Espaces de Hilbert

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Universit´e de Nice Licence de math´ematiques

2004-05 Algèbre et géométrie

Espaces de Hilbert

13. D´efinitions et exemples

Dans tout ce chapitre, E sera un espace vectoriel sur le corps C des complexes muni d’une forme sesquilinéaire hermitienne définie positive de référence, appelée produit scalaire hermitien et notée h | i. La forme hermitienne associée est le carré de la norme hermitienne. On note la norme hermitiennek k.

Une propriété fondamentale est l’inégalité de Cauchy- Schwarz :

∀x, y∈E |hx|yi| ≤ kxk kyk

avec égalité si et seulement si x et y sont colinéaires.

Cette inégalité impliquel’inégalité triangulaire :

∀x, y∈E kx+yk ≤ kxk+kyk.

Un tel espaceEest dit préhilbertien complexe. La norme hermitienne définit une topologie d’espace vectoriel nor- mé surE. Attention ! lorsqueE n’est pas de dimension finie, deux normes ne définissent pas nécessairement la même topologie. Sauf mention du contraire, nous consi- dérerons toujours la topologie associée à la norme hermitienne.

Comme sur tout espace vectoriel normé, une application linéaire est continue (pour la toplogie définie par la norme) si et seulement si elle a une norme en tant qu’opérateur linéaire, autrement dit si elle est bornée sur la boule unité. En particulier, une forme linéaire f est continue s’il existe un réel positif λ tel que, pour tout x de E, |f(x)| ≤ λkxk. L’ensemble des forme linéaires continues surE est un sous-espace vectoriel de E^∗ noté E⁰ et appelé dual topologique deE.

Tous les énoncés restent valables,mutatis mutandis, dans un espace préhilbertien réel, c’est-à-dire un espace vectoriel surRmuni d’un produit scalaire euclidien.

Exercice 13.1. x et y ´etant deux vecteurs de E, on consid`ere l’application suivante :

f :C² −→ R

(λ, µ) 7−→ kλx+µyk².

a) Montrer que c’est une forme hermitienne positive sur C², définie positive si et seulement sixety ne sont pas colinéaires. Calculer sa forme polaire et sa matrice dans la base canonique deC². Calculer le déterminant de cette matrice.

b) Montrer que le déterminant de la matrice d’une forme hermitienne positive est un nombre réel positif, nul si et seulement si la forme n’est pas définie.

Déduire alors l’inégalité de Cauchy-Schwarz.

Définition 13.2. On se donne une famille(ei, i∈I)de vecteurs deE indexés par un ensemble I. On dit que la famille est orthonormale si ses vecteurs sont de norme 1 et orthogonaux deux à deux.

Constater qu’une famille orthonormale est libre.

On note Vect(ei, i∈I) le sous-espace vectoriel engendr´e.

C’est l’ensemble des combinaisons lin´eaires finies `a coefficients complexes de vecteurs de la famille.

D´efinition 13.3. On dit que la famille (ei, i ∈ I) est totale si l’espace vectoriel engendr´e Vect(ei, i ∈ I) est densedansE.

Supposons la famille (e_i, i∈ I) totale : pour tout xde E et tout >0, il existe une combinaison lin´eaire finie P

Jα_je_j telle que

kx−X

J

α_je_jk< .

Exemple 13.3.1. Consid´erons l’espace vectoriel`²(C) des suites de complexes de carr´e sommable, muni du produit scalaire hermitien

hx|yi:=X

n≥0

x_ny_n.

C’est un espace pr´ehilbertien complexe (pour la preuve, s’inspirer de 8.2).

Pour i entier, on définit eⁱ comme la suite dont tous les termes sont nuls, excepté le i-ème qui vaut 1. La famille (eⁱ, i∈N) est une famille orthonormale et totale.

Vérifier la première assertion ; pour vérifier la deuxième, on se donne une suiteude complexes de carré sommable et un réel. Il existe un entierN tel que

X

n>N

|un|²< ²,

ce qui signifie que ku−

N

X

i=0

uieⁱk< .

