Exercice 1 : S´ eries de Fourier

L3 PAPP, Universit´ e Paris-Saclay Ch. Texier CORRECTION de l’examen partiel de math´ ematiques

Lundi 1 mars 2021

Exercice 1 : S´ eries de Fourier

A. Questions de cours

Soit une fonction f (x) p´ eriodique de p´ eriode 2π, d´ ecomposable en s´ erie de Fourier f(x) = X

n∈ Z

c n e ^inx (1)

1/ f (x) ∈ R , donc P

n∈ Z c n e ^inx = P

n∈ Z c ^∗ _n e ^−inx = P

n∈ Z c ^∗ _−n e ^inx d’o` u c n = c <sup>∗</sup> <sub>−n</sub> . De mˆ eme f(−x) = f (x) conduit ` a c _n = c −n .

En combinant les deux propri´ et´ es, on voit donc que les coefficients sont r´ eels et sym´ etriques.

2/ En utilisant la sym´ etrie des coefficients : f(x) = c ₀ + X

n∈ Z

c _n e ^inx = c ₀ +

∞

X

n=1

c _n (e ^inx + e ^−inx ) (2) qu’on identifie avec

f(x) = b 0 +

∞

X

n=1

b n cos(nx) (3)

en posant b 0 = c 0 et b n = 2c n . 3/ En cours, on a montr´ e que c n = R 2π

0 dx

2π f (x) e ^−inx , d’o` u b 0 =

Z π 0

dx

π f (x) et b n = 2 Z π

0

dx

π f (x) cos(nx) (4)

o` u l’on a utilis´ e la sym´ etrie de la fonction.

B. Application

On consid` ere la fonction f (x) = 1 − ^x _π 2

d´ efinie sur l’intervalle x ∈ [−π, π].

2/ On souhaite repr´ esenter f (x) par une s´ erie de Fourier (1). Pour cela on ´ etend le domaine de d´ efinition de f(x) sur R tout entier en consid´ erant que f (x) est p´ eriodique de p´ eriode 2π.

a) f (x) est continue ∀x

mais f ⁰ (x) est discontinue en x = ±π.

1

b) Calculons les coefficients de Fourier b ₀ et b _n : b 0 =

Z π 0

dx π

1 − x

π 2

= Z 1

0

du (1 − u ² ) = 2

3 (5)

et

b n = 2 Z π

0

dx

π cos(nx)

1 − x π

2

= − 2 π ²

Z π 0

dx

π x ² cos(nx) = − 4(−1) ⁿ

(πn) ² (6) (apr` es deux I.P.P).

La s´ erie de Fourier prend la forme f (x) = 2

3 − 4 π ²

∞

X

n=1

(−1) ⁿ

n ² cos(nx) (7)

c) On a

f(0) = 1 = 2 3 − 4

π ²

∞

X

n=1

(−1) ⁿ

n ² d’o` u

∞

X

n=1

(−1) ⁿ

n ² = − π ²

12 (8)

f (π) = 0 = 2 3 − 4

π ²

∞

X

n=1

1

n ² d’o` u

∞

X

n=1

1 n ² = π ²

6 (9)

d) Le comportement |b _n | ∼ 1/n ² est reli´ e ` a la discontinuit´ e de la d´ eriv´ ee de f en ±π.

3/ ( Bonus ) On aurait pu prolonger la fonction de d´ epart en consid´ erant une fonction de p´ eriode 4π

g(x) =

( 1 − ^x _π 2

sur [−π, +π]

−1 + ^x−2π _π 2

sur [π, 3π] (10)

dont la d´ eriv´ ee est continue, mais la d´ eriv´ ee seconde est discontinue.

D’apr` es le th´ eor` eme vu en cours, cette fonction est as- soci´ ee ` a des coefficients de Fourier d´ ecroissant comme

˜

c n ∼ 1/n ³ .

