Espaces de Hilbert

Espaces de Hilbert

Karim Boulabiar

Dauphinej^Tunis

Mars 2020

I/ Espaces Préhilbertiens

Dans tout ce qui suit, E désigne un

-espace vectoriel, avec

=

ou

.

De…nition

On appelle

sur E toute application de E E dans

qui à tout couple ( f

g ) 2 ^E

fait correspondre un scalaire h ^f

^g i et telle que les propriétés suivantes soient véri…ées.

I h^g,fi=h^f,gi 8(f,g)2^{E2 .}

I h^αf +g,hi=αh^f,hi+h^g,hi (8^f,g,h2^E,α2^K).

I h^f,fi>0 (8^f 2^En f⁰g).

I/ Espaces Préhilbertiens

Dans tout ce qui suit, E désigne un

-espace vectoriel, avec

=

ou

.

De…nition

On appelle

sur E toute application de E E dans

qui à tout couple ( f

g ) 2 ^E

fait correspondre un scalaire h ^f

^g i et telle que les propriétés suivantes soient véri…ées.

I h^g,fi=h^f,gi 8(f,g)2^{E2 .}

I h^αf +g,hi=αh^f,hi+h^g,hi (8^f,g,h2^E,α2^K).

I h^f,fi>0 (8^f 2^En f⁰g).

I/ Espaces Préhilbertiens

Dans tout ce qui suit, E désigne un

-espace vectoriel, avec

=

ou

.

De…nition

On appelle

sur E toute application de E E dans

qui à tout couple ( f

g ) 2 ^E

fait correspondre un scalaire h ^f

^g i et telle que les propriétés suivantes soient véri…ées.

I h^g,fi=h^f,gi 8(f,g)2^{E2 .}

I h^αf +g,hi=αh^f,hi+h^g,hi (8^f,g,h2^E,α2^K).

I h^f,fi>0 (8^f 2^En f⁰g).

I/ Espaces Préhilbertiens

Dans tout ce qui suit, E désigne un

-espace vectoriel, avec

=

ou

.

De…nition

On appelle

sur E toute application de E E dans

qui à tout couple ( f

g ) 2 ^E

fait correspondre un scalaire h ^f

^g i et telle que les propriétés suivantes soient véri…ées.

I h^g,fi=h^f,gi 8(f,g)2^{E2 .}

I h^αf +g,hi=αh^f,hi+h^g,hi (8^f,g,h2^E,α2^K).

I h^f,fi>0 (8^f 2^En f⁰g).

I/ Espaces Préhilbertiens

Dans tout ce qui suit, E désigne un

-espace vectoriel, avec

=

ou

.

De…nition

On appelle

sur E toute application de E E dans

qui à tout couple ( f

g ) 2 ^E

fait correspondre un scalaire h ^f

^g i et telle que les propriétés suivantes soient véri…ées.

I h^g,fi=h^f,gi 8(f,g)2^{E2 .}

I h^αf +g,hi=αh^f,hi+h^g,hi (8^f,g,h2^E,α2^K).

I h^f,fi>0 (8^f 2^En f⁰g).

Dans la suite, on suppose E muni d’un produit scalaire.

Lemma

Les assertions suivantes sont véri…ées pour tout ( f

g ) 2 ^E

^.

I SiK=_Ralorsh^f,gi=h^g,fi^.

I h^f,αg+hi=αh^f,gi+h^f,hi^{pour tout} (α,h)2K E .

I h^0,fi=h^f,0i=0.

I h^f,fi=0si, et seulement si, f =0.

Proof.

Simple.

Dans la suite, on suppose E muni d’un produit scalaire.

Lemma

Les assertions suivantes sont véri…ées pour tout ( f

g ) 2 ^E

^.

I SiK=_Ralorsh^f,gi=h^g,fi^.

I h^f,αg+hi=αh^f,gi+h^f,hi^{pour tout} (α,h)2K E .

I h^0,fi=h^f,0i=0.

I h^f,fi=0si, et seulement si, f =0.

Proof.

Simple.

Dans la suite, on suppose E muni d’un produit scalaire.

Lemma

Les assertions suivantes sont véri…ées pour tout ( f

g ) 2 ^E

^.

I SiK=_Ralorsh^f,gi=h^g,fi^.

I h^f,αg+hi=αh^f,gi+h^f,hi^{pour tout} (α,h)2K E .

I h^0,fi=h^f,0i=0.

I h^f,fi=0si, et seulement si, f =0.

Proof.

Simple.

Dans la suite, on suppose E muni d’un produit scalaire.

Lemma

Les assertions suivantes sont véri…ées pour tout ( f

g ) 2 ^E

^.

I SiK=_Ralorsh^f,gi=h^g,fi^.

I h^f,αg+hi=αh^f,gi+h^f,hi^{pour tout} (α,h)2K E .

I h^0,fi=h^f,0i=0.

I h^f,fi=0si, et seulement si, f =0.

