Universit´e Paris-Saclay Ann´ee 2019–2020 Licences L3 PAPP & PMEC
Math´ematiques pour la Physique II
TD 1 : Int´ egration – S´ eries de Fourier
Exercice 1 : Convergence d’int´egrales de Riemann “impropres”
1 –Soitf une fonction born´ee etF une primitive def. Rappeler `a quelle condition l’int´egrale impropreR∞
a dx f(x) est-elle convergente.
2 –Mˆeme question sif(x) est divergente seulement enaet born´ee ailleurs : `a quelle condition Rb
adx f(x) est-elle convergente ?
3 – A quelle condition (sur` α etβ) les int´egrales suivantes sont-elles convergentes, supposant b >0 ?
Z ∞
b
dx
xα et
Z b
0
dx xβ
4 – Discuter la convergence des int´egrales impropres suivantes, en fonction de α >0 Z ∞
0
dx x2 (1 +x2+x4)α+24 ,
Z 1
0
dx [sin(πx)]α,
Z ∞
1
dx 1
√
1 +x2 − 1 x
et
Z ∞
0
dte−at−e−bt t
(on supposeraa >0 etb >0 pour la derni`ere) Exercice 2 : Th´eor`eme d’Abel
1 –Soitf(x) une fonction born´ee (en valeur absolue) surR+et monotone avec limx→∞f(x) = 0. Deux exemples : f(x) = (1 +x)−apour a >0 ouf(x) = 1/
1 + ln(x+ 1) . Discuter la convergence de l’int´egrale suivante
I = Z ∞
0
dx f(x) sinx . (1)
Est-elle absolument convergente, semi-convergente ou divergente ? 2 – (facultatif) D´emontrer le th´eor`eme suivant :
Th´eor`eme d’Abel : Soit f etg deux fonctions satisfaisant les propri´et´es : (i) limx→∞f(x) = 0.
(ii) f est d´erivable etR∞
a dx|f0(x)|<∞.
(iii) g est d´erivable et |g(x)|est born´ee par une constante sur [a,+∞[.
Alors Z ∞
a
dx f(x)g0(x)<∞
Retrouver le r´esultat de la premi`ere question par application du th´eor`eme.
1
Exercice 3 : Convergence uniformeversus convergence domin´ee
•Soit fn(x) une suite de fonctions. La suite convergeuniform´ement versf(x) pourx∈A si Sup
x∈A
|fn(x)−f(x)| →0 pourn→ ∞.
Une conditionsuffisante pour permuter limite et int´egrale dans limn→∞
R
Adx fn(x) est que la suite de fonctions soit uniform´ement convergente surA, un intervalle de mesure finie.
•Le th´eor`eme de Lebesgue de la convergence domin´ee donne des conditions plus faibles pour permuter limite et int´egrale.
1 – Rappeler le th´eor`eme de Lebesgue de la convergence domin´ee.
2 – Pour les suites de fonctions suivantes, peut-on appliquer le th´eor`eme sur la convergence uniforme ou le th´eor`eme de Lebesgue sur la convergence domin´ee pour permuter limite et int´egrale ?
(i) R1
0 dx fn(x) o`ufn(x) = a n+2+(n+3) cos(2πx)n , avec a >2.
(ii) R1
0 dx gn(x) o`ugn(x) =xn. (iii) Tracer la fonction hn(x) =
(n3/2x pour x∈[0,1/n]
1/√
x pour x∈[1/n,1] et discuter la convergence de R1
0 dx hn(x).
Exercice 4 : D´erivation sous le signeR 1 – Consid´erons l’int´egrale I(λ) = Rb
adx f(x, λ) d´ependant d’un param`etre λ. Rappeler les conditions permettant de permuter d´erivation par rapport `a λet int´egration.
2 – Calculer les int´egrales suivantes en utilisant la d´erivation sous le signe R : Z π
0
dx x2 sinx et
Z ∞
0
dx xne−x avec n∈N.
(ici on pourra aussi utiliser la d´erivation par parties pour v´erifier le r´esultat).
Exercice 5 : S´eries de Fourier
On rappelle que toute fonctionf p´eriodique de p´eriode T peut se d´ecomposer en s´erie de Fourier
f(x) =X
n∈Z
fˆne2iπnx/T o`u le coefficient de Fourier est ˆfn= Z T
0
dx
T f(x) e−2iπnx/T (2) 1 – On ´etudie la fonction p´eriodique
f(x) = sinx
coshλ−cosx pourλ >0. (3)
Indication : ´etudier Im eλ
eλ−eix
.
D´eduire le d´eveloppement en s´erie de Fourierf(x) =P
n∈Zfˆneinx de cette fonction.
2 – On consid`ere la fonction p´eriodiqueg de p´eriode 2π qui vautg(x) =x pourx∈]−π, π].
Justifier que la s´erie de Fourier g(x) =P
n∈Zgˆneinx peut se r´e´ecrireg(x) = 2P∞
n=1bn sinnx et donner la relation entre les coefficients ˆgn etbn. Calculer bn.
3 – Comparer les deux s´eries de coefficients ˆfnet ˆgn. 2
