Exercice pour les ´ etudiants de MA3 seulement :

Universit´e Paris 7 MI3 et MA3

L2, MIAS et MASS 2006-2007

Partiel du 4 novembre

1) D´eterminer la nature des s´eries suivantes : X

n≥1

µ 1− 3

n

¶_n

, X

n≥1

(n!)³

(3n)! , X

n≥1

ln⁵n

n^4/3 , X

n≥1

tan(−1)ⁿ

√n .

2) a) Soit (a_n)_n≥0 une suite num´erique telle que

∀n∈N 1

100 ≤a_n ≤100. Quel est le rayon de convergence de la s´erie enti`ere P

n≥0a_nzⁿ? b) D´eterminer le rayon de convergence de la s´erie enti`ere P

n≥0zⁿ³. Indication : on pourra discuter, suivant le param`etre r´eel positif r, la valeur de lim_n→+∞rⁿ².

3) Pour tout entier n≥1, on consid`ere la fonctionf_n :R₊ →R telle que

∀x≥0 f_n(x) = 1

√n

¡1−e^−nx¢ . a) ´Etudier bri`evement la fonction f_n, sur l’intervalle [0,+∞[.

b) Montrer que la s´erie de fonctions P

n≥1f_n converge simplement sur R₊. On poseraf(x) =

X∞

n=1

f_n(x) pour tout x≥0.

c) Soitb un r´eel positif. Calculer sup_0≤x≤b|fn(x)|. En d´eduire que la s´erie de fonctionsP

n≥1fn

converge normalement sur [0, b].

d) Calculer sup_x≥0|fn(x)|. En d´eduire que la s´erie de fonctions P

n≥1fn ne converge pas nor- malement sur [0,+∞[.

e) Montrer que f est une fonction continue sur [0,+∞[.

f) Montrer que f est une fonction d´erivable sur [0,+∞[, et que f⁰(x)>0 pour tout x≥0.

g) Montrer que, pour tout entier m≥1 et tout r´eel x≥m, on a f(x)≥

Xm

n=1

f_n(x)≥ µ

1− 1 e

¶X_m

n=1

√1 n . h) Montrer que lim_x→+∞f(x) = +∞.

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Exercice pour les ´ etudiants de MI3 seulement :

4) On consid`ere les fonctions f(x) = 1

2−x , g(x) = 1

3−x , h(x) = 1 x²−5x+ 6.

Le but de cet exercice est de d´evelopper en s´eries enti`eres ces trois fonctions, autrement dit d’´ecrire chacune de ces fonctions sous la forme

X+∞

n=0

unxⁿ pour tout x suffisamment proche de 0.

a) Soit a un r´eel non nul. D´eterminer le rayon de convergence R de la s´erie enti`ere X

n≥0

1 aⁿxⁿ. Calculer la somme

X+∞

n=0

1

aⁿxⁿ pour tout x∈]−R, R[.

b) `A l’aide de la question pr´ec´edente, d´evelopper en s´eries enti`eres les fonctions f et g. On pr´ecisera les rayons de convergence des s´eries enti`eres obtenues.

c) D´ecomposer la fonction rationnelle h en ´el´ements simples. En d´eduire le d´eveloppement en s´erie enti`ere de h. D´eterminer le rayon de convergence de la s´erie enti`ere obtenue.

Exercice pour les ´ etudiants de MA3 seulement :

4) ...