Proof.

Simple.

Dans la suite, on suppose E muni d’un produit scalaire.

Lemma

Les assertions suivantes sont véri…ées pour tout ( f

g ) 2 ^E

^.

I SiK=_Ralorsh^f,gi=h^g,fi^.

I h^f,αg+hi=αh^f,gi+h^f,hi^{pour tout} (α,h)2K E .

I h^0,fi=h^f,0i=0.

I h^f,fi=0si, et seulement si, f =0.

Proof.

Simple.

Dans la suite, on suppose E muni d’un produit scalaire.

Lemma

Les assertions suivantes sont véri…ées pour tout ( f

g ) 2 ^E

^.

I SiK=_Ralorsh^f,gi=h^g,fi^.

I h^f,αg+hi=αh^f,gi+h^f,hi^{pour tout} (α,h)2K E .

I h^0,fi=h^f,0i=0.

I h^f,fi=0si, et seulement si, f =0.

Proof.

Simple.

Dans la suite, on suppose E muni d’un produit scalaire.

Lemma

Les assertions suivantes sont véri…ées pour tout ( f

g ) 2 ^E

^.

I SiK=_Ralorsh^f,gi=h^g,fi^.

I h^f,αg+hi=αh^f,gi+h^f,hi^{pour tout} (α,h)2K E .

I h^0,fi=h^f,0i=0.

I h^f,fi=0si, et seulement si, f =0.

Proof.

Simple.

Un résultat fondamental pour la théorie.

Theorem (de Cauchy-Schwarz)

Soient f

g 2 E . Les assertions suivantes sont véri…ées.

I Si(f,g)est libre alorsjh^f,gij<^ph^f,fi^ph^g,gi^.

I Si(f,g)est liée alorsjh^f,gij=^ph^f,fi^ph^g,gi^.

Proof.

Le cas “lié” est direct. On suppose alors que(f,g) est libre. Soitα2K. Commef αg 6=0, on peut écrire

0<h^{f αg,f αg}i=h^f,fi ^αh^f,gi ^αh^g,fi+j^αj²h^g,gi^.

Comme g 6=0, on peut poserα= h^f,gi h^g,gi^.Donc,

0<h^f,fi jh^f,gij² h^g,gi

jh^f,gij²

h^g,gi +jh^f,gij² h^g,gi ^.

D’où le résultat.

Un résultat fondamental pour la théorie.

Theorem (de Cauchy-Schwarz)

Soient f

g 2 E . Les assertions suivantes sont véri…ées.

I Si(f,g)est libre alorsjh^f,gij<^ph^f,fi^ph^g,gi^.

I Si(f,g)est liée alorsjh^f,gij=^ph^f,fi^ph^g,gi^.

Proof.

Le cas “lié” est direct. On suppose alors que(f,g) est libre. Soitα2K. Commef αg 6=0, on peut écrire

0<h^{f αg,f αg}i=h^f,fi ^αh^f,gi ^αh^g,fi+j^αj²h^g,gi^.

Comme g 6=0, on peut poserα= h^f,gi h^g,gi^.Donc,

0<h^f,fi jh^f,gij² h^g,gi

jh^f,gij²

h^g,gi +jh^f,gij² h^g,gi ^.

D’où le résultat.

Un résultat fondamental pour la théorie.

Theorem (de Cauchy-Schwarz)

Soient f

g 2 E . Les assertions suivantes sont véri…ées.

I Si(f,g)est libre alorsjh^f,gij<^ph^f,fi^ph^g,gi^.

I Si(f,g)est liée alorsjh^f,gij=^ph^f,fi^ph^g,gi^.

Proof.

Le cas “lié” est direct. On suppose alors que(f,g) est libre. Soitα2K. Commef αg 6=0, on peut écrire

0<h^{f αg,f αg}i=h^f,fi ^αh^f,gi ^αh^g,fi+j^αj²h^g,gi^.

Comme g 6=0, on peut poserα= h^f,gi h^g,gi^.Donc,

0<h^f,fi jh^f,gij² h^g,gi

jh^f,gij²

h^g,gi +jh^f,gij² h^g,gi ^.

D’où le résultat.

Un résultat fondamental pour la théorie.

Theorem (de Cauchy-Schwarz)

Soient f

g 2 E . Les assertions suivantes sont véri…ées.

I Si(f,g)est libre alorsjh^f,gij<^ph^f,fi^ph^g,gi^.

I Si(f,g)est liée alorsjh^f,gij=^ph^f,fi^ph^g,gi^.

Proof.

Le cas “lié” est direct. On suppose alors que(f,g) est libre. Soitα2K. Commef αg 6=0, on peut écrire

0<h^{f αg,f αg}i=h^f,fi ^αh^f,gi ^αh^g,fi+j^αj²h^g,gi^.

