Universit´e Denis Diderot (Paris VII) 2009-2010
CM 3 Groupe Concours
Feuille 8
Diagonalisation, Trigonalisation
Exercice1 — Soitf l’endomorphisme deR3 dont la matrice dans la base canonique est A=
−3 2 −2
4 −1 2
8 −4 5
. 1. Calculer, pour toutλ∈R, le d´eterminant de la matriceA−λI3.
2. Pour quelles valeurs deλ∈Rl’endomorphismef−λid est-il inversible ?
3. Trouver une base de Ker(f−id) et une base de Ker(f+ id). Quelles sont les dimensions de ces sous-espaces ? Montrer que ce sont des sous-espaces vectoriels suppl´ementaires deR3.
4. Quelle est la dimension de Im(f+ id) ? Donner une base de ce sous-espace et montrer queR3= Ker(f+ id)⊕ Im(f+ id).
5. Ecrire la matrice def dans une base adapt´ee `a la d´ecomposition R3= Ker(f−id)⊕Ker(f+ id).
Exercice2 — Soitf l’endomorphisme deR3 d´efini par la formule :
∀ x, y, z∈R f(x, y, z) = (2y+z, x−y−z,2x−z).
1. ´Ecrire la matriceAdef dans la base canonique deR3. Calculer le d´eterminant deA.
Quel est le rang def?
2. On pose u= (1,0,1), v = (1,−1,2) et w= (−1,1,1). Montrer que (u, v, w) est une base de R3. ´Ecrire la matriceB def dans cette base.
3. Donner une matrice inversibleP ∈GL3(R) telle queP−1AP =B.
CalculerP−1 et v´erifier la formuleP−1AP =B.
Exercice3 — Soitf l’endomorphisme deR3 dont la matrice dans la base canonique est A=
3 3 −5 2 4 −5 2 3 −4
. 1. Montrer que 1 est valeur propre def.
2. NotonsP le sous-espace propre deR3 pour la valeur propre 1.
(a) Quelle est la dimension deP? (b) Trouver une ´equation deP.
3. Consid´erons les vecteursu1= (3,−2,0),u2= (1,1,1) etu3= (−1,1,0) deR3. (a) Montrer que (u1, u2, u3) est une base deR3.
(b) Quelle est la matrice def dans la base (u1, u2, u3).
4. Calculer le polynˆome caract´eristique def. 5. L’endomorphismef est-il diagonalisable ?
Exercice4 — Soitf l’endomorphisme deR3 dont la matrice dans la base canonique est
12 11 5
−10 −9 −4
−6 −6 −3
.
1. Calculer le polynˆome caract´eristique def.
2. Montrer qu’il existe une base deR3 form´ee de vecteurs propres def.
3. Soit (e1, e2, e3) une base de R3 form´ee de vecteurs propres de f. Posons v = e1+e2+e3. Montrer que (v, f(v), f2(v)) est une base deR3. Ecrire la matrice def dans cette base.
4. Quel est le rang def?
5. Trouver une matrice inversibleP∈GL3(R) telle queP−1AP est diagonale.
Exercice5 — Soitf l’endomorphisme deC3 dont la matrice dans la base canonique est
4 −5 7 1 −4 9
−4 0 5
. 1. Calculer le polynˆome caract´eristique def.
2. Montrer que l’endomorphismef est diagonalisable surC.
Exercice6 — Soitf l’endomorphisme deR3 dont la matrice dans la base canonique est
0 5 −2
0 −7 3
−1 −16 7
.
1. Calculer le polynˆome caract´eristique def et dresser son tableau de variation.
2. Montrer quef est diagonalisable surR.
Exercice7 — Soit mun nombre r´eel. Notons f l’endomorphisme deR3 dont la matrice dans la base canonique est
A=
−1 m+ 1 0
1 m 1
3 −m−1 2
. 1. Calculer le polynˆome caract´eristique def.
2. On supposem6= 2 etm6=−1. Montrer que l’endomorphismef est diagonalisable.
3. On supposem= 2.
(a) Quelles sont les valeurs propres de f?
(b) Montrer que l’endomorphismef n’est pas diagonalisable.
4. On supposem=−1.
(a) Quelles sont les valeurs propres de f?
(b) Montrer que l’endomorphismef est diagonalisable.
(c) Trouver une base (u1, u2, u3) deR3 form´ee de vecteurs propres def. (d) Quelle est la matrice def dans la base (u1, u2, u3) ?
Exercice8 — Soita∈R. PosonsA=
2 0 1−a
−1 1 a−1 a−1 0 2a
.
1. Montrer que 1 est valeur propre deA.
2. Calculer le polynˆome caract´eristique deA. Montrer queA est diagonalisable surRsi et seulement sia= 1.
Exercice9 — Soit E unC-espace vectoriel de dimension 4. Soit (e1, e2, e3, e4) une base deC. On notef l’endo- morphisme deE dont la matrice dans cette base est
A=
0 0 0 1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
.
1. Calculer les valeurs propres def.
2. Montrer qu’il existe une base deEform´ee de vecteurs propres def, et ´ecrire la matrice def dans cette base.
3. CalculerAn pour toutn∈N.
Exercice10 — Soitf l’endomorphisme de R3dont la matrice dans la base canonique est A=
0 1 0
−4 4 0
−2 1 2
.
