TD  — S´eries de Fourier, espaces de Hilbert, espaces L

Int´egration et probabilit´es

ENS Paris, 2013-2014

TD  — S´eries de Fourier, espaces de Hilbert, espaces L

^p

On rappelle les notations suivantes :

- Pourk∈Z, on notee_k:R→Cla fonione_k(t) = exp(iπkt) et note de la mˆeme fac¸on sa reric- tion `a [,].

- On noteF_n= Ve({e_k;−n≤k≤n}.

- Lorsquef ∈L^([,],B([,]), dx), on notec_n(f) =R

[,]f(t)e^−iπntdtpourn∈Z, et p_FN(f) = X

|k|≤N

c_k(f)e_k, Φ_N(f) =  N+

X

≤n≤N

p_Fn(f).

pourN ≥

1 – Petites questions

) Soient f , g deux fonions continues sur [,] `a valeurs complexes telles que c_n(f) = c_n(g) pour tout entiern∈Z. Rappeler pourquoif(x) =g(x) pour toutx∈[,].

) Prouver que

Φ_N(f) = XN

k=−N

− |k| N +

!

c_k(f)e_k.

2 – S´eries de Fourier

E

^{xercice 1.} (Th´eor`eme de F´ejer versionL^pet injeivit´e des coefficients de Fourier)Soient≤p <∞ etf ∈L^p([,],B([,]), dx).

. Soit≤r≤ ∞. Sig∈L^r(R) eth∈L^(R) prouver quekg∗hk_r≤ kgk_r· khk_.

Indication : on pourra utiliser l’in´egalit´e de H¨older avec la mesure `a densit´e|h(y)|dy.

. Prouver quekf −Φ_N(f)k_p→lorsqueN → ∞. Indication : on pourra essayer d’approximerf.

. En d´eduire que sif ∈ L^([,],B([,]), dx) et que c_n(f) =  pour n ∈ Z, alors f =  presque partout.

E

^{xercice 2.} (Noyau de Poisson) Pour≤r <ety∈Ron noteP_r(y) le noyau de Poisson d´efini par P_r(y) = −r^

−rcos(y) +r^.

Pour des queions, demande de pr´ecisions ou explications, n’h´esitez pas `a m’envoyer un mail `a igor.kortchemski@ens.fr , ou bien `a venir me voir au bureau V.



On pourra v´erifier que

X

n∈Z

r^|n|e^iny=P_r(y).

Soitf :R→Cune fonion mesurable, continue presque partout,-p´eriodique telle queR

[,]|f|dx <

∞.

. Montrer que pour tout≤r <etx∈R X

n∈Z

c_n(f)r^|n|e^iπnx= Z

[,]f(x−y)P_r(πy)dy.

. En d´eduire que pour presque toutx∈Ron a X

n∈Z

c_n(f)r^|n|e^iπnx −→

r→,r< f(x).

. – Si f :R →C eune fonion mesurable,-p´eriodique telle que R

[,]|f|dx <∞, e-il encore vrai que pour presque toutx∈Ron a

X

n∈Z

c_n(f)r^|n|e^iπnx −→

r→,r< f(x)?

Remarque culturelle. SiD={z ∈C;|z|<},∂D={z∈C;|z|=}, etf :∂D→R econtinue, alors la fonion

u(re^iθ) = 

π Z π

−π

P_r(θ−t)f(e^it)dt, ≤r <

el’unique fonion surDharmonique surDet coincidant avecf sur∂D={z∈C;|z|=}. Ceci illure l’importance du noyau de Poisson.

Pour voir que u e bien harmonique, on peut voir que c’ela partie r´eelle d’une fonion holo- morphe (voir exercicepour une d´efinition) par une autre repr´esentation int´egrale ´equivalente :

u(z) = 

π<

Z π

−π

e^it+z e^it−zf(e^it)

! .

3 – Espaces de Hilbert

E

^{xercice 3. SoitH}un espace de Hilbert etT :H→Hune application lin´eaire continue. On rappelle que kTk= sup{kT(x)k;kxk=}.

. Prouver quekTk= sup{|hT(x), yi|;kxk ≤,kyk ≤}.

. Prouver qu’il exie une unique application lin´eaire T^∗ :H →H telle ques les trois propri´et´es suivantes soient v´erifi´ees :

(a) hT(x), yi=hx, T^∗(y)ipour tousx, y∈H (b) kTk=kT^∗k

(c) (T^∗)^∗=T

L’application lin´eaire continueT^∗eappel´eeadjointdeT.

