MPSI B 29 juin 2019
Énoncé
1. Soit E , F , G trois K -espaces vectoriels et f ∈ L(E, F ) , g ∈ L(F, G) . a. Montrer que
ker g ◦ f ⊂ ker f ⇔ ker g ∩ Im f = {0}
De quel 0 s'agit-il ? b. Montrer que
Im g ⊂ Im g ◦ f ⇔ ker g + Im f = F
2. Soit E , F deux K -espaces vectoriels et f ∈ L(E, F ) , g ∈ L(F, E) telles que f ◦ g ◦ f = f, g ◦ f ◦ g = g
a. Montrer que Im f et ker g sont supplémentaires. Dans quel espace vectoriel ? Même question avec Im g et ker f .
b. On dénit f et g par : f :
( Im g → Im f
a 7→ f (a) g :
( Im f → Im g a 7→ g(a)
Préciser f ◦ g et g ◦ f . Justiez directement, sans utiliser le calcul des composées, que f et g sont des isomorphismes.
3. Soit E un K -espace vectoriel et f , g deux endomorphismes de E tels que g ◦ f = Id E . a. Montrer que ker g et Im f sont supplémentaires.
b. Pour K = R et E = R [X ] , donner un exemple d'un couple d'endomorphismes (f, g) de E tels que g ◦ f = Id E et f ◦ g 6= Id E . Pour votre exemple, préciser ker f et Im g .
Corrigé
1. a. Commençons par signaler que l'espace vectoriel contenant ker g et Im f est F . Il s'agit donc de 0 F dans la formule proposée.
Supposons ker g ◦f ⊂ ker f . Soit x quelconque dans ker g ∩ Im f . Il existe a ∈ E tel que x = f (a) . Comme x ∈ ker g , on a aussi
g(x) = O G ⇒ g ◦ f (a) = 0 G ⇒ a ∈ ker g ◦ f ⊂ ker f ⇒ x = f (a) = 0 F
Ainsi, ker g ∩ Im f = {0 F } .
Supposons ker g ∩ Im f = {0 F } . Soit x quelconque dans ker g◦f . Alors g◦f (x) = 0 G donc f (x) ∈ ker g . Or évidemment f (x) ∈ Im f donc f (x) ∈ ker g ∩ Im f = {0 F } c'est à dire x ∈ ker f .
Ainsi ker g ◦ f ⊂ ker f .
b. Supposons Im g ⊂ Im g ◦ f . Soit x quelconque dans F , considérons g(x) . Il appartient à Im g qui est inclus dans Im g ◦ f , il existe donc a ∈ E tel que g(x) = g ◦ f (a) . On peut alors écrire
x = f (a) + (x − f (a))
avec f (a) ∈ Im f et g(x − f (a)) = g(x) − g ◦ f (a) = 0 G donc x − f(a) ∈ ker g . Ainsi F = Im f + ker g .
Supposons F = Im f + ker g . Soit u quelconque dans Im g . Il existe x ∈ F tel que u = g(x) . D'après l'hypothèse, ce x se décompose. Il existe a ∈ E et y ∈ ker g tels que
x = f (a) + y En composant par g , on obtient
u = g(x) = g(f(a)) + g(y)
|{z}
=0
G= g ◦ f (a) ∈ Im g ◦ f
Ainsi Im g ⊂ Im g ◦ f .
2. a. On cherche à utiliser la question 1. qui permet de caractériser le fait que le noyau et l'image sont supplémentaires. On forme des conséquences des relations de l'énoncé permettant de le faire :
f ◦ g ◦ f = f g ◦ f ◦ g = g
)
⇒
( ker g ◦ f ⊂ ker f Im g ⊂ Im g ◦ f
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
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Rémy Nicolai Aalglin23MPSI B 29 juin 2019
On peut donc appliquer la question 1. (avec G = E ) et en déduire que ker g et Im f sont supplémentaires.
L'autre propriété s'obtient en échangeant les rôles de f et g .
b. Pour tout x ∈ Im f , il existe a ∈ E tel que x = f (a) . Par dénition de f et g on a alors :
f ◦ g(x) = f ◦ g(f (a)) = f (g(f (a))) = f ◦ g ◦ f (a) = f (a) = x On en déduit f ◦ g = Id Im f . On montre de même que g ◦ f = Id Im g .
Comme Im g est un supplémentaire de ker f , le lemme noyau-image du cours assure directement que f est un isomorphisme. Cela s'applique aussi pour g . On prouve bien ainsi qu'il s'agit d'isomorphismes mais pas qu'ils sont inverses l'un de l'autre.
3. a. Ici g ◦f = Id E . Alors ker g ◦ f = {0 E } ⊂ ker f et Im g ◦ f = E donc Im g ⊂ Im g ◦ f . On en déduit, d'après 1 avec E = F = G que ker g et Im f sont supplémentaires.
Cette question n'est intéressante que si on ne suppose pas la dimension nie. En eet g ◦ f = Id E entraine g surjective et f injective. Si on était en dimension nie, les deux seraient bijectifs donc vériant ker g = {0 E } et Im f = E .
En revanche, ces sous-espaces peuvent ne pas être triviaux en dimension nie comme le montre l'exemple demandé dans la question suivante.
b. On dénit f par f (P ) = XP et g par g(P ) est le quotient de la division de P par X . On a alors immédiatement
g ◦ f = Id R [X]
Comme g(1) = 0 , f ◦ g(1) = 0 donc f ◦ g n'est pas l'identité. Quel que soit l'exemple choisi, g ◦ f = Id E entraine ker f = {0 E } et Im g = E .
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
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