Exercice 13.4. Considérons l’espace vectoriel E des fonctions continues, de classeC¹par morceaux, périodi- ques de période 2πsurR, à valeurs complexes, muni du produit scalaire hermitien

hf |gi:= 1 2π

Z 2π

0

f(t)g(t)dt.

a) V´erifier que c’est un espace pr´ehilbertien complexe.

26

(2)

b) Pour nentier relatif, on consid`ere la fonction deE t7−→exp(int).

Montrer que la famille (exp(int), n∈Z) est une famille orthonormale deE.

b) Soitn∈Z. Pour une fonctionf ∈E, le coefficient de Fourier d’ordre nest le produit scalaire

cn(f) :=hexp(int)|fi:= 1 2π

Z 2π

0

exp(−int)f(t)dt.

Lethéorème de Dirichlet affirme que lasérie de Fourier d’une fonction deEconverge uniformémentvers la fonction, c’est-à-dire : pour tout >0 il existe un entierN tel que

sup

t∈R

f(t)−

N

X

n=−N

cn(f) exp(int) < .

En d´eduire que la famille (exp(int), n∈ Z) est une famille totale dansE.

d) Sif ∈E est à valeurs réelles, montrer quec_−n(f) = cn(f). Pour n ≥ 0, on définit donc les coefficients de Fourier réels an(f) et bn(f) par a0(f) =c0(f) et, pour n≥1,

a_n(f) = 2<(c_n(f)) = 1 π

Z 2π

0

cos(nt)f(t)dt, bn(f) = −2=(cn(f)) = 1

π Z 2π

0

sin(nt)f(t)dt, en sorte que

N

X

n=−N

c_n(f) exp(int) =

a0(f) +

N

X

n=1

(an(f) cos(nt) +bn(f) sin(nt)).

En déduire que l’espaceER des fonctions deE à valeurs réelles, est un espace préhilbertien réel et que la famille

(1,cos(nt),sin(nt), n≥1)

est orthogonale et totale dans ER (noter que cos(nt) et sin(nt) sont de norme 1/√

2).

e) Calculer les coefficients de Fourier de la fonctionf de E qui est paire et qui co¨ıncide avec t 7−→ (1−_π^t) sur [0, π].

14. Projection orthogonale

14.1. SoitF ⊂E un sous-espace vectoriel de E. L’orthogonal deF pour le produit scalaire hermitien est un sous-espace vectoriel de E et l’intersection F ∩F^⊥ est réduite à {0} (le vérifier). Cependant, lorsque E n’est pas de dimension finie, il n’est pas vrai, en général, que la sommeF+F^⊥ soit égale àE, autrement dit queF^⊥ soit un supplémentaire de F dansE.

Exemple 14.1.1. Dans `²(C), considérons le sous espace vectoriel F = Vect(eⁱ, i ∈ N) engendré par la famille orthonormale (eⁱ, i ∈ N). Soit u un élément de

`²(C) orthogonal `a F. Pour touti entier, on a donc 0 =heⁱ |ui=ui,

ce qui prouve queF^⊥={0}.

Constater que F est l’ensemble des suites dont tous les termes sont nuls sauf un nombre fini d’entre eux. On voit donc queF &E.

Il y a un cas où le supplémentaire orthogonal existe toujours. C’est celui où le sous-espace vectoriel F est une droite vectorielle deE engendré par un vecteur non nul a que l’on peut supposer de norme 1. L’orthogonal de F = Vect(a) est le noyau de la forme linéaire (continue !)

ha| : x7−→ ha|xi

C’est un hyperplan deE. Tout vecteurxdeE s’´ecrit x=ha|xia+ (x− ha|xia)

et on v´erifie que (x− ha|xia) est dans F^⊥. On a bien E=F⊕F^⊥.

Proposition 14.2. SoitE un espace pr´ehilbertien etF un sous-espace vectoriel de dimension finie de E. L’or- thogonalF^⊥ est un suppl´ementaire de F.

Si(e1, . . . , e`)est une base orthonorm´ee deF, la projection orthogonale de xsur F s’´ecrit

πF(x) =

`

X

j=1

hej|xiej.

La diff´erencex−π_F(x)est la projection orthogonale de xsurF^⊥.