Comme g 6=0, on peut poserα= h^f,gi h^g,gi^.Donc,

0<h^f,fi jh^f,gij² h^g,gi

jh^f,gij²

h^g,gi +jh^f,gij² h^g,gi ^.

D’où le résultat.

Un résultat fondamental pour la théorie.

Theorem (de Cauchy-Schwarz)

Soient f

g 2 E . Les assertions suivantes sont véri…ées.

I Si(f,g)est libre alorsjh^f,gij<^ph^f,fi^ph^g,gi^.

I Si(f,g)est liée alorsjh^f,gij=^ph^f,fi^ph^g,gi^.

Proof.

Le cas “lié” est direct. On suppose alors que(f,g)est libre. Soitα2K. Commef αg 6=0, on peut écrire

0<h^{f αg,f αg}i=h^f,fi ^αh^f,gi ^αh^g,fi+j^αj²h^g,gi^.

Commeg 6=0, on peut poserα= h^f,gi h^g,gi^.Donc,

0<h^f,fi jh^f,gij² h^g,gi

jh^f,gij²

h^g,gi +jh^f,gij² h^g,gi ^.

D’où le résultat.

Un résultat fondamental pour la théorie.

Theorem (de Cauchy-Schwarz)

Soient f

g 2 E . Les assertions suivantes sont véri…ées.

I Si(f,g)est libre alorsjh^f,gij<^ph^f,fi^ph^g,gi^.

I Si(f,g)est liée alorsjh^f,gij=^ph^f,fi^ph^g,gi^.

Proof.

Le cas “lié” est direct. On suppose alors que(f,g)est libre.

Soitα2K. Commef αg 6=0, on peut écrire

0<h^{f αg,f αg}i=h^f,fi ^αh^f,gi ^αh^g,fi+j^αj²h^g,gi^.

Commeg 6=0, on peut poserα= h^f,gi h^g,gi^.Donc,

0<h^f,fi jh^f,gij² h^g,gi

jh^f,gij²

h^g,gi +jh^f,gij² h^g,gi ^.

D’où le résultat.

Un résultat fondamental pour la théorie.

Theorem (de Cauchy-Schwarz)

Soient f

g 2 E . Les assertions suivantes sont véri…ées.

I Si(f,g)est libre alorsjh^f,gij<^ph^f,fi^ph^g,gi^.

I Si(f,g)est liée alorsjh^f,gij=^ph^f,fi^ph^g,gi^.

Proof.

Le cas “lié” est direct. On suppose alors que(f,g)est libre.

Soitα2K. Commef αg 6=0, on peut écrire

0<h^{f αg,f αg}i=h^f,fi ^αh^f,gi ^αh^g,fi+j^αj²h^g,gi^. Commeg 6=0, on peut poserα= h^f,gi

h^g,gi^.Donc,

0<h^f,fi jh^f,gij² h^g,gi

jh^f,gij²

h^g,gi +jh^f,gij² h^g,gi ^.

D’où le résultat.

Un résultat fondamental pour la théorie.

Theorem (de Cauchy-Schwarz)

Soient f

g 2 E . Les assertions suivantes sont véri…ées.

I Si(f,g)est libre alorsjh^f,gij<^ph^f,fi^ph^g,gi^.

I Si(f,g)est liée alorsjh^f,gij=^ph^f,fi^ph^g,gi^.

Proof.

Le cas “lié” est direct. On suppose alors que(f,g)est libre.

Soitα2K. Commef αg 6=0, on peut écrire

0<h^{f αg,f αg}i=h^f,fi ^αh^f,gi ^αh^g,fi+j^αj²h^g,gi^.

Commeg 6=0, on peut poserα= h^f,gi h^g,gi^.Donc,

0<h^f,fi jh^f,gij² h^g,gi

jh^f,gij²

h^g,gi +jh^f,gij² h^g,gi ^.

D’où le résultat.

Un résultat fondamental pour la théorie.

Theorem (de Cauchy-Schwarz)

Soient f

g 2 E . Les assertions suivantes sont véri…ées.

I Si(f,g)est libre alorsjh^f,gij<^ph^f,fi^ph^g,gi^.

I Si(f,g)est liée alorsjh^f,gij=^ph^f,fi^ph^g,gi^.

Proof.

Le cas “lié” est direct. On suppose alors que(f,g)est libre.

Soitα2K. Commef αg 6=0, on peut écrire

0<h^{f αg,f αg}i=h^f,fi ^αh^f,gi ^αh^g,fi+j^αj²h^g,gi^. h^f,gi

0<h^f,fi jh^f,gij² h^g,gi

jh^f,gij²

h^g,gi +jh^f,gij² h^g,gi ^. D’où le résultat.

Un résultat fondamental pour la théorie.

Theorem (de Cauchy-Schwarz)

Soient f

g 2 E . Les assertions suivantes sont véri…ées.

I Si(f,g)est libre alorsjh^f,gij<^ph^f,fi^ph^g,gi^.

