Compléments de mathématiques générales Année académique 2019-2020 Bloc 3, Bacheliers en Géométrologie
3. Espaces de Hilbert et espaces L 2
Exercice 1. Soit E un espace vectoriel surC et soit < ., . > un produit scalaire surE. On notek.k la norme associée. Six, y∈E, démontrer les relations suivantes :
(a) kx+yk2=kxk2+ 2<(< x, y >) +kyk2; (b) kx+yk2+kx−yk2= 2(kxk2+kyk2); (c) kx+yk2− kx−yk2= 4<(< x, y >);
(d) < x, y >=14(kx+yk2− kx−yk2) +4i(kx+iyk2− kx−iyk2).
Exercice 2. SoitE l'ensemble des polynômes complexes de degré plus petit ou égal à 2.
(a) Montrer qu'il s'agit d'un espace vectoriel surC.
(b) SiP, Q∈E, on dénit
< P, Q >:=P(0)Q(0) +P(1)Q(1) +P(i)Q(i).
Montrer que< ., . >est un produit scalaire surE. (c) Fixonsα, β, γ∈C. SiP, Q∈E, on dénit maintenant
<< P, Q >>:=P(α)Q(α) +P(β)Q(β) +P(γ)Q(γ).
Sous quelle(s) condition(s) surα,β etγl'application<< ., . >>est-elle un produit scalaire surE? Exercice 3. Soienta, b∈Ret soientf etg les fonctions d'une variable réelle dénies par
f(x) =ax+ 2 et g(x) =bx+ 4 (x∈R).
(a) Les fonctionsf et g appartiennent-elles à L2([0,1]) et L2([−1,1])? Si oui, calculer leurs normes respectives dans ces espaces.
(b) Sous quelles conditions suraet bles fonctionsf et gsont-elles orthogonales dans L2([0,1])? (c) Même question, mais dans L2([−1,1]).
(d) Sia, b∈R sont tels que les fonctionsf et g sont orthogonales dans L2([0,1]), en est-il de même dans L2([−1,1])? Si oui, démontrer-le. Sinon, donner un contre-exemple et indiquer pour quelle(s) valeur(s) deaetbles fonctionsf etgsont simultanément orthogonales dans L2([0,1])et L2([−1,1]).
F. Bastin et L. Demeulenaere 15 octobre 2019