Démonstration. On construit, par le procédé de Gram- Schmidt, une base orthonormée finie (e₁, . . . , e_`) de F. Pour tout vecteur x de E on a donc, en posant x⁰ = P`

j=1hej|xie_j,

x=x⁰+ (x−x⁰).

x⁰ est un vecteur de F; d’autre part, les produits sca- laireshej|x−x⁰isont tous nuls, ce qui prouve quex−x⁰ est dansF^⊥. La sommeF+F^⊥ est ´egale `aE.

Supposons que E = F ⊕F^⊥; on dit alors que F a un supplémentaire orthogonal. Tout vecteur x de E se décompose de manière unique en

x=πF(x) +π_F⊥(x).

πF et π_F^⊥ sont les deux projections orthogonales sur F etF^⊥. En calculant la norme dexon trouve

kxk²=kπ_F(x)k²+kπ_F⊥(x)k²,

qui est l’énoncé du théorème de Pythagore. On en déduit que, pour touty deF,

kx−πF(x)k ≤ kx−yk

(3)

puisquex−πF(x) etx−yont même projection orthogonale sur F^⊥. C’est unepropriété caractéristique impor- tante de la projection orthogonale :

Théorème 14.3 (Propriété caractéristique de la projection orthogonale). Soit E un espace préhilbertien et F un sous-espace vectoriel admettant un supplémentaire orthogonal dans E. Pour tout xde E la projection or- thogonaleπ_F(x)dexsurF est l’unique vecteur deF où la fonction

F −→ R+

y 7−→ kx−yk atteint son minimum.

14.4. Familles sommables.

Définition 14.5. On se donne un espace vectoriel nor- mé E et une famille(x_i, i∈I)d’éléments de E. On dit que la famille est sommable dansE de sommeΣsi pour tout >0, il existe un sous-ensemble finiJ₀⊂Itel que, pour tout ensemble finiJ ⊃J₀,

kΣ−X

i∈J

x_ik< .

Si la famille est sommable, on note sa somme P

i∈Ix_i. Noter que dans la définition defamille sommable, aucune notion d’ordre sur les éléments deI n’est requise.

Constater qu’unefamille de r´eels positifs (xi, i∈I) est sommable si et seulement si la famille des sommes par- tielles finies (P

i∈Jxi, J ⊂I) est major´ee. La somme est alors la borne sup´erieure de la famille des sommes finies.

Montrer qu’une famille de complexes (zn, n ∈ Z) est sommable si et seulement si les deux s´eries P

n≥0zn et P

n>0z_−nsont toutes les deux absolument convergentes.

14.6. Inégalité de Bessel. Considérons une famille orthonormale (e_i, i∈I) dansE. On se donne un vecteurx deE. SoitJ un sous-ensemble fini deIet Vect(e_i, i∈J) le sous-espace vectoriel de dimension finie engendré par la famille finie (ei, i∈J). Comme la projection dexsur Vect(ei, i∈J) est égale àP

i∈Jhei|xiei, du théorème de Pythagore on déduit l’inégalité

X

i∈J

|hei|xi|²≤ kxk².

La famille de réels positifs (|hei | xi|², i ∈ I) est donc sommable de somme majorée parkxk², ce qui s’écrit

X

i∈I

C’est l’in´egalit´e de Bessel.

Théorème 14.7. SoitE un espace préhilbertien et une famille orthonormale (ei, i∈I)de vecteurs deE.

Pour toutxdeE, la famille de complexes(hei|xi, i∈I) est de carré sommable et on a l’inégalité de Bessel

X

i∈I

14.8. Egalit´´ e de Parseval. Considérons maintenant le sous-espace vectoriel F, adhérence dans E de l’espace vectoriel engendré par la famille orthonormale (ei, i ∈ I). Par construction, la famille (ei, i∈I) est orthonormale et totale dansF.

Soit x un vecteur de F. Pour tout > 0, il existe un sous-ensemble fini J0 ⊂ I et une combinaison lin´eaire P

i∈J₀α_ie_i telle que kx−X

i∈J

α_ie_ik< .

Dit autrement, il existe un ´el´ement yJ₀=P

i∈J0αiei de Vect(ei, i∈J0), sous-espace vectoriel de dimension finie, tel que

kx−yJ₀k< .

