Exercice 1. (Limite sup´ erieure et limite inf´ erieure ) a) Pour toute suite r´ eelle (u

Universit´ e Lyon 1

Pr´ eparation ` a l’Agr´ egation de Math´ ematiques Pr´ eparation ` a l’´ ecrit d’Analyse et Probabilit´ es Ann´ ee 2013-2014

S´ eries enti` eres

Exercice 1. (Limite sup´ erieure et limite inf´ erieure ) a) Pour toute suite r´ eelle (u

), on d´ efinit dans R :

lim(u

) = lim

n→∞

sup{u

; p ≥ n} , lim(u

) = lim

n→∞

inf{u

; p ≥ n} ,

(la borne sup´ erieure d’un ensemble non major´ e, resp. non minor´ e, ´ etant +∞, resp. −∞).

Montrer que

inf {u

; n ∈ N } ≤ lim(u

) ≤ lim(u

) ≤ sup{u

; n ∈ N } , lim(u

) = lim(u

) = λ ⇔ lim(u

) = λ ,

et que lim(u

), resp. lim(u

), est la plus grande, resp. plus petite, valeur d’adh´ erence de (u

).

b) Soient (X, M, µ) un espace mesur´ e, et f

, f : X → R des fonctions int´ egrables. On suppose que lim

n→∞

f

(x) = f(x) µ-presque partout dans X et que lim

n→∞

Z

X

|f

(x)| dµ = Z

X

|f(x)| dµ. Montrer que lim

n→∞

Z

X

|f

(x) − f(x)| dµ = 0. Indication : appliquer le lemme de Fatou ` a la suite de fonctions (g

) d´ efinies par g

(x) := |f (x)| + |f

(x)| − |f(x) − f

(x)|.

Exercice 2. (Exemples de s´ eries de Fourier )

a) Calculer les coefficients de Fourier des fonctions 1-p´ eriodiques d´ efinies par f(x) = 1 , g(x) = x , pour x ∈ [0, 1/2[ ,

f(x) = −1, g(x) = 1 − x , pour x ∈ [1/2, 1[ .

b) D´ emontrer (sans utiliser de th´ eor` eme g´ en´ eral) que leurs s´ eries de Fourier convergent en tout point, et que celle de g est normalement convergente (pour la norme k · k

).

c) Expliquer pourquoi la convergence de la s´ erie de Fourier de g est meilleure que celle de f.

Exercice 3. (S´ eries enti` eres/s´ eries de Fourier ) Soit P

a

z

une s´ erie enti` ere de rayon de convergence R strictement positif.

a) Soit r avec 0 < r < R. Montrer que la s´ erie de terme g´ en´ eral a

r

e

converge uni- form´ ement pour θ ∈ R .

b) Calculer (en fonction de a

et r) le n−` eme coefficient de Fourier de l’application p´ eriodique θ 7−→ f (re

), o` u f (z) :=

∞

P

n=0

a

z

. c) ´ Etablir les in´ egalit´ es de Cauchy :

|a

| ≤ 1 r

sup

|z|=r

|f (z)|, ∀ n ∈ N .

1

d) Application : on suppose R = 1, et qu’il existe α ∈]0, 1[ et C > 0 tels que |f (z)| ≤ C(1 − |z|)

pour |z| < 1. Montrer qu’il existe K > 0 tel que |a

| ≤ Kn

, ∀ n ∈ N

. Exercice 4. (S´ eries de Dirichlet ) Soient (a

) une suite complexe et z ∈ C . On consid` ere la s´ erie de terme g´ en´ eral u

(z) := a

n

et l’on d´ efinit dans R :

σ

:= inf n

x ∈ R ; P

u

(x) est convergente o , σ

:= inf

n

x ∈ R ; P

u

(x) est absolument convergente o

.

a) Montrer que σ

≤ σ

≤ σ

+ 1, et donner des exemples de suites (a

) pour lesquelles σ

= σ

ou σ

= σ

+ 1.

b) Soit z

∈ C . On suppose que P

u

(z

) est convergente. Montrer que P

u

(z) est conver- gente pour tout z ∈ C tel que Re z > Re z

.

c) Montrer que pour tout z ∈ C tel que Re z > σ

, P

u

(z) est convergente, et que pour tout z ∈ C tel que Re z < σ

, P

u

(z) est divergente.

d) Montrer que la fonction u : z 7→ u(z) :=

∞

P

n=1

u

(z) d´ efinit une fonction holomorphe dans le demi-plan {z ∈ C ; Re z > σ

}.

R´ evisions associ´ ees ` a cette feuille :

Limites sup´ erieure, inf´ erieure. Lemme de Fatou.

S´ eries de Fourier et formule de Parseval.

Rayon de convergence des s´ eries enti` eres. S´ eries d´ ependant d’un param` etre. ´ Equations de Cauchy-Riemann.

Ouvrage recommand´ e :

Rudin, W. Analyse r´ eelle et complexe : Cours et exercices . 3e ´ edition (22 mai 2009), Dunod Collection : Sciences Sup, ISBN-10 : 2100534475, ISBN-13 : 978-2100534470

2