Exercice 2 : Transformation de Fourier

A. Questions de cours cf. cours.

B. Autour de la fonction porte On consid` ere la fonction :

Π a (x) =

( 1/a si |x| < a/2

0 sinon (11)

2

1/ On a R

R Π _a = 1 ⇒ Π _a ∈ L ¹ ( R ) 2/

Π b _a (k) = 1

√ 2π

Z

R

dx Π _a (x) e ^−ikx = 1

√ 2π

Z +a/2

−a/2

dx 1

a e ^−ikx (12)

donc

Π b _a (k) = 1

√ 2π sinc(ka/2) (13)

V´ erif. : Π b a (0) = ^{√ 1} _2π (Ok, puisque R

R Π a = 1).

3/ R

R dx x ⁿ = ∞, donc elle n’est pas dans L ¹ (R). En revanche, R

R dx f n (x) = R a/2

−a/2 dx x ⁿ < ∞, donc f n ∈ L ¹ ( R ).

4/ On utilise la propri´ et´ e de la question de cours, F _k [x f (x)] = i ˆ f ⁰ (k), donc f ˆ _n (k) =

i d

dk n

Π b _a (k) (14)

On peut utiliser cette relation pour calculer la d´ eriv´ ee n-` eme au point k = 0 :

i d dk

n

Π b _a (k)

k=0

= 1

√ 2π

i d dk

n

sinc(ka/2)

k=0

= F _k=0 [x ⁿ Π _a (x)] = Z

R

√ dx

2π x ⁿ Π _a (x) (15) cette derni` ere int´ egrale est ´ el´ ementaire. On trouve

i d

dk n

sinc(ka/2)

k=0

= 1

n + 1 a

2 n

pour n pair, (16)

et 0 pour n impair. Autrement dit :

sinc ^(2m) (0) = (−1) ^m

2m + 1 et sinc ^(2m+1) (0) = 0 . (17) 5/ On introduit g _a,b

= Π _a ∗ Π _b o` u a, b sont deux r´ eels positifs.

On commence par d´ eterminer g _1,2 (x) = R

dy Π ₁ (x − y) Π ₂ (y). Pour cela on trace les deux fonctions dans l’int´ egrale. On distingue trois cas :

(a) x + 1/2 < −1, i.e. x < −3/2 :

donc g _1,2 (x) = 0.

(b) −3/2 < x < −1/2 :

donc g _1,2 (x) = ¹ ₂ (x + 3/2).

3

(c) −1/2 < x < 1/2 :

donc g _1,2 (x) = 1/2.

(d) on utilise la sym´ etrie de la fonction.

Finalement, la fonction g _1,2 (x) est :

6/ On proc` ede de la mˆ eme mani` ere dans le cas g´ en´ eral (pour a < b) :

g _a,b (x) =



 

 

 



 

 

 



0 si x < − ^b+a ₂

1 ab

b+a 2 + x

si − ^b+a ₂ < x < − ^b−a ₂

1

b si − ^b−a ₂ < x < ^b−a ₂

1 ab

b+a 2 − x

si ^b−a ₂ < x < ^b+a ₂ 0 si x > ^b+a ₂

(18)

7/ ˆ g _a,b (k) = F _k [g _a,b ] = √

2π Π b _a (k) Π b _b (k).

D’apr` es le th´ eor` eme d’inversion, F _x ^† [ˆ g a,b ] = g a,b (x) ∀ x ∈ R (comme g a,b (x) est continue, on a F _x ^† [F [g _a,b ]] = g _a,b (x) ∀ x ; ici c’est mˆ eme un peu plus fort : comme ˆ g _a,b ∈ L ² ( R ), l’inversion redonne g a,b (x) ∀ x).

8/ ´ Ecrivons

g _a,b (x) = F _x ^† [ˆ g _a,b ] = Z

R

dk 2π sinc

ka 2

sinc

kb 2

e ^ikx (19)

et faisons x = 0. On d´ eduit Z

R

dk sinc ka

2

sinc kb

2

= 2π g _a,b (0) = 2π

max(a, b) (20)

En posant α = a/2 et β = b/2 on obtient finalement Z

R

dx sin(αx) sin(βx)

x ² = π min(α, β) (21)

4