D’après la propriété caractéristique de la projection or- thogonaleπJ₀ sur Vect(ei, i∈J0), on a également :

kx−π_J₀(x)k ≤ kx−y_J₀k< .

Toujours d’après la propriété caractéristique, mais cette fois de la projection πJ, on a, pour toute partie finie J ⊃J0:

kx−π_J(x)k ≤ kx−π_J₀(x)k.

Mais, puisque (ei, i ∈ J) est une base orthonorm´ee de Vect(ei, i∈J), on aπJ(x) =P

i∈Jhei|xiei. En r´esum´e, pour tout > 0, il existe un sous-ensemble fini J0 ⊂ I tel que, pour tout ensemble finiJ ⊃J0,

x−X

i∈J

hei|xiei

< .

Ceci exprime exactement le fait que la famille de vecteurs (hei|xiei, i∈I) estsommable dansF de sommex.

De plus, comme la famille (ei, i∈J) est une base orthonorm´ee de Vect(ei, i∈J), on a

kπJ(x)k²=X

i∈J

|hei |xi|².

Du théorème de Pythagore on déduit la formule kxk²− kπJ(x)k²=kx−πJ(x)k²< ².

La famille de complexes (hei | xi, i ∈ I) est de carr´e sommable et

X

i∈I

|hei|xi|²=kxk².

Réciproquement, considérons un vecteurx deE : on a l’inégalité de Bessel. Si c’est une égalité, pour tout >0, il existe un ensemble finiJ ⊂Itel que

kxk²−X

i∈J

|hei|xi|²< .

(4)

MaisP

i∈J|hei|xi|²est le carré de la norme de la projection orthogonaleπJ(x) dexsur Vect(ei, i∈J). D’après le théorème de Pythagore

kx−π_J(x)k²=kxk²− kπJ(x)k²< .

On conclut que xest dans F, adh´erence du sous-espace vecoriel engendr´e Vect(ei, i∈I).

Si maintenantxetysont deux vecteurs deF, le produit scalaire hx| yis’exprime à l’aide des normes de x+y, x−y,x+iy,x−iy. Par ailleurs, le module est une norme hermitienne surC, il vérifie donc des identités similaires.

On déduit donc, à partir de l’égalité de Parseval : X

i∈I

hei |xihei|xi=hx|yi.

On a donc montr´e

Théorème 14.9 (Bessel-Parseval). Soit E un espace préhilbertien et une famille orthonormale (ei, i∈I)de vecteurs deE. On désigne parF l’adhérence dansE de l’espace vectoriel engendré par la famille (ei, i∈I).

a) Pour tout x de F, la famille (hei | xiei, i ∈ I) de vecteurs deE est sommable dans F de sommex, ce qui signifie : pour tout >0, il existe un sous-ensemble fini J ⊂I tel que

x−X

i∈J

hei|xiei

< .

La famille de complexes (hei | xi, i ∈ I) est de carré sommable et on a l’égalité de Parseval

kxk²=X

i∈I

|hei |xi|².

b) Pour tous vecteursxetydeF, la famille de complexes (hei|xihei|yi, i∈I)est sommable et on a :

X

i∈I

hei|xihei|yi=hx|yi.

c) Pour toutxdeE, la famille de complexes(he_i|xi, i∈ I)est de carré sommable et on a l’inégalité de Bessel

X

i∈I

|hei|xi|²≤ kxk²,

avec ´egalit´e si et seulement sixest dansF.

Exemple 14.9.1. Une conséquence du théorème de Di- richlet, voir exercice 13.4, est que la famille (exp(int), n ∈ Z) est totale dans l’espace E des fonctions continues, de classeC¹ par morceaux, périodiques de période 2π, à valeurs complexes.

Soitn∈Z. Pour une telle fonctionf ∈E, le coefficient de Fourier d’ordrenest le produit scalaire

c_n(f) :=hexp(int)|fi:= 1 2π

Z 2π

0

exp(−int)f(t)dt.

Pour cet exemple, le th´eor`eme de Bessel-Parseval affirme que la famille (cn(f) exp(int), n∈Z) est sommable dans

E, de sommef. On dit que la série de Fourierconverge en moyenne quadratique versf. Comparer avec l’énoncé du théorème de Dirichlet.

