1 – Limites sup´erieure et inf´erieure d’une suite

Int´egration et probabilit´es

ENS Paris, 2013-2014

TD  – Prol´egom`enes – Corrig´e

1 – Limites sup´erieure et inf´erieure d’une suite

E

^{xercice 1. Soit (a}n)_n≥une suite de r´eels. On d´efinit les deux nombres suivants dansR=R∪ {±∞}: lim sup

n→∞

a_n= lim

n→∞

sup

k≥n

a_k

et lim inf

n→∞ a_n= lim

n→∞

kinf≥na_k

.

. V´erifier que ces deux d´efinitions ont bien un sens.

. V´erifier les assertions suivantes : lim sup

n→∞

a_n< α ⇒ ∃n≥,∀k≥n, a_k< α

∃n≥,∀k≥n, a_k< α ⇒ lim sup

n→∞

a_n≤α lim sup

n→∞

a_n> α ⇒ ∀n≥,∃k≥n, a_k> α

∀n≥,∃k≥n, a_k> α ⇒ lim sup

n→∞

a_n≥α.

´Ecrire des assertions similaires faisant intervenir liminf

n→∞ a_n.

. Soit (an)_n≥une suite de nombres r´eels.

(a) Montrer que lim sup_n→∞a_net lim inf_n→∞a_nsont respeivement la plus grande et la plus pe- tite valeur d’adh´erence de la suite (a_n)_n≥.

(b) V´erifier quea_nconverge versl∈Rsi et seulement si lim sup

n→∞

a_n= lim inf

n→∞ a_n=l.

Corrig´e :

. La suite de terme g´en´eral sup_k≥na_ked´ecroissante, donc elle a bien une limite dansR. De mˆeme pour la lim inf et la limite croissante.

. V´erifions la premi`ere assertion : lim sup

n→∞ a_n< α ⇒ ∃n≥,sup

k≥n

a_k< α

⇒ ∃n≥,∀k≥n, a_k< α.

Le ree des assertions se d´emontre de la mˆeme fac¸on.

Pour des queions, demande de pr´ecisions ou explications, n’h´esitez pas `a m’envoyer un mail `a igor.kortchemski@ens.fr , ou bien `a venir me voir au bureau V.



. (a) SoitLla plus grande valeur d’adh´erence de la suite (a_n) et soitL⁰= lim sup_n→∞a_nOn suppose queL, L⁰ ,∞(les casL=∞ouL⁰ =∞se traitent similairement). Il exie alors une extraion φ(c’e-`a-dire une fonion injeive croissanteφ:N→N) telle quea<sub>φ(n)</sub>→L. Commea<sub>φ(n)</sub>≤ sup<sub>k</sub>≥φ(n)a<sub>k</sub>, en passant `a la limite lorsquen→ ∞on en d´eduit queL≤L⁰.

Une autre possibilit´e ede voir que d’apr`es la premi`ere implication de queion, siL⁰ < α alors forc´ementL≤α, ce qui implique queL≤L⁰.

NotonsL⁰ = lim sup_n→∞a_net montrons maintenant l’autre in´egalit´e en prouvant queL⁰eune valeur d’adh´erence de la suite (a_n). On conruit pour cela par r´ecurrence une suiteriement croissanteφ(), φ(), φ(), . . .telle queL⁰+/n > aφ(n)> L⁰−/npour tout entiern≥. Posons φ() = . Soit n ≥  un entier et supposons φ(), φ(), . . . , φ(n−) conruits. Comme L⁰ >

L⁰−/n, il exie un entierN > φ(n−) tel queL⁰+/n >sup_k≥Na_k> L⁰−/n. Il exie donc un entier entier not´eφ(n) tel queφ(n)> φ(n−) etL⁰+/n > aφ(n)> L⁰−/n. Ainsia_φ(n)→L⁰, qui ebien valeur d’adh´erence.

On raisonne similairement pour la lim inf (ou bien on remarque qu’on a l’´egalit´e lim sup_n→∞(−a_n) =

−lim inf_n→∞a_n)).

(b) C’eune cons´equence quasi-imm´ediate de (a).

E

^{xercice 2. Soit (x}n)_n≥une suite d’´el´ements deRet soitf :R→Rune fonion continue. Montrer que sif ecroissante alors

f(lim sup

n→∞

x_n) = lim sup

n→∞

f(x_n) et f(lim inf

n→∞ x_n) = lim inf

n→∞ f(x_n).

