Bv_By^y

“

^η_µ

∆v

_y

´

_µ¹_By^Bp

´ g

IV.C.1 On a #

_Bv

x

Bx

»

^v_x^x

Bvy 0

By

»

_δpx^vy_0q

Si la divergence est nulle, on peut supposer que les deux termes sont du mˆ eme ordre de grandeur v

x

x

0

» v

y

δpx

0

q ñ v

y

v

x

» δpx

0

q x

0

“ 1

? Re ! 1

IV.C.2 On peut ´ ecrire les ´ equivalences suivantes

#

_B2vx

Bx²

»

^v_x^x2 0

B²vx

By²

»

_δpx^vx

0q²

donc

ˆ B

²

v

x

By

²

˙

´1

ˆ B

²

v

x

Bx

²

˙

»

ˆ δpx

0

q x

₀

˙

2

“ 1

Re ! 1 ñ B

²

v

x

Bx

²

! B

²

v

x

By

²

Le raisonnement est le mˆ eme pour v

_y

IV.C.3 On peut ´ ecrire les ´ equivalences suivantes

# v

_y^Bv_By^x

»

_δpx^vxvy

0q

v

_x^Bv_Bx^x

»

^v

x2

x0

Or, d’apr` es IV.C.1 v

_y

»

^δpx_x^0q

0

v

_x

donc

v

y

Bv

x

By » v

_x²

x

₀

et les deux termes sont du mˆ eme ordre de grandeur.

Au bord ext´ erieur de la couche limite, v

_x

» U et donc v

²_x

x

₀

» U

²

x

₀

Par ailleurs,

ν B

²

v

_x

By

²

» ν U

δpx

0

q

²

“ ν U

ν

^x_U⁰

“ U

²

x

0

d’apr` es la question II.

IV.C.4 $

’ ’

&

’ ’

%

v

_x^Bv_Bx^x

` v

_y^Bv_By^x

“ ν

´

B²vx

Bx²

`

^B_By^2v2^x

¯

´

¹_µ^Bp_Bx

v

_x^Bv_Bx^y

` v

_y^Bv_By^y

“ ν

´

B²vy

Bx²

`

^B

2vy

By²

¯

´

_µ¹_By^Bp

´ g En tenant compte de l’indication de l’´ enonc´ e et de la question pr´ ec´ edente

$

’ &

’ %

v

_x^Bv_Bx^x

` v

_y^Bv_By^x

“ ν

´

B²vx

By²

¯

´

¹_µ^Bp_Bx

0 “ ´

_µ^1Bp_By

´ g on en d´ eduit donc que

Bp

By “ ´µg

IV.D En dehors de la couche limite, les effets de viscosit´ e sont n´ egligeables et la vitesse est constante, et on obtient l’´ equation d’Euler en r´ egime stationnaire suivante :

$

’ &

’ %

0 “ ´

_µ^1Bp_Bx

Bp

By

“ ´µg On en d´ eduit donc

Bp Bx “ 0 et donc

v

_x

Bv

_x

Bx ` v

_y

Bv

_x

By “ ν B

²

v

_x

By

²

V $

’ &

’ %

Bvx

Bx

“

_x^U₀^Bv

1x

Bx¹

Bvy

By

“

_δpx^U

0q? Re

Bv¹_y By¹

“

_x^U

0

Bv_y¹ By¹

ce qui permet d’´ ecrire l’´ equation d’incompressibilit´ e Bv

_x¹

Bx

¹

` Bv

_y¹

By

¹

“ 0

Pour l’´ equation de Navier Stokes, concernant les termes de d´ eriv´ ee convective v

xBvx

Bx

` v

yBvx

By

“ U v

_x¹ _x^U

0

Bv_x¹

Bx¹

`

^?U_Re

v

_y¹_δpx^U

0q Bv¹_x By¹

“

^U_x²

0

v

¹_x^Bv_Bx^1x1

`

_δpx^U2

0q?

