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Trouver une base de Ker(f−id) et une base de Ker(f+ id)

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Academic year: 2021

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Texte intégral

(1)

Universit´e Denis Diderot (Paris VII) 2009-2010

CM 3 Groupe Concours

Feuille 8

Diagonalisation, Trigonalisation

Exercice1 — Soitf l’endomorphisme deR3 dont la matrice dans la base canonique est A=

−3 2 −2

4 −1 2

8 −4 5

. 1. Calculer, pour toutλ∈R, le d´eterminant de la matriceA−λI3.

2. Pour quelles valeurs deλ∈Rl’endomorphismef−λid est-il inversible ?

3. Trouver une base de Ker(f−id) et une base de Ker(f+ id). Quelles sont les dimensions de ces sous-espaces ? Montrer que ce sont des sous-espaces vectoriels suppl´ementaires deR3.

4. Quelle est la dimension de Im(f+ id) ? Donner une base de ce sous-espace et montrer queR3= Ker(f+ id) Im(f+ id).

5. Ecrire la matrice def dans une base adapt´ee `a la d´ecomposition R3= Ker(fid)Ker(f+ id).

Exercice2 — Soitf l’endomorphisme deR3 efini par la formule :

∀ x, y, z∈R f(x, y, z) = (2y+z, x−y−z,2x−z).

1. ´Ecrire la matriceAdef dans la base canonique deR3. Calculer le d´eterminant deA.

Quel est le rang def?

2. On pose u= (1,0,1), v = (1,−1,2) et w= (−1,1,1). Montrer que (u, v, w) est une base de R3. ´Ecrire la matriceB def dans cette base.

3. Donner une matrice inversibleP ∈GL3(R) telle queP−1AP =B.

CalculerP−1 et v´erifier la formuleP−1AP =B.

Exercice3 — Soitf l’endomorphisme deR3 dont la matrice dans la base canonique est A=

3 3 −5 2 4 −5 2 3 −4

. 1. Montrer que 1 est valeur propre def.

2. NotonsP le sous-espace propre deR3 pour la valeur propre 1.

(a) Quelle est la dimension deP? (b) Trouver une ´equation deP.

3. Consid´erons les vecteursu1= (3,−2,0),u2= (1,1,1) etu3= (−1,1,0) deR3. (a) Montrer que (u1, u2, u3) est une base deR3.

(b) Quelle est la matrice def dans la base (u1, u2, u3).

4. Calculer le polynˆome caract´eristique def. 5. L’endomorphismef est-il diagonalisable ?

Exercice4 — Soitf l’endomorphisme deR3 dont la matrice dans la base canonique est

12 11 5

−10 −9 −4

−6 −6 −3

.

(2)

1. Calculer le polynˆome caract´eristique def.

2. Montrer qu’il existe une base deR3 form´ee de vecteurs propres def.

3. Soit (e1, e2, e3) une base de R3 form´ee de vecteurs propres de f. Posons v = e1+e2+e3. Montrer que (v, f(v), f2(v)) est une base deR3. Ecrire la matrice def dans cette base.

4. Quel est le rang def?

5. Trouver une matrice inversibleP∈GL3(R) telle queP−1AP est diagonale.

Exercice5 — Soitf l’endomorphisme deC3 dont la matrice dans la base canonique est

4 −5 7 1 −4 9

−4 0 5

. 1. Calculer le polynˆome caract´eristique def.

2. Montrer que l’endomorphismef est diagonalisable surC.

Exercice6 — Soitf l’endomorphisme deR3 dont la matrice dans la base canonique est

0 5 −2

0 −7 3

−1 −16 7

.

1. Calculer le polynˆome caract´eristique def et dresser son tableau de variation.

2. Montrer quef est diagonalisable surR.

Exercice7 — Soit mun nombre r´eel. Notons f l’endomorphisme deR3 dont la matrice dans la base canonique est

A=

−1 m+ 1 0

1 m 1

3 −m−1 2

. 1. Calculer le polynˆome caract´eristique def.

2. On supposem6= 2 etm6=−1. Montrer que l’endomorphismef est diagonalisable.

3. On supposem= 2.

(a) Quelles sont les valeurs propres de f?

(b) Montrer que l’endomorphismef n’est pas diagonalisable.

4. On supposem=−1.

(a) Quelles sont les valeurs propres de f?

(b) Montrer que l’endomorphismef est diagonalisable.

(c) Trouver une base (u1, u2, u3) deR3 form´ee de vecteurs propres def. (d) Quelle est la matrice def dans la base (u1, u2, u3) ?

Exercice8 — Soita∈R. PosonsA=

2 0 1−a

−1 1 a−1 a−1 0 2a

.

1. Montrer que 1 est valeur propre deA.

2. Calculer le polynˆome caract´eristique deA. Montrer queA est diagonalisable surRsi et seulement sia= 1.

(3)

Exercice9 — Soit E unC-espace vectoriel de dimension 4. Soit (e1, e2, e3, e4) une base deC. On notef l’endo- morphisme deE dont la matrice dans cette base est

A=

0 0 0 1

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

 .

