Exercice 1. Le but de cet exercice est de calculer une valeur approch´ ee de π ` a l’aides de la formule de Machin.

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Universit´ e du Littoral 2016-2017

Master 1 ` ere ann´ ee MEEF

Tices – Examen

Exercice 1. Le but de cet exercice est de calculer une valeur approch´ ee de π ` a l’aides de la formule de Machin.

On rappel que la le d´ eveloppement en s´ erie enti` ere de la fonction arctangent est

∀x ∈ [−1, 1] arctan(x) =

∞

X

k=0

(−1)

^k

x

^2k+1

2k + 1 Soit α ∈ [−1, 1], on pose θ = arctan(α).

1. A l’aide de Xcas et de la formule

tan(a + b) = tan a + tan b 1 − tan a × tanb calculer successivement tan(2θ), tan(4θ) et tan(4θ − π/4).

2. Que vaut tan(4θ − π/4) pour θ = arctan(1/5) ? 3. En d´ eduire la formule de Machin :

π

4 = 4 arctan 1

5 − arctan 1

239 . 4. Ecrire un algorithme qui ´ etant donn´ ee x ∈ [−1, 1] et n ∈ N retourne

n

X

k=0

(−1)

^k

x

^2k+1

2k + 1 , valeur approch´ e de arctan(x).

5. En d´ eduire un algorithme retournant une valeur approch´ e de π. Cet algorithme prendra en param` etre un entier n correspondant aux nombres de termes calcul´ es dans les s´ eries enti` eres de arctan.

Exercice 2. Le but de cet exercice est l’´ etude de la suite de Fibonacci. La suite de Fibonacci est d´ efinit par u

0

= u

1

= 1 et u

n+2

= u

n+1

+ u

n

.

1. Calculer les 30 premiers termes de la suite de Fibonacci ` a l’aide d’un tableur.

2. Repr´ esenter les valeurs obtenues par un graphique.

3. Calculer le rapport v

n

= u

n+1

/u

n

pour n = 0, ..., 29.

4. Cr´ eer un graphique repr´ esentant la suite (v

n

) pour n = 0...29.

5. Que pouvez-vous conjecturer ? Pour n ∈ N , on note U

n

le vecteur

u

n

u

n−1

. 6. Que vaut U

1

?

7. D´ eterminer la matrice A v´ erifiant U

n+1

= A × U

n

. 8. D´ eterminer U

n

en fonction de A et de U

1

.

9. Calculer, ` a l’aide de Xcas, les valeurs propres de A.

10. A est-elle diagonalisable ?

11. D´ eterminer une matrice P inversible P et une matrice diagonale D tel qu’on ait A = P DP

⁻¹

. 12. Calculer A

ⁿ

pour tout n ∈ N .

13. Donner une expression de u

n

ne d´ ependant que de n pour n ∈ N .

14. V´ erifier la formule obtenue ` a l’aide du tableur pour les 30 premi` eres valeurs de u

n

. Exercice 3. Le but de cet exercice est l’´ etude de l’ast´ ero¨ıde.

Pour α ∈ [0, 1] un r´ eel, on d´ efinit A

α

, B

α

, A

⁰_α

, B

⁰_α

les points de coordonn´ ees

A

α

= (0, α), B

α

= (1 − α, 0), A

⁰α

= (0, −α) et B

α⁰

= (α − 1, 0) 1. Dans GeoGebra, cr´ eer un curseur N allant de 10 ` a 100 et un curseur n allant de 0 ` a N . 2. Cr´ eer les points A

α

, B

α

, A

⁰α

et B

α⁰

pour α = n/N.

3. Dessiner les segments S

1

(α) = [A

α

B

α

], S

2

(α) = [B

α

A

⁰α

], S

3

(α) = [A

⁰α

B

α⁰

] et S

4

(α) = [B

⁰α

A

α

] en rouge.

1

(2)

2

4. A l’aide d’une animation de curseur afficher la figure Astr

N

=

N

[

n=0 4

[

i=1

S

i

n N

On note L(α) le losange A

α

B

α

A

⁰_α

B

_α⁰

.

5. Tracer le p´ erim` etre p(α) de L(α) en fonction de α pour α ∈

n

N

| n ∈ {0, ..., N} . 6. Tracer l’aire a(α) de L(α) en fonction de α pour α ∈

_n

N

| n ∈ {0, ..., N} . 7. D´ eterminer les ´ equations de p(α) et a(α).

8. Confronter les ´ equations obtenues avec les r´ esultat exp´ erimentaux obtenus dans GeoGebra.

9. Pour quelle(s) valeur(s) de α, le p´ erim` etre et l’air de L(α) sont-ils minimaux ? maximaux ?

10. L’astro¨ıde Astr

∞

peut ˆ etre obtenu comme le lieu d’un point P se trouvant ` a la circonf´ erence d’un cercle C de rayon 1 roulant ` a l’int´ erieur d’un cercle de rayon 4. Illustrer cette construction ` a l’aide de GeoGebra (sur une autre feuille).

−4.0 −2.0 2.0 4.0

−4.0

−2.0 2.0 4.0

0

α= 49^◦