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Soit f et g deux fonctions définies et continues sur \ . Soit la fonction h définie sur \ par : h = max ( ) f g , .

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PanaMaths

[ 1 - 1 ]

Janvier 2015

Soit f et g deux fonctions définies et continues sur \ . Soit la fonction h définie sur \ par : h = max ( ) f g , .

Montrer que la fonction h est continue sur \ .

Analyse

Il est quelques formules à connaître ! Celles donnant le max et le min d’un couple de réel sont souvent bien pratiques. C’est le cas pour cet exercice…

Résolution

Rappelons que l’on a, pour tous réels a et b : max

( )

,

2 a b a b a b + + −

= (au passage, ne nous

privons pas : min

(

,

)

2 a b a b a b + − −

= ). On a donc ici : max

(

,

)

1

( )

h= f g =2 f + +g fg . Les fonctions f et g étant définies et continues sur \, il en va de même pour les fonctions f +g et fg. Les fonctions fg et valeur absolue étant définies et continues sur \, il en va de même pour la fonction composée fg . Enfin, les fonctions f +g et fg étant définies et continues sur \, il en va de même pour leur somme f + + −g f g et enfin pour h.

Le résultat est ainsi établi.

Résultat final

Pour toutes fonctions f et g définies et continues sur \, la fonction

( )

1

( )

max ,

h= f g =2 f + +g fg est également continue sur \.

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