Que dire sif ed´ecroissante ? Corrig´e :

Posons y_n = sup_k≥nx_k pourn≥. Montrons d’abord que f(y_n) = sup_k≥nf(x_k). Par croissance de f, f(y_n)≥sup_k≥nf(x_k). Ensuite par d´efinition de la borne sup´erieure, il exie une fonionφ:N→N(qui n’epas forcementriement croissante) telle queφ(k)≥npour tout entierk≥etx_φ(k)→y_nlorsque k → ∞. Or, pourk ≥ n, f(x_φ(k)) ≤sup_i≥kf(x_φ(i)) ≤sup_i≥nf(x_i), en passant `a la limite il vient f(y<sub>n</sub>) ≤ sup<sub>k</sub>≥nf(x<sub>k</sub>), ce qui prouve le r´esultat annonc´e. En passant `a la limite, il vient alors imm´ediatement

f(lim sup

n→∞

x_n)≥lim sup

n→∞

f(x_n).

Le raisonnement esimilaire pour la lim inf.

Lorsquef ed´ecroissante, on a f(lim sup

n→∞

x_n) = lim inf

n→∞ f(x_n) et f(lim inf

n→∞ x_n) = lim sup

n→∞

f(x_n).

Le raisonnement esimilaire, et elaiss´e au leeur. On peut aussi remplacerf par−f et utiliser ce qui

pr´ec`ede.



2 – Limites sup´erieure et inf´erieure d’ensembles

E

^{xercice 3.} (Fonions indicatrices) SoitE un ensemble. SiA⊆ E, on note 1A l’applicationE → {,} d´efinie par1A(x) =six∈Aet1A(x) =sinon. La fonion1Aeappel´ee la fonion indicatrice deA (ou encore fonion cara´eriique deAou tout simplement l’indicatrice deA).

. SiA, B⊂E, ´ecrire1A∩Bet1A∪Ben fonion de1Aet1B.

. Soit (An)_n≥une suite de sous-ensembles deE. Relier les fonions indicatrices1^∩_n≥A_n et1^∪_n≥A_n

aux fonions1A_n,n≥.

. Repr´esenter graphiquement les fonions suivantes (d´efinies surR) : X

n≥

1[n,∞[, X

n=

1_[,n], X

n≥

1_[n,n+[.

Corrig´e :

. On voit que1A∩B=1A·1B= min(1A,1B) et1A∪B=1A+1B−1A·1B= max(1A,1B).

. On a1^∩_n≥A_n=Q

n≥1A_n= inf{1A_n}et1^∪_n≥A_n=−Q

n≥(−1A_n) = sup{1A_n}.

. Pas de difficulit´e.

E

^{xercice 4.} On consid`ere un ensembleE, et (A_n)_n≥une suite de sous-ensembles deE. SiA⊆E, on note 1Asa fonion cara´eriique (1A(x) =six∈Aet1A(x) =sinon).

. Que repr´esentent les ensembles suivants, [

n≥

\

k≥n

A_k, \

n≥

[

k≥n

A_k ?

Le premier enot´e lim inf_n→∞A_n, le second lim sup_n→∞A_n. Relier les fonions indicatrices 1lim inf_n→∞A_n, 1lim sup_n→∞A_n

aux fonions1A_n,n≥.

. Montrer que les propri´et´es suivantes sont v´erifi´ees.

(a) (lim sup_n→∞A_n)^c= lim inf_n→∞(A_n)^cet lim inf_n→∞A_n⊂lim sup_n→∞A_n (b) lim sup

n→∞

A_n={X

n≥

1A_n=∞}, lim inf

n→∞ A_n={X

n≥

1(A_n)^c<∞}. (c) lim sup

n→∞

(A_n∪B_n) = lim sup

n→∞

A_n∪lim sup

n→∞

B_n, lim sup

n→∞

(A_n∩B_n)⊂lim sup

n→∞

A_n∩lim sup

n→∞

B_n.

. Calculer lim infAnet lim supA_ndans les cas suivants (a) A_n=FetA_n+=G, o `uF, G⊂Esont fix´es,

(b) A_n=]− ∞, a_n], o `ua_p=+/(p) eta_p+=−−/(p+), (c) A_n=],+/(p)[ etA_n+=]−−/(p),],

(d) A_n=p_nN, o `u (p_n)_n≥ela suite des nombres premiers etp_nNel’ensemble des multiples de p_n,

(e) A_n= [sin(n)−,sin(n) +].