I Si(f,g)est liée alorsjh^f,gij=^ph^f,fi^ph^g,gi^.

Proof.

Le cas “lié” est direct. On suppose alors que(f,g)est libre.

Soitα2K. Commef αg 6=0, on peut écrire

0<h^{f αg,f αg}i=h^f,fi ^αh^f,gi ^αh^g,fi+j^αj²h^g,gi^. Commeg 6=0, on peut poserα= h^f,gi

h^g,gi^.Donc,

D’où le résultat.

Un résultat fondamental pour la théorie.

Theorem (de Cauchy-Schwarz)

Soient f

g 2 E . Les assertions suivantes sont véri…ées.

I Si(f,g)est libre alorsjh^f,gij<^ph^f,fi^ph^g,gi^.

I Si(f,g)est liée alorsjh^f,gij=^ph^f,fi^ph^g,gi^.

Proof.

Le cas “lié” est direct. On suppose alors que(f,g)est libre.

Soitα2K. Commef αg 6=0, on peut écrire

0<h^{f αg,f αg}i=h^f,fi ^αh^f,gi ^αh^g,fi+j^αj²h^g,gi^. h^f,gi

On note k ^f k

=

h ^f

^f i ^{pour tout f} 2 ^E

Lemma

Soient f

g 2 E . Les assertions suivantes sont véri…ées.

I 2 Reh^f,gi=k^f +gk² k^fk² k^gk^2.

I 4 Reh^f,gi=k^f +gk² k^{f g}k^2.

Proof.

On a

k^f +gk² = h^f +g,f +gi=h^f,fi+h^f,gi+h^g,fi+h^g,gi

= k^fk²+k^gk²+h^f,gi+h^f,gi

= k^fk²+k^gk²+2 Reh^f,gi^.

Ceci donne la première égalité. Pour la deuxième, appliquer la première avec f et g et faire la di¤érence des deux égalités trouvées.

On note k ^f k

=

h ^f

^f i ^{pour tout f} 2 ^E

Lemma

Soient f

g 2 E . Les assertions suivantes sont véri…ées.

I 2 Reh^f,gi=k^f +gk² k^fk² k^gk^2.

I 4 Reh^f,gi=k^f +gk² k^{f g}k^2.

Proof.

On a

k^f +gk² = h^f +g,f +gi=h^f,fi+h^f,gi+h^g,fi+h^g,gi

= k^fk²+k^gk²+h^f,gi+h^f,gi

= k^fk²+k^gk²+2 Reh^f,gi^.

Ceci donne la première égalité. Pour la deuxième, appliquer la première avec f et g et faire la di¤érence des deux égalités trouvées.

On note k ^f k

=

h ^f

^f i ^{pour tout f} 2 ^E

Lemma

Soient f

g 2 E . Les assertions suivantes sont véri…ées.

I 2 Reh^f,gi=k^f +gk² k^fk² k^gk^2.

I 4 Reh^f,gi=k^f +gk² k^{f g}k^2.

Proof.

On a

k^f +gk² = h^f +g,f +gi=h^f,fi+h^f,gi+h^g,fi+h^g,gi

= k^fk²+k^gk²+h^f,gi+h^f,gi

= k^fk²+k^gk²+2 Reh^f,gi^.

Ceci donne la première égalité. Pour la deuxième, appliquer la première avec f et g et faire la di¤érence des deux égalités trouvées.

On note k ^f k

=

h ^f

^f i ^{pour tout f} 2 ^E

Lemma

Soient f

g 2 E . Les assertions suivantes sont véri…ées.

I 2 Reh^f,gi=k^f +gk² k^fk² k^gk^2.

I 4 Reh^f,gi=k^f +gk² k^{f g}k^2.

Proof.

On a

k^f +gk² = h^f +g,f +gi=h^f,fi+h^f,gi+h^g,fi+h^g,gi

= k^fk²+k^gk²+h^f,gi+h^f,gi

= k^fk²+k^gk²+2 Reh^f,gi^.

Ceci donne la première égalité. Pour la deuxième, appliquer la première avec f et g et faire la di¤érence des deux égalités trouvées.

On note k ^f k

=

h ^f

^f i ^{pour tout f} 2 ^E

Lemma

Soient f

g 2 E . Les assertions suivantes sont véri…ées.

I 2 Reh^f,gi=k^f +gk² k^fk² k^gk^2.

I 4 Reh^f,gi=k^f +gk² k^{f g}k^2.

Proof.

On a

k^f +gk² = h^f +g,f +gi=h^f,fi+h^f,gi+h^g,fi+h^g,gi

= k^fk²+k^gk²+h^f,gi+h^f,gi

= k^fk²+k^gk²+2 Reh^f,gi^.

Ceci donne la première égalité. Pour la deuxième, appliquer la première avec f et g et faire la di¤érence des deux égalités trouvées.

On note k ^f k

=

h ^f

^f i ^{pour tout f} 2 ^E

Lemma

Soient f

g 2 E . Les assertions suivantes sont véri…ées.