La famille de complexes (c_n(f), n∈Z) est de carré sommable et l’égalité de Parseval se traduit par :

1 2π

Z 2π

0

f(t)

2dt=X

n∈Z

c_n(f)

2.

Exercice 14.10. Reprendre la fonction de l’exercice 13.4.(e). Déduire de l’égalité de Parseval la valeur de la somme de la série

X

n≥1

1 n⁴.

15. Espaces de Hilbert

Dans un espace préhilbertienE, on n’a pas, en général, de critère qui permette de dire qu’une suite ou une série est convergente dansE.

Exemple 15.0.1. Consid´erons `a nouveau l’espaceE :=

C¹_2π(R,C) avec son produit scalaire hermitien. Donnons- nous une famille (cn, n∈N) de complexes de carr´e sommable. On a la relation suivante

p+q

X

n=p

cne^int

2=

p+q

X

n=p

|cn|² qui montre que la s´erieP

n≥0cne^intest de Cauchy dans E pour la distance induite par la norme hermitienne.

Mais il existe, dans l’espaceE, des séries de Cauchy qui ne convergent pas vers un élément de E, autrement dit, En’est pas complet pour la distance induite par la norme hermitienne.

D´efinition 15.1. Un espace de Hilbert est un espace pr´ehilbertien complet.

On rappelle qu’un espace métriqueEestcompletlorsque toute suite de Cauchy d’éléments deE converge dansE.

Un sous-ensemble ferm´e d’un espace complet est complet. Un espace vectoriel norm´e de dimension finie est complet.

Exemple 15.1.1. L’espace`²(C) est complet. Considé- rons une suite de Cauchy (uⁿ, n ∈ N) d’éléments de

`²(C). Ceci signifie que, pour tout > 0, il existe un entierN tel que, pourp > N et q >0,

ku^p−u^p+qk< . Commeku^p−u^p+qk²=P

i∈N|u^p_i−u^p+q_i |², on en d´eduit que, pour tout entieri,

|u^p_i −u^p+q_i |< .

En résumé, pour tout entier i, la suite de complexes (uⁿ_i, n ∈ N) est de Cauchy donc converge vers une limite ui ∈ C. Considérons alors la suite de complexes u:= (ui, i∈N).

(5)

Comme la suite (uⁿ, n ∈ N) est une suite de Cauchy de`²(C), pour tout >0, il existe un entierN tel que, pour p > N,q >0 et tout entierm

m

X

n=0

|u^p_n−u^p+q_n |²≤ ku^p−u^p+qk²< ².

En passant `a la limite quand q → ∞, on obtient, pour p > N et tout entierm

m

X

n=0

|u^p_n−u_n|²≤²,

ce qui prouve que u^p−u est de carr´e sommable, donc dans`²(C), queu=u^p−(u^p−u) est aussi dans `²(C), enfin queku^p−uk ≤pourp > N. On a donc finalement que (uⁿ, n∈N) converge dans`²(C).

Un sous-ensemble F d’un espace vectoriel réel ou com- plexeEest ditconvexe si pour tousxety deF et tout nombre réel t, 0≤t≤1, le vecteur (1−t)x+tyappar- tient àF. Un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel réel ou complexe est convexe.

Théorème 15.2. SoitEun espace préhilbertien etFun sous-ensemble non vide convexe et complet de E. Soitx un vecteur de E. Il existe un unique élément x⁰ deF tel que,

∀y∈F kx−x⁰k ≤ kx−yk.

On appellerax⁰ la projection orthogonale dexsur F. Cette projection orthogonale est également caractérisée par la propriété suivante :

∀y∈F <(hx−x⁰|y−x⁰i)<0.

Démonstration. xétant donné dansE, la fonctiony7−→

kx−yk, définie surF, à valeurs dansR+est minorée par 0. Soitd≥0 sa borne inférieure. L’assertion du théorème

´

equivaut `a :dest atteinte en un unique point deF.

Soient aetb deux vecteurs deF etc leur demi-somme.