1. Calculer le polynˆome caract´eristique deA. Montrer quef est trigonalisable surR. 2. L’endomorphismef est-il diagonalisable surR?
3. Trouver une base deR3dans laquelle f est triangulaire sup´erieure.
4. Calculer (A−2I3)2. En d´eduire la valeur deAn pour toutn∈N.
Exercice11 — Soientaun nombre r´eel etf l’endomorphisme deR4 dont la matrice dans la base canonique est
A=
−1 1 1 3a
2 0 −2 −2
−2 1 2 3a
0 0 1 0
1. Calculer le polynˆome caract´eristique def. Montrer que 1 est valeur propre def. 2. On suppose quea6= 1.
(a) Montrer quef est trigonalisable surRsi et seulement sia >1.
(b) Lorsquea >1, l’endomorphismef est-il diagonalisable surR? 3. On suppose quea= 1.
(a) Trouver une base de chaque sous-espace propre.
(b) L’endomorphismef est-il diagonalisable ?
(c) Trouver une base de R4 dans laquelle la matrice def est triangulaire sup´erieure.
(d) CalculerAn, pour toutn∈N.
Exercice12 — Soitf un endomorphisme deR3 ayant les deux propri´et´es suivantes : – la seule valeur propre def est 1,
– le sous-espace propreP =E1(f) est de dimension 2.
1. Soituun vecteur quelconque deP. Que vautf(u) ?
2. Soit (u1, u2) une base deP etu3un vecteur deR3 n’appartenant pas `a P.
(a) Montrer que (u1, u2, u3) est une base deR3.
(b) Montrer que la matrice def dans la base (u1, u2, u3) est de la forme
1 0 a 0 1 b 0 0 c
, o`u a,b,c sont des nombres r´eels.
(c) Exprimer le polynˆome caract´eristique def `a l’aide dec. En d´eduire quec= 1.
3. Montrer que l’endomorphismef n’est pas diagonalisable.
4. Soitv3 un vecteur n’appartenant pas `a P. On posev2=f(v3)−v3. (a) Montrer que le vecteurv2 est non nul et appartient `aP.
(b) Montrer qu’il existe un vecteurv1∈P tel que (v1, v2, v3) soit une base deR3. (c) Quelle est la matrice def dans la base (v1, v2, v3) ?
Exercice13 — Soit nun entier positif, et soitE leR-espace vectoriel des polynˆomes r´eels de degr´e inf´erieur ou
´egal `a n.
1. SoitP un ´el´ement deE. Montrer que (X2−1)P00+ (2X+ 1)P0 ∈E.
2. Soitf l’application deE d´efinie parf(P) = (X2−1)P00+ (2X+ 1)P0.
(a) Montrer quef est un endomorphisme deE, et ´ecrire sa matrice dans la base (1, X,· · ·, Xn).
(b) D´eterminer les valeurs propres def.
Exercice14 — Consid´erons la matriceA=
0 1 1 32
deM2(R).
1. Montrer que la matriceAest diagonalisable surR.
2. Trouver une matrice inversibleP∈M2(R) telle que la matriceP−1AP est diagonale.
3. CalculerAn pour tout entier naturel n.
4. SoitE leR-espace vectoriel des suites (un) `a termes r´eels telles que
∀n∈N un+2=un+32un+1. (a) Soit (un) une suite `a termes r´eels. Pour toutn∈N, posonsXn= uun+1n
. Montrer que (un) appartient
`
aE si et seulement siXn+1=AXn pour toutn.
(b) Quelle est la dimension deE? Trouver une base deE.
(c) SoitF le sous-espace vectoriel deE form´e des suites (un)∈Etelles que la s´erie (Pun) est convergente.
Quelle est la dimension deF?
Exercice 15 — Soit a ∈ R. On pose A=
0 1
−a 1 +a
. On note E le R-espace vectoriel des suites (un) de nombres r´eels telles que
un+2= (1 +a)un+1−aun pour toutn∈N 1. Montrer que la matriceAest trigonalisable surR.
2. Pour quelles valeurs deala matriceAest-elle diagonalisable surR?
3. CalculerAn, pour toutn∈N. Pour quelles valeurs deales suites des coefficients de la matriceAn sont-elles born´ees ? convergentes ?
4. Trouver une base du sous-espace vectorielF des suites born´ees deE.
Exercice16 — SoitA=
2 0 4
3 −4 12
1 −2 5
. Cherchons les matrices B∈M3(C) telles queB3=A.
1. D´eterminer les valeurs propres deAet une matriceP telle queP−1AP soit diagonale.
2. Soitf l’endomorphisme deR3 dont M est la matrice dans la base canonique, et g∈L(R3) tel queg3=f. Montrer que g◦f =f ◦g. En d´eduire que les vecteurs propres def sont aussi des vecteurs propres pourg.
Quelles possibilit´es a-t-on pour les valeurs propres associ´ees ?
3. R´esoudre l’´equation B3=AdansMn(C). Calculer la somme et le produit des solutions.