I 2 Reh^f,gi=k^f +gk² k^fk² k^gk^2.

I 4 Reh^f,gi=k^f +gk² k^{f g}k^2.

Proof.

On a

k^f +gk² = h^f +g,f +gi=h^f,fi+h^f,gi+h^g,fi+h^g,gi

= k^fk²+k^gk²+h^f,gi+h^f,gi

= k^fk²+k^gk²+2 Reh^f,gi^.

Ceci donne la première égalité. Pour la deuxième, appliquer la première avec f et g et faire la di¤érence des deux égalités trouvées.

On note k ^f k

=

h ^f

^f i ^{pour tout f} 2 ^E

Lemma

Soient f

g 2 E . Les assertions suivantes sont véri…ées.

I 2 Reh^f,gi=k^f +gk² k^fk² k^gk^2.

I 4 Reh^f,gi=k^f +gk² k^{f g}k^2.

Proof.

On a

k^f +gk² = h^f +g,f +gi=h^f,fi+h^f,gi+h^g,fi+h^g,gi

= k^fk²+k^gk²+h^f,gi+h^f,gi

= k^fk²+k^gk²+2 Reh^f,gi^.

Ceci donne la première égalité. Pour la deuxième, appliquer la première avec f et g et faire la di¤érence des deux égalités trouvées.

On note k ^f k

=

h ^f

^f i ^{pour tout f} 2 ^E

Lemma

Soient f

g 2 E . Les assertions suivantes sont véri…ées.

I 2 Reh^f,gi=k^f +gk² k^fk² k^gk^2.

I 4 Reh^f,gi=k^f +gk² k^{f g}k^2.

Proof.

On a

k^f +gk² = h^f +g,f +gi=h^f,fi+h^f,gi+h^g,fi+h^g,gi

= k^fk²+k^gk²+h^f,gi+h^f,gi

= k^fk²+k^gk²+2 Reh^f,gi^.

Ceci donne la première égalité. Pour la deuxième, appliquer la première avec f et g et faire la di¤érence des deux égalités trouvées.

On note k ^f k

=

h ^f

^f i ^{pour tout f} 2 ^E

Lemma

Soient f

g 2 E . Les assertions suivantes sont véri…ées.

I 2 Reh^f,gi=k^f +gk² k^fk² k^gk^2.

I 4 Reh^f,gi=k^f +gk² k^{f g}k^2.

Proof.

On a

k^f +gk² = h^f +g,f +gi=h^f,fi+h^f,gi+h^g,fi+h^g,gi

= k^fk²+k^gk²+h^f,gi+h^f,gi

= k^fk²+k^gk²+2 Reh^f,gi^.

Ceci donne la première égalité. Pour la deuxième, appliquer la première avec f et g et faire la di¤érence des deux égalités trouvées.

On note k ^f k

=

h ^f

^f i ^{pour tout f} 2 ^E

Lemma

Soient f

g 2 E . Les assertions suivantes sont véri…ées.

I 2 Reh^f,gi=k^f +gk² k^fk² k^gk^2.

I 4 Reh^f,gi=k^f +gk² k^{f g}k^2.

Proof.

On a

k^f +gk² = h^f +g,f +gi=h^f,fi+h^f,gi+h^g,fi+h^g,gi

= k^fk²+k^gk²+h^f,gi+h^f,gi

= k^fk²+k^gk²+2 Reh^f,gi^.

Une conséquence importante.

Corollary

L’application de E dans

qui à tout f 2 E fait correspondre k ^f k

est une norme sur E . En particulier, E est un

-espace vectoriel normé.

Proof.

Le seul point relativement délicat de le démonstration est l’inégalité triangulaire.

Sif,g 2^{E alors,}

Reh^f,gi jh^f,gij k^fk2k^gk2.

Donc

k^f +gk²2 = 2 Reh^f,gi+k^fk²2+k^gk²2

2k^fk2k^gk2+k^fk²2+k^gk²2

(k^fk2+k^gk2)².

Une conséquence importante.

Corollary

L’application de E dans

qui à tout f 2 E fait correspondre k ^f k

est une norme sur E . En particulier, E est un

-espace vectoriel normé.

Proof.

Le seul point relativement délicat de le démonstration est l’inégalité triangulaire.

Sif,g 2^{E alors,}

Reh^f,gi jh^f,gij k^fk2k^gk2.

Donc

k^f +gk²2 = 2 Reh^f,gi+k^fk²2+k^gk²2

2k^fk2k^gk2+k^fk²2+k^gk²2

(k^fk2+k^gk2)².

Une conséquence importante.

Corollary

L’application de E dans

qui à tout f 2 E fait correspondre k ^f k

est une norme sur E . En particulier, E est un

-espace vectoriel normé.

Proof.

Le seul point relativement délicat de le démonstration est l’inégalité triangulaire.