Corrig´e :

. L’ensemble lim infn→∞A_n e l’ensemble des ´el´ements qui appartiennent `a tous les A<sub>n</sub> `a partir d’un certain rang, ou, en d’autres mots, l’ensemble lim inf_n→∞A_nel’ensemble des ´el´ements qui appartiennent `a tous lesA<sub>n</sub> `a l’exception d’un nombre fini d’entre eux.

L’ensemble lim sup_n→∞A_nel’ensemble des ´el´ements qui appartiennent `a une infinit´e deA_n. On a l’´egalit´e

1lim inf_n→∞A_n= lim inf

n→∞ 1A_n. ()

En effet,

x∈lim inf

n→∞ A_n ⇔ ∃n_∈N: ∀n≥n_, x∈A_n,

⇔ ∃n_∈N: inf

n≥n_1A_n(x) =,

⇔ lim inf

n→∞ 1A_n(x) =.

L’´egalit´e

1lim sup_nA_n= lim sup

n 1A_n

se d´emontre de fac¸on similaire `a () ou en passant au compl´ementaire dans () en utilisant la queion(a).

. (a) Pour la premi`ere ´egalit´e, il suffit d’´ecrire









\

n≥

[

k≥n

A_k









c

=[

n≥

\

k≥n

(A_k)^c.

Pour la deuxi`eme, on peut dire que si un ´el´ement appartient `a tous lesA_n, sauf un nombre fini d’entre eux, alors il appartient `a une infinit´e deA_n.

(b) L’ensemble {P

n≥1A_n =∞} el’ensemble des ´el´ements appartenant `a une infinit´e de A_n et l’ensemble{P

n≥1(A_n)^c<∞}el’ensemble des ´el´ements qui n’appartiennent pas `a un nombre fini deA<sub>n</sub>, d’o `u le r´esultat d’apr`es la queion.

(c) La premi`ere ´egalit´e provient du fait qu’un ´el´ement appartienent `a une infinit´e deA_n∪B_n si et seulement si il appartienent `a une infinit´e deA<sub>n</sub> ou bien `a une infinit´e deB_n, et la seconde du fait que si on appartient `a une infinit´e deA<sub>n</sub>∩B<sub>n</sub> alors on appartient `a une infinit´e deA_n et une infinit´e deB_n.

. (a) On a lim supA_n=F∪Get lim infA_n=F∩G.

(b) On a lim supA_n=]− ∞,] et lim infA_n=]− ∞,[.

(c) On a lim supA_n= [−,] et lim infA_n=],].

(d) On a lim infA_n= lim supA_n={}.

(e) On a lim supA_n=]−,[ et lim infA_n={}. En effet, (sin(n))n∈Nedense dans ]−,[ (pour le voir, utiliser par exemple le fait que le sous-groupe additifZ+πZdeRn’epas monog`ene carπeirrationel, donc dense dansR), donc pour tout< x <, il exie une infinit´e d’entiers ntels que sin(n)> x−et aussi une infinit´e dentels que sin(n)< x−. La premi`ere famille montre quex ∈lim supA_n et la deuxi`eme famille que x <lim infA_n. Il eensuite facile de v´erifier que±<lim supA_n(carπeirrationnel) et∈lim infA_n.



 – Compl´ements (hors TD)

E

^{xercice 6. Soient X} un ensemble non vide et une suite (f_n)_n≥ de fonions f_n : X →R born´ees, qui converge simplement versf :X→Rborn´ee.

(i) Montrer que sup

x∈X

f(x)≤lim inf

n→∞ (sup

x∈X

f_n(x)). ´Etablir une in´egalit´e analogue pour l’inf.

(ii) Donner un exemple o `u l’in´egalit´e e rie. Montrer qu’il y a ´egalit´e si la convergence de la suite (f_n)_n≥euniforme.

Corrig´e :

. Soit >  fix´e. Soitx ∈ X tel que sup

x∈X

f(x) ≤f(x) +. Soit N un entier tel que f(x) ≤ f_n(x) + pour tout entier n ≥N. Ainsi, pourn ≥ N, sup

x∈X

f(x) ≤ f_n(x) +. On en d´eduit que sup

x∈X

f(x) ≤ sup

x∈X

f_n(x) +. D’o `u

sup

x∈X

f(x)≤lim inf

n→∞ (sup

x∈X

f_n(x)) +.

Comme ceci evrai pour tout >, le r´esultat d´esir´e en d´ecoule.

