Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI−2013-2014
D. Blotti`ere Math´ematiques
Programme de colle de la semaine n˚11
Questions de cours
Question n˚ 1
D´efinition de l’image directe d’une partie de la source d’une application ; d´efinition de l’image r´eciproque d’une partie du but d’une application ; propri´et´es des images directes et des images r´eciproques (´enonc´e et preuve) ; conjecturer graphiquement puis calculer f([1,3]) et f−1([−2,2]) o`u f est l’application inverse d´efinie par :f:R∗→R; x7→ 1x.
Question n˚ 2
Les deux d´efinitions de la valeur absolue d’un nombre r´eel ; propri´et´es de la valeur absolue (´enonc´e et preuve de toutes, except´ee l’in´egalit´e triangulaire) ; interpr´etation g´eom´etrique de |a − b| o`u (a, b) ∈ R2; traduction de |x| ≤ r, o`u (x, r) ∈ R× R≥0, sans valeur absolue (´enonc´e, figure et interpr´etation g´eom´etrique) ; conjecturer graphiquement l’ensemble solution du syst`eme
|x−1|= 2
|x+ 2| ≤3
d’inconnuex∈R, puis d´emontrer la conjecture faite.
Question n˚ 3
Propri´et´e d’Archim`ede (´enonc´e) ; d´efinition d’une par- tie deRmajor´ee (resp. minor´ee, resp. born´ee) ; crit`ere pour qu’une partie deRsoit born´ee (´enonc´e et preuve) ; preuve du fait suivant : la partieA={3n−7|n∈N} n’est pas major´ee.
Question n˚ 4
D´efinitions de la borne sup´erieure et de la borne inf´erieure d’une partie de R; propri´et´es de la borne sup´erieure et de la borne inf´erieure (´enonc´e) ; ca- ract´erisations formelles d’une borne sup´erieure et d’une borne inf´erieure (´enonc´e et explication en trois points) ; borne sup´erieure versus maximum et borne inf´erieure versus minimum (´enonc´e et preuve pour sup vs. max) ; preuve de l’existence et calcul de la borne sup´erieure de la partieA=n
2n n+1
n∈No .
Question n˚ 5
Enonc´e de la factorisation de´ xn−yn o`u xet y sont des complexes et o`un∈N≥2; preuve de la pr´ec´edente identit´e, en manipulant le symboleP
(d´eveloppement, changement d’indice) ; calcul de la somme
n
X
k=1
1 k(k+ 1)
o`u n ∈ N∗, en remarquant que k(k1+1) = 1k − k+11
pour tout k ∈ N∗ et en manipulant le symbole P (d´eveloppement, changement d’indice) .
Chap. 2 − Logique, ensembles et applications
• D´efinition de l’image directe d’une partie de la source d’une application.
• D´efinition de l’image r´eciproque d’une partie du but d’une application.
• Propri´et´es des images directes et des images r´eciproques.
Chap. 3 − L’ensemble R des nombres r´ eels
• Rappel de la d´efinition g´eom´etrique de l’ensemble Rdes nombres r´eels.
• Rappel de la d´efinition g´eom´etrique de la relation d’ordre surR.
• Propri´et´es fondamentales de la relation d’ordre surR(r´eflexivit´e, antisym´etrie, transitivit´e).
• Compatibilit´e de la relation d’ordre avec les op´erations dansR.
• Sens de variation des fonctions usuelles.
• Addition membre `a membre de deux in´egalit´es.
• Multiplication membre `a membre de deux in´egalit´es mettant en jeu des termes positifs.
• D´efinitions de la valeur absolue d’un nombre r´eel : l’une `a l’aide de max, l’autre par morceaux.
• Interpr´etation g´eom´etrique de|a−b|o`u (a, b)∈ R2.
• Propri´et´es de la valeur absolue (e.g. signe, parit´e, in´egalit´e triangulaire).
• Cas d’´egalit´e dans l’in´egalit´e de droite de l’in´egalit´e triangulaire.
• Traduction de|x| ≤r, o`u (x, r)∈R×R≥0, sans valeur absolue.
• Propri´et´e d’Archim`ede.
• D´efinitions d’un majorant (resp. minorant) d’une partie deR et d’une partie deR major´ee (resp.
minor´ee).
• D´efinition d’une partie de R born´ee (comme
´etant une partie minor´ee et major´ee).
• Crit`ere pour qu’une partie deRsoit born´ee (cf.
≪ˆetre major´ee en valeur absolue≫).
• D´efinition du maximum (resp. minimum) d’une partie deR.
• Unicit´e du maximum (resp. minimum) d’une par- tie deR.
• D´efinition d’une partie de R admettant une borne sup´erieure (resp. inf´erieure) et de la borne sup´erieure (resp. inf´erieure) d’une telle.
• Propri´et´e de la borne sup´erieure et propri´et´e de la borne inf´erieure.
• Caract´erisation formelle d’une borne sup´erieure (resp. d’une borne inf´erieure).
• Borne sup´erieure versus maximum et borne inf´erieure versus minimum.
• Construction de la partie enti`ere d’un nombre r´eel (existence et unicit´e).
• D´efinition de la partie enti`ere d’un nombre r´eel.
• D´efinition et graphe de la fonction partie enti`ere.