Sif,g 2^{E alors,}

Reh^f,gi jh^f,gij k^fk2k^gk2.

Donc

k^f +gk²2 = 2 Reh^f,gi+k^fk²2+k^gk²2

2k^fk2k^gk2+k^fk²2+k^gk²2

(k^fk2+k^gk2)².

Une conséquence importante.

Corollary

L’application de E dans

qui à tout f 2 E fait correspondre k ^f k

est une norme sur E . En particulier, E est un

-espace vectoriel normé.

Proof.

Le seul point relativement délicat de le démonstration est l’inégalité triangulaire.

Sif,g 2^{E alors,}

Reh^f,gi jh^f,gij k^fk2k^gk2. Donc

k^f +gk²2 = 2 Reh^f,gi+k^fk²2+k^gk²2

2k^fk2k^gk2+k^fk²2+k^gk²2

(k^fk2+k^gk2)².

Une conséquence importante.

Corollary

L’application de E dans

qui à tout f 2 E fait correspondre k ^f k

est une norme sur E . En particulier, E est un

-espace vectoriel normé.

Proof.

Le seul point relativement délicat de le démonstration est l’inégalité triangulaire.

Sif,g 2^{E alors,}

Reh^f,gi jh^f,gij k^fk2k^gk2.

Donc

k^f +gk²2 = 2 Reh^f,gi+k^fk²2+k^gk²2

2k^fk2k^gk2+k^fk²2+k^gk²2

(k^fk2+k^gk2)².

Une conséquence importante.

Corollary

L’application de E dans

qui à tout f 2 E fait correspondre k ^f k

est une norme sur E . En particulier, E est un

-espace vectoriel normé.

Proof.

Le seul point relativement délicat de le démonstration est l’inégalité triangulaire.

Sif,g 2^{E alors,}

Reh^f,gi jh^f,gij k^fk2k^gk2. Donc

k^f +gk²2 = 2 Reh^f,gi+k^fk²2+k^gk²2

2k^fk2k^gk2+k^fk²2+k^gk²2

(k^fk2+k^gk2)².

Une conséquence importante.

Corollary

L’application de E dans

qui à tout f 2 E fait correspondre k ^f k

est une norme sur E . En particulier, E est un

-espace vectoriel normé.

Proof.

Le seul point relativement délicat de le démonstration est l’inégalité triangulaire.

Sif,g 2^{E alors,}

Reh^f,gi jh^f,gij k^fk2k^gk2. Donc

k^f +gk²2 = 2 Reh^f,gi+k^fk²2+k^gk²2

2k^fk2k^gk2+k^fk²2+k^gk²2

(k^fk2+k^gk2)².

Une conséquence importante.

Corollary

L’application de E dans

qui à tout f 2 E fait correspondre k ^f k

est une norme sur E . En particulier, E est un

-espace vectoriel normé.

Proof.

Le seul point relativement délicat de le démonstration est l’inégalité triangulaire.

Sif,g 2^{E alors,}

Reh^f,gi jh^f,gij k^fk2k^gk2. Donc

k^f +gk² = 2 Reh^f,gi+k^fk²+k^gk²

(k^fk2+k^gk2)².

Une conséquence importante.

Corollary

L’application de E dans

qui à tout f 2 E fait correspondre k ^f k

est une norme sur E . En particulier, E est un

-espace vectoriel normé.

Proof.

Le seul point relativement délicat de le démonstration est l’inégalité triangulaire.

Sif,g 2^{E alors,}

Reh^f,gi jh^f,gij k^fk2k^gk2. Donc

k^f +gk²2 = 2 Reh^f,gi+k^fk²2+k^gk²2

2k^fk2k^gk2+k^fk²2+k^gk²2

(k^fk +k^gk )².

Quelques dé…nitions.

De…nition

I La normek^.k2 est dite associéeau produit scalaire de E .

I On appelle norme euclienne (respect. hermitienne) toute norme sur un R-espace (respect. C-espace) vectoriel associée à un produit scalaire.

I On appelle espace préhilbertien réel(respect. complexe) toutR-espace (respect. C-espace) vectoriel normé dont la norme est euclidienne (respect. hermitienne).

Quelques dé…nitions.

De…nition

I La normek^.k2 est dite associéeau produit scalaire de E .

I On appelle norme euclienne (respect. hermitienne) toute norme sur un R-espace (respect. C-espace) vectoriel associée à un produit scalaire.

I On appelle espace préhilbertien réel(respect. complexe) toutR-espace (respect. C-espace) vectoriel normé dont la norme est euclidienne (respect. hermitienne).

Quelques dé…nitions.

De…nition

I La normek^.k2 est dite associéeau produit scalaire de E .

I On appelle norme euclienne (respect. hermitienne) toute norme sur un R-espace (respect. C-espace) vectoriel associée à un produit scalaire.