En remplac¸antf par−f, on obtient imm´ediatement que

xinf∈Xf(x)≥lim sup

n→∞

(infx∈Xf_n(x)).

. Il suffit de prendreX = [,] etf_n la fonion telle que f() =, f(x) =pourx ∈[/n, n] et f affine sur [,/n]. On a alorsf =et

sup

x∈X

f(x) =,= lim inf

n→∞ (sup

x∈X

f_n(x)).

Si la convergence euniforme, on voit ais´ement que sup_x∈Xf_n(x)→sup_x∈Xf(x) lorsquen→ ∞.

E

^{xercice 7.} (D’apr`es comp´etition Putnam) Trouver la valeur de lim

n→∞

n

X

s=

a+s n

n

, o `ua >.

Corrig´e :

On utilisera l’in´egalite (+x/n)ⁿ≤e^x, valable sin≥et+x/n >. PosonsS_n=P_n

s=

a+s n

n

. Alors

S_n=

n−

X

r=

+a−r n

n

≤

n−

X

r=

e^a−r<

∞

X

r=

e^a−r= e^a+

e−.

Ainsi lim sup

n→∞

S_n ≤ e^a+

e−. Similairement, pour un entierk fix´e et n > k: S_n≥ Xk r=

+a−r n

n

.En faisant

tendrenvers l’infini, on obtient que lim inf

n→∞ S_n≥

k

X

r=

e^a−r.En faisant maintenant tendrekvers l’infini, on trouve lim inf

n→∞ S_n≥

∞

X

r=

e^a−r= e^a+

e−.On conclut que lim

n→∞S_n= e^a+

e−.



E

^{xercice 8.}

. Soit (an)_n≥une suite de nombres r´eels v´erifianta_m+n≤a_m+a_npour tous entiersm, n≥. Montrer que la suite (a_n/n)_n≥converge dansRvers inf

n≥

a_n n .

. ( ) Un chemin auto´evitant de longueurndeZ^eune suite de points diinsA_, A_, . . . , A_n `a coordonn´ees enti`eres o `uA_el’origine et tels que la diance entreA_i etA_i+ vautpour tout

≤i ≤n−. Soita_nle nombre de chemins auto-´evitants de longueurndeZ^. Montrer quea^/n_n converge lorsquen→ ∞vers un r´eel positif not´ecet que< c <.

Remarque.Le r´eelceappel´econante de conneivit´e du r´eseauZ^. On ne connaˆıt pas sa valeur exae.

La conante de conneivit´e du r´eseau hexagonal a ´et´e calcul´ee par Hugo Duminil-Copin et Stanislav Smirnov en [], r´esolvant ainsi une conjeure formul´ee en physique th´eorique il y a ans par Nienhuis.

Corrig´e :

. Soitq >fix´e etnun entier v´erifiantn≥q. Soitn=k_nq+r_n (k_n≥et≤r_n≤q−) la division euclidienne denparq. En ´ecrivanta_n=a_(kn−)q+q+rn≤(k_n−)aq+a_q+rn, il vient

a_n

n ≤ k_n−

n a_q+a_q+rn

n =q(k_n−) n ·a_q

q +a_q+rn

n ≤n−r_n−q n ·a_q

q + n max

≤i≤q−

a_q+i n . Comme≤r_n≤q−, (n−r_n−q)/n→, et donc

lim sup

n→∞

a_n n ≤q_q

q. Ceci ´etant vrai pour tout entierq≥, on en d´eduit que

lim sup

n→∞

a_n n ≤inf

n≥

a_n n . Comme on a clairement inf_n≥a_n

n ≤lim sup_n→∞

a_n

n, on a bien ´egalit´e.

. Un chemin auto-´evitant de longueurm+nela concat´enation de deux chemins auto-´evitants de longueurs respeivesmetn. Donca_m+n≤a_ma_n. On peut donc appliquer la premi`ere queion `a la suite ln(a_n), ce qui implique quea^/n_n converge vers un r´eel positifc.

En faisant des pas vers le haut ou la droite uniquement on voit queⁿ≤a_net comme on ne peut pas revenir en arri`ere on aa_n ≤·^n−, ce qui prouve que≤c≤. Pour obtenir les in´egalit´es ries, trouvez deux encadrements meilleurs !

R´ef´erences

[] H. Duminil-Copin et S. Smirnov, The conneive conant of the honeycomb lattice equalsp

+√

, Annals of Mathematics,(),–().

Fin

