MPSI B 29 juin 2019
Énoncé
Soit (G, ∗) et (H, ⊥) deux groupes et f un morphisme de G dans H tel que ker f et Im f soient nis. Pour tout y ∈ H , on désigne par A
yl'ensemble des antécédents de y par f .
1. Soit a ∈ G . Montrer que l'application qui à tout u de ker f associe u ∗ a dénit une bijection de ker f dans A
f(a).
2. Montrer que G est ni. Combien contient-il d'éléments ?
Corrigé
1. Notons ϕ l'application proposée par l'énoncé. Vérions d'abord que l'application est bien à valeurs dans A
f(a) . En eet, pour tout u ∈ ker f , f (u ∗ a) = f (u) ⊥ f (a) = e ⊥ f (a) = f (a) .
Vérions ensuite que ϕ dénit une surjection à valeurs dans A
f(a) . Pour tout v ∈ A
f(a) , on peut écrire v = v ∗ a
−1∗ a . Posons u = v ∗ a
−1. Comme f (v) = f (a) , on a
f (a) = f (v) = f (u ∗ a) = f (u) ⊥ f (a)
⇒ f (a) ⊥ f (a)
−1= f (u) ⊥ f (a) ⊥ f (a)
−1⇒ f (u) = e On a donc bien u dans ker f et v = ϕ(u) .
Vérions enn que ϕ est surjective. En eet :
ϕ(v) = ϕ(w) ⇒ v ∗ a ∗ a
−1= w ∗ a ∗ a
−1⇒ v = w
On a bien montré que ϕ est une bijection. Cela entraine en particulier que toutes les parties A
f(a) ont le même nombre d'éléments que ker f .
2. Les parties A
f(a) forment une partition de G . Tout élément a de G est évidemment dans A
f(a) . Deux parties A
f(a) et A
f(b) sont disjointes lorsque f (a) 6= f (b) car un élément de G n'a qu'une seule image par f . Il y a autant de parties A
f(a) que d'éléments dans l'image de f .
On en déduit que G est la réunion de ] Im f parties disjointes. Chacune de ces parties étant nie et de cardinal ] ker f .
Le groupe G est donc ni et contient ] Im f × ] ker f éléments.
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
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