1. Calculer les valeurs propres def.

2. Montrer qu’il existe une base deEform´ee de vecteurs propres def, et ´ecrire la matrice def dans cette base.

3. CalculerAn pour toutn∈N.

Exercice10 — Soitf l’endomorphisme de R3dont la matrice dans la base canonique est A=

0 1 0

−4 4 0

−2 1 2

.

1. Calculer le polynˆome caract´eristique deA. Montrer quef est trigonalisable surR. 2. L’endomorphismef est-il diagonalisable surR?

3. Trouver une base deR3dans laquelle f est triangulaire sup´erieure.

4. Calculer (A−2I3)2. En d´eduire la valeur deAn pour toutn∈N.

Exercice11 — Soientaun nombre r´eel etf l’endomorphisme deR4 dont la matrice dans la base canonique est

A=

−1 1 1 3a

2 0 −2 −2

−2 1 2 3a

0 0 1 0

1. Calculer le polynˆome caract´eristique def. Montrer que 1 est valeur propre def. 2. On suppose quea6= 1.

(a) Montrer quef est trigonalisable surRsi et seulement sia >1.

(b) Lorsquea >1, l’endomorphismef est-il diagonalisable surR? 3. On suppose quea= 1.

(a) Trouver une base de chaque sous-espace propre.

(b) L’endomorphismef est-il diagonalisable ?

(c) Trouver une base de R4 dans laquelle la matrice def est triangulaire sup´erieure.

(d) CalculerAn, pour toutn∈N.

Exercice12 — Soitf un endomorphisme deR3 ayant les deux propri´et´es suivantes : – la seule valeur propre def est 1,

– le sous-espace propreP =E1(f) est de dimension 2.

1. Soituun vecteur quelconque deP. Que vautf(u) ?

2. Soit (u1, u2) une base deP etu3un vecteur deR3 n’appartenant pas `a P.

(a) Montrer que (u1, u2, u3) est une base deR3.

(b) Montrer que la matrice def dans la base (u1, u2, u3) est de la forme

1 0 a 0 1 b 0 0 c

, o`u a,b,c sont des nombres r´eels.

(4)

(c) Exprimer le polynˆome caract´eristique def `a l’aide dec. En d´eduire quec= 1.

3. Montrer que l’endomorphismef n’est pas diagonalisable.

4. Soitv3 un vecteur n’appartenant pas `a P. On posev2=f(v3)−v3. (a) Montrer que le vecteurv2 est non nul et appartient `aP.

(b) Montrer qu’il existe un vecteurv1∈P tel que (v1, v2, v3) soit une base deR3. (c) Quelle est la matrice def dans la base (v1, v2, v3) ?

Exercice13 — Soit nun entier positif, et soitE leR-espace vectoriel des polynˆomes r´eels de degr´e inf´erieur ou

´egal `a n.

1. SoitP un ´el´ement deE. Montrer que (X2−1)P00+ (2X+ 1)P0 ∈E.

2. Soitf l’application deE d´efinie parf(P) = (X2−1)P00+ (2X+ 1)P0.

(a) Montrer quef est un endomorphisme deE, et ´ecrire sa matrice dans la base (1, X,· · ·, Xn).

(b) D´eterminer les valeurs propres def.

Exercice14 — Consid´erons la matriceA=

0 1 1 32

deM2(R).

1. Montrer que la matriceAest diagonalisable surR.

2. Trouver une matrice inversibleP∈M2(R) telle que la matriceP−1AP est diagonale.

3. CalculerAn pour tout entier naturel n.

4. SoitE leR-espace vectoriel des suites (un) `a termes r´eels telles que

∀n∈N un+2=un+32un+1. (a) Soit (un) une suite `a termes r´eels. Pour toutn∈N, posonsXn= uun+1n

. Montrer que (un) appartient

`

aE si et seulement siXn+1=AXn pour toutn.

(b) Quelle est la dimension deE? Trouver une base deE.

(c) SoitF le sous-espace vectoriel deE form´e des suites (un)∈Etelles que la s´erie (Pun) est convergente.

Quelle est la dimension deF?

Exercice 15 — Soit a ∈ R. On pose A=

0 1

−a 1 +a

. On note E le R-espace vectoriel des suites (un) de nombres r´eels telles que

un+2= (1 +a)un+1−aun pour toutn∈N 1. Montrer que la matriceAest trigonalisable surR.

2. Pour quelles valeurs deala matriceAest-elle diagonalisable surR?

3. CalculerAn, pour toutn∈N. Pour quelles valeurs deales suites des coefficients de la matriceAn sont-elles born´ees ? convergentes ?

4. Trouver une base du sous-espace vectorielF des suites born´ees deE.

Exercice16 — SoitA=

2 0 4

3 −4 12

1 −2 5

. Cherchons les matrices B∈M3(C) telles queB3=A.

1. D´eterminer les valeurs propres deAet une matriceP telle queP−1AP soit diagonale.

2. Soitf l’endomorphisme deR3 dont M est la matrice dans la base canonique, et g∈L(R3) tel queg3=f. Montrer que g◦f =f ◦g. En d´eduire que les vecteurs propres def sont aussi des vecteurs propres pourg.

Quelles possibilit´es a-t-on pour les valeurs propres associ´ees ?

3. R´esoudre l’´equation B3=AdansMn(C). Calculer la somme et le produit des solutions.

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