Exercice 1 D´ evelopper en s´ erie enti` ere les fonctions suivantes et pr´ eciser le rayon de conver- gence :

S´ eries enti` eres (suite)

D´ eveloppement en s´ eries enti` eres

Exercice 1 D´ evelopper en s´ erie enti` ere les fonctions suivantes et pr´ eciser le rayon de conver- gence :

1

(1 + x

)(1 − x) au voisinage de 0 1

x au voisinage de 2

ln

r 1 + x 1 − x

!

au voisinage de 0 e

au voisinage de 1

Arctan 1 − x

1 + x

au voisinage de 0 ln(1 + x − 2x

) au voisinage de 0 Z

0

sint

t dt au voisinage de 0 e

1 + x au voisinage de 0

Exercice 2 Soit la fonction r´ eelle f d´ efinie sur ] − 1, + ∞ [ par f (0) = 1 et si x 6 = 0 , alors f (x) = 1

x ln(1 + x).

D´ evelopper f en s´ erie enti` ere au voisinage de 0 ; D´ etermier le rayon de convergence de cette s´ erie enti` ere. D´ emontrer qu’elle converge uniform´ ement sur [0, 1].

D´ emontrer que Z

0

1

x ln(1 + x ) dx = 1 2

∞

X

1

1 n

.

Equations diff´ ´ erentielles

Exercice 3 On consid` ere l’´ equation diff´ erentielle 4xy

+ 2y

+ y = 0, o` u y est une fonction de classe C

de la variable r´ eelle x. On se propose de trouver une solution d´ eveloppable en s´ erie enti` ere

y(x) = X

n>0

a

x

, v´ erifiant y(0) = 1.

1. calculer a

en fonction de a

pour n > 1. En d´ eduire : a

= ( − 1)

(2n)! pour n > 0.

Quel est le domaine de validit´ e de la solution y(x) ainsi obtenue ? 2. Montrer que

y(x) =

ch( √

− x) pour x 6 0 cos ( √

x ) pour x > 0 .

Exercice 4 On consid` ere l’´ equation diff´ erentielle du second ordre y

+ ω

y = 3ω

cos

ωx

4

avec les conditions initiales y(0) = 4 et y

(0) = 0 .

On suppose qu’il existe une solution de cette ´ equation d´ eveloppable en s´ erie enti` ere au voisinage de 0 . Soit f (x) =

+∞

X

n=0

a

x

cette solution.

1. Calculer a

, a

, a

et a

. D´ eterminer une relation de r´ ecurrence entre les coefficients a

. En d´ eduire l’expression de a

.

2. D´ eterminer le rayon de convergence de la s´ erie enti` ere ainsi obtenue et calculer sa somme.

3. Retrouver ce r´ esultat par une int´ egration directe de l’´ equation diff´ erentielle donn´ ee.

4. D´ eduire de ce qui pr´ ec` ede la somme des s´ eries num´ eriques X ( − 1)

π

(2n)!

1 2

+ 1

2

et X ( − 1)

2

π

(2n)! .

Exercice 5 D´ eterminer les solutions d´ eveloppables en s´ erie enti` ere autour de l’origine de l’´ equation diff´ erentielle 2xy

+ 2y

+ y = 0.

Exercice 6 D´ eterminer une ´ equation diff´ erentielle du premier ordre admettant pour solution f : x 7→ arcsin x

√ 1 − x

. En d´ eduire un d´ eveloppement en s´ erie enti` ere de f ` a l’origine.

Quel est le d´ eveloppement en s´ erie enti` ere de la fonction x 7→ (arcsin x )

` a l’origine ?