UNIVERSIT´E JOSEPH FOURIER Ann´ee 2005/2006
Licence de math´ematiques MAT 242
Groupe INMA 03
Feuille d’exercices 6
Exercice 1
On consid`ere la suite de fonctionsfn :R+→Rd´efinie parfn(x) =n+xn1 2. 1. D´eterminer le domaine de convergence D de la s´erie de fonctions P
n≥1fn. Etudier la convergence normale de la s´erie de fonctions´ P
n≥1fn surD, puis sur [a,+∞[ pour tout r´eela >0.
Sur le domaine de convergenceD, on d´efinit la sommef =P
n≥1fn. 2. Montrer que f est int´egrable sur [1,2] et exprimer R2
1 f(x)dx sous forme d’une s´erie num´erique.
Exercice 2
On consid`ere la suite de fonctionsfn : [0,1]→Rd´efinie parfn(x) =xnn. 1. Etudier le domaine de convergence de la s´erie P
n≥1fn, puis de la s´erie P
n≥1fn0.
2. Calculer P+∞
n=1fn(x) pour tout x∈[0,1[.
Indication : On calculera la somme de la s´erie P
fn0, et on ´etudiera la conver- gence de cette s´erie.
3. Etudier la convergence de la s´erie de fonctionsP+∞
n=1(fn(x) lnx) sur [0,1] (o`u on prolonge par continuit´ex→fn(x) lnxpar 0 en 0).
4. En d´eduire la valeur de : Z 1
0
ln(t) ln(1−t)dt
en supposant admis le r´esultat : P+∞
n=1 1 n2 = π62.
1
Exercice 3
Calculer les rayons de convergence des s´eries enti`eres suivantes : 1. Px2
n2, 2. P
n!x2, 3. P xn
n+3, 4. P n2
3n+nxn, 5. P
(1+1√n)nxn,
Exercice 4 SoitP
anxn une s´erie enti`ere ayant un rayon de convergence non nul. Montrer que la s´eriePa
n!nxn a un rayon de convergence infini.
Exercice 5 SoitP
anxnune s´erie enti`ere ayant un rayon de convergenceρ >0. Calculer le rayon de convergence des s´eries enti`eres suivantes.
1. P a2nxn 2. P
anx2n 3. P
a2nx2n
2