I On appelle espace préhilbertien réel(respect. complexe) toutR-espace (respect. C-espace) vectoriel normé dont la norme est euclidienne (respect. hermitienne).

Quelques dé…nitions.

De…nition

I La normek^.k2 est dite associéeau produit scalaire de E .

I On appelle norme euclienne(respect. hermitienne) toute norme sur un R-espace (respect. C-espace) vectoriel associée à un produit scalaire.

I On appelle espace préhilbertien réel(respect. complexe) toutR-espace (respect. C-espace) vectoriel normé dont la norme est euclidienne (respect. hermitienne).

Quelques dé…nitions.

De…nition

I La normek^.k2 est dite associéeau produit scalaire de E .

I On appelle norme euclienne(respect. hermitienne) toute norme sur un R-espace (respect. C-espace) vectoriel associée à un produit scalaire.

I On appelle espace préhilbertien réel(respect. complexe) toutR-espace (respect. C-espace) vectoriel normé dont la norme est euclidienne (respect.

hermitienne).

Les exemples les plus classiques.

Examples

I Kⁿ (n2N )pour h(x_i),(y_i)i=

∑

x_iy_i.

I `²(N) =ⁿ(un)2K^N:∑j^unj² <_∞^opourh(un),(vn)i=

∑

unvn.

I Mn(_K) (n2N )pour h^A,Bi=tr A^tB .

I C([a,b],K) pourh^f,gi= Z b

a f(x)g(x)dx.

I L²(_Ω)pour h^f,gi= Z

Ωf g.

Les exemples les plus classiques.

Examples

I Kⁿ (n2N )pour h(x_i),(y_i)i=

∑

x_iy_i.

I `²(N) =ⁿ(un)2K^N:∑j^unj² <_∞^opourh(un),(vn)i=

∑

unvn.

I Mn(_K) (n2N )pour h^A,Bi=tr A^tB .

I C([a,b],K) pourh^f,gi= Z b

a f(x)g(x)dx.

I L²(_Ω)pour h^f,gi= Z

Ωf g.

Les exemples les plus classiques.

Examples

I Kⁿ (n2N )pour h(x_i),(y_i)i=

∑

x_iy_i.

I `²(N) =ⁿ(un)2K^N:∑j^unj² <_∞^opourh(un),(vn)i=

∑

unvn.

I Mn(_K) (n2N )pour h^A,Bi=tr A^tB .

I C([a,b],K) pourh^f,gi= Z b

a f(x)g(x)dx.

I L²(_Ω)pour h^f,gi= Z

Ωf g.

Les exemples les plus classiques.

Examples

I Kⁿ (n2N )pour h(x_i),(y_i)i=

∑

x_iy_i.

I `²(N) =ⁿ(un)2K^N:∑j^unj² <_∞^o pourh(un),(vn)i=

∑

n=0

unvn.

I Mn(_K) (n2N )pour h^A,Bi=tr A^tB .

I C([a,b],K) pourh^f,gi= Z b

a f(x)g(x)dx.

I L²(_Ω)pour h^f,gi= Z

Ωf g.

Les exemples les plus classiques.

Examples

I Kⁿ (n2N )pour h(x_i),(y_i)i=

∑

x_iy_i.

I `²(N) =ⁿ(un)2K^N:∑j^unj² <_∞^o pourh(un),(vn)i=

∑

n=0

unvn.

I Mn(_K) (n2N )pour h^A,Bi=tr A^tB .

I C([a,b],K) pourh^f,gi= Z b

a f(x)g(x)dx.

I L²(_Ω)pour h^f,gi= Z

Ωf g.

Les exemples les plus classiques.

Examples

I Kⁿ (n2N )pour h(x_i),(y_i)i=

∑

x_iy_i.

I `²(N) =ⁿ(un)2K^N:∑j^unj² <_∞^o pourh(un),(vn)i=

∑

n=0

unvn.

I Mn(_K) (n2N )pour h^A,Bi=tr A^tB .

I C([a,b],K)pour h^f,gi= Z b

a f(x)g(x)dx.

I L²(_Ω)pour h^f,gi= Z

Ωf g.

Les exemples les plus classiques.

Examples

I Kⁿ (n2N )pour h(x_i),(y_i)i=

∑

x_iy_i.

I `²(N) =ⁿ(un)2K^N:∑j^unj² <_∞^o pourh(un),(vn)i=

∑

n=0

unvn.

I Mn(_K) (n2N )pour h^A,Bi=tr A^tB .

I C([a,b],K)pour h^f,gi= Z b

a f(x)g(x)dx.

I L²(_Ω)pour h^f,gi= Z

Ωf g.

Désormais, E est un espace préhilbertien.

Theorem (Identité du Parallélogramme) Si f

g 2 ^{E alors}

I k^f +gk²+k^{f g}k²=2 k^fk²+k^gk^{2 .}

Proof. On a

k^f +gk² k^{f g}k²=4 Reh^f,gi=2 k^f +gk² k^fk² k^gk^{2 .}

Désormais, E est un espace préhilbertien.