En notant que a = c+ ¹₂(a−b) et b = c−¹₂(a−b), montrer l’identit´e du parall´elogramme :

kx−ak²+kx−bk²= 2kx−ck²+1

2ka−bk². CommeF est convexe, le vecteurc=¹₂(a+b) est aussi dansF. On a donckx−ck ≥det l’in´egalit´e

(∗) ka−bk²≤2kx−ak²+ 2kx−bk²−4d². Unicité : supposons queaetbsont deux points deF tels quekx−ak=kx−bk =d. De l’inégalité (*) on déduit a=b.

Existence : Commedest la borne inf´erieure de la fonction y 7−→ kx−yk, pour tout n entier positif, il existe un

´

el´ementy_n∈F tel que

d≤ kx−y_nk< d+1 n.

Pourp >0 etq >0 entiers, on a donc, toujours d’après l’inégalité (*) :

kyp−yp+qk²

≤2kx−ypk²+ 2kx−yp+qk²−4d²

≤2(d+1

p)²+ 2(d+ 1

p+q)²−4d²

= 4d(1 p+ 1

p+q) + 2( 1

p² + 1 (p+q)²)

≤2d p + 4

p² ≤1

p(2d+ 4).

La suite (yn, n ≥ 1) est donc une suite de Cauchy de F. Elle converge donc vers un pointx⁰ deF. Comme la fonctiony7−→ kx−ykest continue, on a kx−x⁰k=d.

Montrons la seconde partie du théorème. CommeF est convexe, six⁰ etysont deux éléments deF, (1−t)x⁰+ty est aussi dans F pour tout réel t, 0 < t≤1. Calculons le signe de la différence

kx−((1−t)x⁰+ty)k²− kx−x⁰k²

=kx−x⁰−t(y−x⁰))k²− kx−x⁰k². En d´eveloppant et en divisant part, c’est celui de

−2<(hx−x⁰|y−x⁰i) +tky−x⁰k².

Le vecteur x⁰ est la projection orthogonale si et seulement si cette fonction affine est positive ou nulle pour touttde l’intervalle [0,1], c’est-`a-dire si et seulement si

<(hx−x⁰|y−x⁰i)≤0.

Théorème 15.3. SoitE un espace préhilbertien. Tout sous-espace vectoriel complet deE a un supplémentaire orthogonal dansE.

Démonstration. Soit F un sous-espace vectoriel fermé deE. Il est donc à la fois convexe et complet. Soitx∈ E. Le théorème précédent montre qu’il a une projection orthogonale surFque nous notonsx⁰. De plus, pour tout vecteury deF,y+x⁰ est aussi dansF et on a :

<(hx−x⁰|yi)≤0.

CommeF est un sous-espace vectoriel deE, il est stable par multiplication par−1. On en déduit que<(hx−x⁰| yi) = 0, pour tout y deF. Il est aussi stable par multiplication pari : on en déduit que hx−x⁰ |yi= 0, pour touty deF, ce qui caractérisex⁰.

On vient de prouver que tout vecteurxdeE s’´ecrit x=x⁰+ (x−x⁰)

avec x⁰ ∈ F et (x−x⁰) ∈ F^⊥ ce qui montre que E = F⊕F^⊥ puisqu’on a toujoursF∩F^⊥={0}.

(6)

Corollaire 15.4. Soit E un espace de Hilbert. Tout sous-espace vectoriel ferm´e de E a un suppl´ementaire orthogonal dansE.

Corollaire 15.5. SoitEun espace de Hilbert. La famille de vecteurs(e_i, i∈I)est totale si et seulement si le seul vecteur deE orthogonal `a tous les vecteurs de la famille est le vecteur nul.

Démonstration. Désignons parF l’adhérence dansE de l’espace vectoriel engendré par la famille (ei, i∈I). Il a un supplémentaire orthogonalF^⊥. La famille est totale si et seulement siF =E, c’est-à-dire si et seulement si

F^⊥={0}.

On appellebase hilbertienneune famille orthonormale et totale dans un espace de Hilbert.

Exemple 15.5.1. L’espace L²_2π(R,C) des classes de fonctions 2π-périodiques, de carré intégrable pour la me- sure de Lebesgue sur un intervalle de longueur 2π, est un espace de Hilbert. Une conséquence du théorème de Stone-Weierstrass est que la famille des (exp(int), n ∈ Z) en est une base hilbertienne.

