1. Soit a ∈ G . Montrer que l'application qui à tout u de ker f associe u ∗ a dénit une bijection de ker f dans A f(a) .

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Exercice 1.

Soit (G, ∗) et (H, ⊥) deux groupes et f un morphisme de G dans H tel que ker f et Im f soient nis. Pour tout y ∈ H , on désigne par A _y l'ensemble des antécédents de y par f .

1. Soit a ∈ G . Montrer que l'application qui à tout u de ker f associe u ∗ a dénit une bijection de ker f dans A f(a) .

2. Montrer que G est ni. Combien contient-il d'éléments ?

Exercice 2.

1. Soit f une fonction de classe C

dans un intervalle [a, b] telle que f

soit dérivable dans ]a, b[ . Montrer qu'il existe d dans ]a, b[ tel que

f (b) − f (a) − (b − a)f

(a) = (b − a)

2 f

(d) On considèrera obligatoirement une fonction ϕ de la forme :

ϕ(t) = f (t) − f (a) − (t − a)f

(a) − K(t − a)

pour un réel K bien choisi.

2. Soit G une fonction de classe C

dans [0, +∞[ . On dénit une fonction g par

∀x ∈ [0, +∞[: g(x) =







− G

(0) si x = 0 1

x G(x

) − G(x)

si x 6= 0 a. Les fonctions dénies dans ]0, +∞[

x 7→ G(x) − G(0)

x , x 7→ G(x

) − G(0) x admettent elles des limites en 0 ?

b. Montrer que g est continue dans [0, +∞[ .

c. Comment se traduit le résultat de la question 1 appliqué à la fonction G avec a = 0 et b = x ? Et avec a = 0 et b = x

?

d. Montrer que g est de classe C

dans [0, +∞[ et préciser g

(0) .

Problème. Approximation rationnelle d'une réciproque

Soit f la fonction de R dans R dénie par

∀t ∈ R : f (t) = t

+ t

L'objet de ce problème est d'étudier une approximation de la bijection réciproque g de f . Pour tout réel x positif, on dénit une fonction ϕ x dans R par :

∀t ∈ R : ϕ _x (t) = 2t

+ x 3t

+ 1

Partie 1 : variations

1. Construire le graphe C de la fonction f .

2. Montrer que f est bijective. On note g la bijection réciproque.

3. Montrer que la fonction g est strictement croissante et impaire. Construire son graphe et le placer dans la même gure que C .

4. Montrer que g est dérivable dans R. Exprimer g

en fonction de g . En déduire sans calcul les variations de g

.

Partie 2 : approximations

Dans la suite du problème x est un réel positif ou nul. On désigne par D _x la droite d'ordonnée x parallèle à l'axe des abscisses. On interprète g(x) comme l'unique solution de l'équation t

+ t = x d'inconnue t . On peut voir aussi g(x) comme l'abscisse du point d'intersection de C avec D x .

On se propose d'approcher g(x) à l'aide de la suite (u n (x)) _n∈

N

ainsi construite : u

(x) = x .

u

(x) est l'abscisse du point d'intersection de D x avec la tangente en C au point d'abscisse x = u

(x) .

· · ·

u n+1 (x) est l'abscisse du point d'intersection de D x avec la tangente en C au point d'abscisse u n (x) .

1. Soit t un nombre réel positif. Montrer que l'abscisse du point d'intersection de D x avec la tangente à C au point d'abscisse t est ϕ x (t) . En déduire que :

∀n ∈ N : u _n+1 (x) = ϕ _x (u _n (x))

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d'après HEC 86 math 1

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2. a. Étudier le signe de ϕ x (t) − t .

b. Calculer la dérivée de ϕ _x . Étudier le signe de ϕ

_x (t) . c. Montrer que l'intervalle [g(x), x] est stable par ϕ x . d. Montrer que :

∀t ∈ [g(x), x] : 0 ≤ t

+ t − x ≤ t

puis que :

∀t ∈ [g(x), x] : 0 ≤ ϕ

_x (t) ≤ 2 3

3. a. Montrer que u n (x) ∈ [g(x), x] pour tout entier naturel n . Montrer que la suite (u n (x)) _n∈

N

est décroissante et converge vers g(x) . b. Montrer que :

∀n ∈ N , 0 ≤ u _n+1 (x) − g(x) ≤ 2

3 (u _n (x) − g(x)) c. Soit a un nombre réel positif. On pose :

β _n = sup

x∈[0,a]

(u _n (x) − g(x))

Montrer que β n ≤ (

) ⁿ a .

d. Vérier que, pour tout réel positif t ,

ϕ x (t) − g(x) = (t − g(x))

2t + g(x) 3t

+ 1 Montrer que :

∀t ∈ [g(x), x] : 0 ≤ ϕ x (t) − g(x) ≤

√ 3

2 (t − g(x))

On pourra étudier les variations de t →

Exercice 3

On dénit une fonction H dans ]0, 1[ .

∀λ ∈ ]0, 1[ : H(λ) = − (λ ln(λ) + (1 − λ) ln(1 − λ)) .

On se propose de montrer une majoration des coecients du binôme :

∀n ∈ N \ {0, 1} , ∀k ∈ J 1, n − 1 K : n

k

≤ e ^nH(

k n

.

1. Montrer que :

∀x > 0 : ln(1 + x) − ln(x) ≥ 1 1 + x . 2. Montrer que la fonction dénie de ]0, 1[ dans R par : x → ^x+1 _x x

est croissante.

3. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2 et k un entier naturel entre 0 et n . Montrer que

n k

≤ n ⁿ k ^k (n − k) ^n−k . 4. En déduire l'inégalité annoncée.

Exercice 4.

On désigne par ( U , .) le groupe des nombres complexes de module 1 pour la multiplication dans C. On s'intéresse ici aux morphismes de certains de ses sous-groupes.

1. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2 et U n l'ensemble des racines n -ièmes de l'unité dans C. On note u = e

.

a. Montrer que U n est un sous-groupe de U.

b. Soit f un morphisme de groupe de U n dans U n . Montrer qu'il existe un unique m ∈ {0, · · · , n − 1} tel que :

∀v ∈ U ⁿ : f (v) = v ^m

2. Soit f un morphisme de groupe de U dans U. On dénit g de R dans C par :

∀t ∈ R ; g(t) = f (e ^it ) et on suppose qu'elle est dérivable en 0 .

a. Montrer que g est dérivable dans R et que g

(t) = g

(0)g(t) pour tous les réels t . b. Montrer qu'il existe un m dans Z tel que f (v) = v ^m pour tous les v dans U.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

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