ECE 1 MATHEMATIQUES
Devoir Surveillé 1 - durée : 4 h 23 septembre 2009 Les documents, la calculatrice, et tout matériel électronique sont interdits.
Le soin, la précision et la qualité de la rédaction seront pris en compte dans la notation.
Si un cancidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et poursuivra sa composition, en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.
Cours.
1. Donner la dénition d'une fonction bornée sur un intervalle.
2. Qu'est-ce qu'une fonction paire ?
3. Soit f et g deux fonctions, telles que la composée g◦f soit bien dénie. Démontrer que si f et g ont un sens de variation diérent, alorsg◦f est décroissante.
Exercice I.
1. Trouver et justier les erreurs (deux au total) se trouvant dans les programmes suivants, et proposer une modication.
2. Détailler précisément le fonctionnement du programme "number2" ainsi modié.
PROGRAM number1 ; VAR x :integer ; BEGIN
x :=1 ; x :=x+3 x :=2*x ; writeln(x) ; END.
PROGRAM number2 ; VAR x :integer ; BEGIN
x :=12 ; x :=x/4 ; writeln(x) ; x :=x+2 ; END.
Exercice II.
Dans les deux cas suivants, calculerg◦f, et préciser son ensemble de dénition.
1. f(x) = ln(5−x2) et g(x) =−3x−2 2. f(x) =−x+ 5 et g(x) = 2x
−3x−4. Exercice III.
Résoudre dans Rles équations suivantes : 1. (E) 4x4−5 = 0
2. (F) ln(2x+ 1) + ln(x) = ln(5)
Exercice IV.
Résoudre dans Rl'inéquation (I) 1
x + x2
(x−1)(x+ 2) ≥1.
1/2
Exercice V.
Soit la fonctionf dénie sur]0; 2] parf(x) = 1
2 −x− 1 x. 1. Montrer que f0(x) = (1 +x)(1−x)
x2 , pour x∈]0; 2]. 2. En déduire les variations def sur]0; 2].
3. Déterminer, s'ils existent, les éléments remarquables suivants : extrema, majorants, minorants, bornes de f.
Problème.
On considère les fonctions chetsh, dénies surRpar : ch(x) = ex+e−x
2 et sh(x) = ex−e−x
2 .
On rappelle que la fonction exponentielle est strictement croissante surR, avec :
x→−∞lim ex= 0+ et lim
x→+∞ex= +∞ . 1. Calculer ch(0).
2. Etudier la parité des fonctionschetsh. 3. Résoudre dans Rl'équation sh(x) = 0.
4. a. Montrer que la fonctionchest strictement positive.
b. Dériver sh.
c. En déduire le tableau de variations desh.
5. Etudier les variations de ch.
6. Montrer que ∀x∈R, ch(x)> sh(x).
7. Déterminer l'équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction sh, au point d'abscissex= 0.
8. On admet que e2≈7.39 ete−2≈0.13.
a. Calculer, à 10−2 près, les coordonnées des points d'abscisses2 et−2 des courbes de chet sh.
b. Tracer l'allure des courbes représentatives de sh etchsur un même graphique, en plaçant ces points, ainsi que les tangentes connues.
9. Résoudre numériquement l'inéquation ch(x)−sh(x)≤0.01 dansR.
2
