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D´eterminer le rayon de convergence des s´eries enti`eres suivantes : 1

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Academic year: 2022

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(1)

Universit´e Claude Bernard - Lyon 1 Semestre de printemps 2019-2020 UE de calcul diff´erentiel et analyse complexe

Feuille d’exercices no6 : S´eries enti`eres

Exercice 1 (?). soit X

anzn une s´erie enti`ere de rayon de convergence R. D´eterminer le rayon de convergence des s´eries enti`eres suivantes :

1. X anz3n, 2. X

an3nz2n,

3. On suppose d´esormais R > 0. Montrer que la s´erie enti`ere Xan

n!zn a un rayon de convergence infini.

Exercice 2 (?). D´eterminer le rayon de convergence des s´eries enti`eres complexes suivantes : 1. X

(−1)nnn

n!z4n+1, 2. X n!

1.3. . .(2n+ 1)z2n+3. 3. X

(1 + (−1)n/n)(n2)zn.

4. X zn!, 5. X

nnzn2.

Exercice 3(?). D´eterminer le rayon de convergence,R, deX sin

1

√n

zn, puis ´etudier sa convergence pour |z|=R.

Exercice 4 (?). Les assertions suivantes sont elles vraies ou fausses ? 1. Les s´eries enti`eres X

anzn etX

(−1)nanzn ont le mˆeme rayon de convergence.

2. Les s´eries enti`eres X

anzn etX

(−1)nanzn ont le mˆeme domaine de convergence.

Exercice 5 (?). Calculer le rayon de convergence des s´eries enti`eres associ´ees et d´eterminer la valeur des sommes suivantes :

1.

+∞

X

n=0

n2xn,

2.

X

n=0

xn+1 n+ 1,

3.

+∞

X

n=0

n n+ 1xn, 4.

+∞

X

n=3

n2

(n−1)(n−2)xn

5.

+∞

X

n=0

1

(3 + (−1)n)nxn

Exercice 6 (?). Soit f :R → R d´efinie par f(x) = sinxx si x 6= 0 et f(0) = 1. Montrer que f est de classe C.

Exercice 7. Soit Pn = Pn k=0 Xk

k! ∈ C[X] et soir R > 0. Montrer que pour n suffisamment grand, Pn n’a pas de racinces dans le disque ferm´e de rayonR.

1

(2)

Exercice 8. Pour un entier n≥ 1, on note d(n) (respect. s(n)) le nombre de diviseurs (respect. leur somme) de n qui sont sup´erieurs `a 1. Montrer que les s´eries enti`eres P

d(n)zn et P

s(n)zn ont pour rayon de convergence 1.

Exercice 9. Soit f = P

nanzn une s´erie enti`ere o`u an est la suite de Fibonacci d´efinie par an+2 = an+1+an eta0=a1 = 1.

1. Montrer que pour z dans le disque de convergence, on a : f(z) = (z2+z)f(z) + 1.

2. Montrer que le rayon de convergence de f est l’inverse du nombre d’orγ = 1+

5 2 .

Indication : consid´erer dn =an+1/an; γ la racine positive de X2−X−1 = 0 et ´etudier la suite dn−γ.

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