Exercice 15.6. Calculer les coefficients de Fourier de la fonction f de E qui est impaire et qui est constante

´

egale `a 1 sur ]0, π[.

Déduire de l’égalité de Parseval la valeur de la somme de la sérieP

n≥1 1 n².

Corollaire 15.7. Soit E un espace de Hilbert. Toute famille orthonormale de E peut être complétée en une famille orthonormale et totale dans E. Tout espace de Hilbert a donc au moins une base hilbertienne.

Démonstration. La preuve de ce corollaire repose sur le lemme de Zorn. On dit qu’une famille orthonormale est maximale si la seule famille orthonormale qui la contient est elle-même. Une famille orthonormale maximale dans un espace de Hilbert est totale : en effet, désignons parF l’adhérence dansEde l’espace vectoriel qu’elle engendre.

Si F $E, le supplémentaire orthogonal de F dansE a au moins un vecteur de norme 1 que l’on peut ajouter à la famille pour contredire sa maximalité.

Il reste `a prouver l’existence de telles familles maximales : c’est justement ce que fait le lemme de Zorn.

Attention ! une base hilbertienne n’est pas une base ! L’exemple suivant le montre.

Exemple 15.7.1. Dans`²(C), la famille (eⁱ, i∈I) est orthonormale et totale. C’est une base hilbertienne de

`²(C).

Consid´erons maintenant la suite (eⁱ, i∈N) dans`²(C).

Pour toutj∈N, la suite de complexes (he^j |eⁱi, i∈N) converge vers 0. Autrement dit, les “coordonn´ees” de eⁱ sur la base hilbertienne tendent toutes vers 0 quand i→ ∞. Cependant, pour tout i∈N,keik= 1. Donc la suite (eⁱ, i∈N) ne tend pas vers 0 dans`²(C).

Exercice15.8. Dans un espace de HilbertE, on consi- d`ere un vecteur xet une suite de vecteurs (xn, n∈N) tels que

(1) kxnk → kxkquandn→ ∞.

(2) ∀a∈E ha|xni → ha|xiquand n→ ∞.

a) Calculerkxn−xk et en d´eduire que xn →xdansE quandn→ ∞.

b) On consid`ere une base hilbertienne (ei, i ∈I) de E.

Montrer que les hypothèses (1) et (2) équivalent à (1) kxnk → kxkquandn→ ∞.

(2⁰) ∀i∈I hei|xni → hei|xiquandn→ ∞.

Corollaire 15.9. SoitE un espace de Hilbert etE⁰ son dual topologique. L’application

Φ :E −→ E⁰ x 7−→ hx|

qui a un vecteur x associe la forme lin´eaire “ produit scalaire parx”est une application anti-lin´eaire bijective.

Démonstration. L’application Φ est anti-linéaire et in- jective (9.2). Reste à montrer qu’elle est surjective. Pour cela, considérons une forme linéaire continue non nulle f ∈E⁰ et son noyauF = kerf. Commef est continue, c’est un sous-espace fermé deE. Il a donc un supplémen- taire orthogonal F^⊥. L’applicationf, de rang 1, induit un isomorphisme deF^⊥ sur C, donc F^⊥ est une droite vectorielle.

Choisissons un vecteurxde norme 1 dansF^⊥. On a alors f =f(x)hx|. En effet, tout vecteurydeEse d´ecompose eny⁰+λxavecy⁰ dansF, et

f(y) =f(y⁰+λx) =λf(x) tandis que

hx|yi=λkxk²=λ.

Exercice15.10. SoitI un ensemble.

a) Montrer que l’espace `²(I,C) des familles de complexes indexées parI(autrement dit des applications de I dans C) qui sont de carré sommable peut être muni d’une structure d’espace de Hilbert complexe.

b) SoitE un espace de Hilbert et unefamille orthonormale et totale(e_i, i∈I) de vecteurs deE. Montrer que l’application

Φ :E −→ `²(I,C) x 7−→ (hei|xi, i∈I)

est une application lin´eaire bijective qui conserve le produit scalaire.