. – SiT =T^∗(on dit queT esym´etrique), prouver que kTk= sup{|hT(x), xi|;kxk=}.



E

^{xercice 4.} (Op´erateurs de Hilbert-Schmidt) On se place dans H = L^(R) (ce qui suit ree valable pourH =L^(R^d) mais on prendd = pour simplifier les notations). SoitK :R^→Rune application mesurable. Lorsque pour toutf ∈ L^(R) la quantit´e T(f)(x) = R

RK(x, y)f(y)dy ebien d´efinie, on dit queT :L^(R)→L^(R) eun op´erateur int´egral et queKeson noyau.

Si K ∈ L^(R^), on dit que T e un op´erateur de Hilbert-Schmidt. Dans la suite, on consid`ere un op´erateur de Hilbert-SchmidtT de noyauK.

. Sif ∈L^(R), montrer que pour presque toutx∈Rl’applicationy7→K(x, y)f(y) eint´egrable.

. Montrer que l’application lin´eaireT econtinue et quekTk ≤ kKk_L(R^).

. Prouver que l’adjointT^∗deT eun op´erateur int´egral de noyau (x, y)7→K(y, x).

Remarque culturelle. L’´etude des espaces de Hilbert a ´et´e initi´ee par des queions d’exience de solutions `a l’´equationf −T(f) =g avecgfix´e etT un op´erateur int´egral `a noyau.

4 – ` A chercher pour la prochaine fois

Pour pr´eparer le partiel `a venir, chercher des exercices des partiels des ann´ees pr´ec´edents (les ´enonc´es sur disponibles sur le site d’enseignement du DMA –http://www.math.ens.fr/enseignement– partie Archives p´edagogiques, puisAnnales d’examens).

 – Compl´ements (hors TD)

E

^{xercice 5.} (Th´eor`eme de Fatou)On note D={z ∈ C;|z| <}. On dit qu’une fonion F : D→C e holomorphe si pour toutz∈Dla limite

y→limz,y∈D

f(y)−f(z) y−z

exie. SoitF:D→Cune fonion holomorphe born´ee. Montrer que pour presque toutt∈[,] la limite

r→lim,r<F(re^iπt) exie.

On admettra (ceci sera prouv´e dans le cours d’analyse complexe) que F edeveloppable en s´erie enti`ere en tout point deDet que siF(z) =P∞

n=a_nzⁿ ele d´eveloppement en s´erie enti`ere deF autour de, alors cette s´erie convergence normalement lorsquez=re^iθ avec< r <fix´e.

Indication. On pourra s’int´eresser `a la foniont7→P

n≥a_nrⁿe^iπntet admettre que la r´eponse `a la derni`ere queion de l’exerciceeoui.

E

^{xercice 6.} (Riesz-Fr´echet-Kolmogorov : un crit`ere de compacit´e dansL^p.)On veut montrer le r´esultat suivant. Soit Ω un ouvert born´e de R et soit F un sous-ensemble born´e deL^p(Ω) (avec  ≤ p < ∞) v´erifiant :

(i) pour toutε >, il exieω⊂⊂Ωtel que sup_f∈F kfk

L^p(Ω\ω)≤ε,

(ii) pour toutε >et pour tout ω⊂⊂Ω, il exieδ ∈],di(ω,Ω^c)[ tel quekτ_hf −fk

L^p(ω) < εpour tous|h|< δetf ∈ F ;

alorsF erelativement compadansL^p(Ω) (c’e-`a-dire d’adh´erence compae dansL^p(Ω)). La nota- tionω⊂⊂Ωsignifie queωeun ouvert tel queωecompaet inclus dansΩ.



. Fixonsε >etω⊂⊂Ω. Soit (ρ_n)_n≥une approximation de l’unit´e telle que chaqueρ_nede classe C^∞ et de support inclus dans [−/n,/n]. Pourf ∈ F, on note ˜f la fonionf prolong´ee `a toutR par.

(a) Montrer en utilisant le th´eor`eme d’Ascoli que pour toutn≥, la familleF_n={( ˜f∗ρ_n)|ω:f ∈ F } erelativement compae dansL^p(ω).

(b) Montrer que pour toutnassez grand, sup

f∈F

kf˜∗ρ_n−fk_Lp(ω)≤ε.

(c) En d´eduire que l’ensembleF_|ω peut ˆetre recouvert par un nombre fini de boules deL^p(ω) de rayonε.

. Conclure.

Fin