Theorem (Identité du Parallélogramme) Si f

g 2 ^{E alors}

I k^f +gk²+k^{f g}k²=2 k^fk²+k^gk^{2 .}

Proof. On a

k^f +gk² k^{f g}k²=4 Reh^f,gi=2 k^f +gk² k^fk² k^gk^{2 .}

Désormais, E est un espace préhilbertien.

Theorem (Identité du Parallélogramme) Si f

g 2 ^{E alors}

I k^f +gk²+k^{f g}k² =2 k^fk²+k^gk^{2 .}

Proof. On a

k^f +gk² k^{f g}k²=4 Reh^f,gi=2 k^f +gk² k^fk² k^gk^{2 .}

Désormais, E est un espace préhilbertien.

Theorem (Identité du Parallélogramme) Si f

g 2 ^{E alors}

I k^f +gk²+k^{f g}k² =2 k^fk²+k^gk^{2 .}

Proof.

On a

k^f +gk² k^{f g}k²=4 Reh^f,gi=2 k^f +gk² k^fk² k^gk^{2 .}

Désormais, E est un espace préhilbertien.

Theorem (Identité du Parallélogramme) Si f

g 2 ^{E alors}

I k^f +gk²+k^{f g}k² =2 k^fk²+k^gk^{2 .}

Proof.

On a

k^f +gk² k^{f g}k² =4 Reh^f,gi=2 k^f +gk² k^fk² k^gk^{2 .}

L’identité du parallélogramme sert essentiellement à déterminer si une norme sur un espace vectoriel est euclienne (ou hermitienne).

Example

L’égalité

k(x,y)k=j^xj+j^yj

dé…nit une norme surR². On pose

f = (1,0)etg= (0,1).

Alors

k^fk²=k^gk²=1 etk^f +gk²=k^{f g}k² =4.

Donc,

k^f +gk²+k^{f g}k²=86=4=2 k^fk²+k^gk^{2 .}

L’identité du parallélogramme sert essentiellement à déterminer si une norme sur un espace vectoriel est euclienne (ou hermitienne).

Example

L’égalité

k(x,y)k=j^xj+j^yj

dé…nit une norme surR². On pose

f = (1,0)etg= (0,1).

Alors

k^fk²=k^gk²=1 etk^f +gk²=k^{f g}k² =4.

Donc,

k^f +gk²+k^{f g}k²=86=4=2 k^fk²+k^gk^{2 .}

L’identité du parallélogramme sert essentiellement à déterminer si une norme sur un espace vectoriel est euclienne (ou hermitienne).

Example

L’égalité

k(x,y)k=j^xj+j^yj

dé…nit une norme surR². On pose

f = (1,0)etg= (0,1).

Alors

k^fk²=k^gk²=1 etk^f +gk²=k^{f g}k² =4.

Donc,

k^f +gk²+k^{f g}k²=86=4=2 k^fk²+k^gk^{2 .}

L’identité du parallélogramme sert essentiellement à déterminer si une norme sur un espace vectoriel est euclienne (ou hermitienne).

Example

L’égalité

k(x,y)k=j^xj+j^yj

dé…nit une norme surR². On pose

f = (1,0)etg= (0,1).

Alors

k^fk²=k^gk²=1 etk^f +gk²=k^{f g}k² =4.

Donc,

k^f +gk²+k^{f g}k²=86=4=2 k^fk²+k^gk^{2 .}

L’identité du parallélogramme sert essentiellement à déterminer si une norme sur un espace vectoriel est euclienne (ou hermitienne).

Example

L’égalité

k(x,y)k=j^xj+j^yj

dé…nit une norme surR². On pose

f = (1,0)etg = (0,1). Alors

k^fk²=k^gk²=1 etk^f +gk²=k^{f g}k² =4.

Donc,

k^f +gk²+k^{f g}k²=86=4=2 k^fk²+k^gk^{2 .}

L’identité du parallélogramme sert essentiellement à déterminer si une norme sur un espace vectoriel est euclienne (ou hermitienne).

Example

L’égalité

k(x,y)k=j^xj+j^yj

dé…nit une norme surR². On pose f = (1,0)etg = (0,1).

Alors

k^fk²=k^gk²=1 etk^f +gk²=k^{f g}k² =4.

Donc,

k^f +gk²+k^{f g}k²=86=4=2 k^fk²+k^gk^{2 .}

L’identité du parallélogramme sert essentiellement à déterminer si une norme sur un espace vectoriel est euclienne (ou hermitienne).

Example

L’égalité

k(x,y)k=j^xj+j^yj

dé…nit une norme surR². On pose f = (1,0)etg = (0,1). Alors

k^fk²=k^gk²=1 etk^f +gk²=k^{f g}k² =4. Donc,

k^f +gk²+k^{f g}k²=86=4=2 k^fk²+k^gk^{2 .}