Re

v

_y^1Bv_By^1x1

“

^U_x0²

v

¹_x^Bv_Bx^x11

`

^U_x0²

v

¹_y^Bv_By^1x1

et pour les d´ eriv´ es secondes ν B

²

v

_x

By

²

“ ν U δpx

0

q

²

B

²

v

_x¹

By

¹²

“ ν U

x

²₀

Re B

²

v

¹_x

By

¹²

“ ν U

x

²₀

U x

₀

ν B

²

v

_x¹

By

¹²

“ U

²

x

0

B

²

v

_x¹

By

¹²

ce qui donne l’´ equation adimensionn´ ee

v

_x¹

Bv

¹_x

Bx

¹

` v

_y¹

Bv

_x¹

By

¹

“ B

²

v

_x¹

By

¹²

XI.A.1 En r´ egime permanent, le flux volumique sortant du volume de contrˆ ole est nul

£

~ v ¨ d Ý Ñ S “ 0

Il n’y a pas de flux ` a travers la plaque, la vitesse ´ etant dans le plan xOy, il reste 3 termes dans le calcul du bilan

£

~ v ¨ d Ý Ñ

S “ lo omo 1 on

integration sur z

»

—

—

— –

ż

_h

0

v

_x

p0, yqdy looooooomooooooon

en x“0

` ż

_L

0

v

_y

px, hqdx looooooomooooooon

en y“h

` ż

_h

0

v

_x

pL, y qdy looooooomooooooon

en x“L

fi ffi ffi ffi fl

Comme v

x

p0, yq “ U , on peut r´ e´ ecrire ż

_L

0

v

y

px, hqdx “ ż

_h

0

pU ´ v

x

pL, yqqdy

XI.A.2 On fait un bilan de quantit´ e de mouvement. En r´ egime permanent, il n’y a pas de variation intrins` eque de la quantit´ e de mouvement, donc

p

x

pt ` dtq ´ p

x

ptq “ p

2

´ p

1

o` u p

1

(respectivement p

2

) d´ esigne la quantit´ e de mouvement sur l’axe Ox du fluide entrant (resp. sortant) dans le volume de contrˆ ole entre t et t ` dt. On a alors

p

2

´ p

1

“ µdτ

1

v

x

pL, yq ´ µdτ

2

v

x

p0, yq

o` u dτ

₁

“ vp0, yqdtdy “ U dydt est le volume de fluide entrant et dτ

₂

“ vpL, yqdydt est le volume de fluide sortant du volume de contrˆ ole (l’int´ egration sur z donne 1 compte tenu des dimensions utilis´ ees), ce qui donne

p

₂

´ p

₁

“ µdydtpv

²_x

pL, yq ´ U

²

q

soit dp

x

dt “ µdypv

_x²

pL, y q ´ U

²

q qu’il faut int´ egrer entre 0 et h pour obtenir la variation totale

dp

_x

dt “

ż

_h

0

µdypv

²_x

pL, yq ´ U

²

q

Cette variation de moment cin´ etique du fluide est due ` a la force de train´ ee T telle que

´ T

2 “ dp

_x

dt “

ż

_h

0

µdypv

²_x

pL, yq ´ U

²

q

En effet, on a ici seulement pris en compte le fluide au dessus de la plaque. Par ailleurs, le calcul effectu´ e en calculant la variation de quantit´ e de mouvement donne la force exerc´ ee par la plaque sur le fluide, mais c’est l’oppos´ e qui nous int´ eresse. Finalement

T “ 2µ ż

_h

0

dypU

²

´ v

_x²

pL, yqq

ou bien, en utilisant la forme demand´ ee T “ 2µU

²

ż

h 0

dy ˆ

1 ´ v

²_x

pL, yq U

²

˙

“ 2µU

²

ż

h

0

dyφpyq avec

φpyq “ 1 ´ v

_x²

pL, yq U

²

IX.B.2 On peut exprimer φ

$

&

%

φpyq “ 1 ´

^y_e²2

, y ď epxq φpyq “ 0, y ą epxq ce qui permet de calculer T

T “ 2µU

²

ż

_epLq

0

dy ˆ

1 ´ y

²

epLq

²

˙

“ 2µU

²

„

y ´ y

³

3epLq

²



epLq 0

“ 2µU

²

„

epLq ´ epLq 3



“ 2

3 µU

²

epLq et donc, en explicitant epLq

T “ 4

3 µU

²

¨ 3 c νL

U “ 4µ ? νLU

^3{2

IX.B.3

C

x

“ 1 µU

²

T L “ 1

µU

²

4µ ?

νLU

^3{2

L “ 4

? ν

? LU “ 4

? Re