Université Paris-Sud 11 • Centre d’Orsay • L2 Physique
Math 255 : Calcul différentiel pour la physique (2013-2014)
Durée 2 heures
Documents et matériels électroniques intérdits
Partiel du 22 octobre
Barème indicatif : 5, 6, 8, 4
Les résultats seront disponibles sur la page web : http://math255.free.fr courant les vacances Questions
1. Calculer le déterminant
0 1 0 1
√2013 −11 2 99
0 2 0 3
1 1 0 1
.
2. Soitf :R2 → R2 l'application dénie par f(x1, x2) = (x1, x1+x2). Ecrire la matrice de f dans la base (~v1, ~v2),~v1 = (0,1),~v2 = (1,1).
3. Calculer l'aire du triangle dont les sommets sont A(1,1), B(2,3) etC(3,6). 4. CalculerA−1 pour A= 0 3
−1 9
! .
5. Soit f : R3 → R, f = f(x1, x2, x3), une fonction de classe C1. Donner la dénition du gradient de f.
Exercice 1.
1. SoitA une matrice2×2symétrique à coecients réels. Montrer que les deux conditions suivantes sont équivalentes :
(a) A possède une seule valeur propre,
(b) A est de la forme A=αI avec un α∈R (I est la matrice identité).
Pour les deux questions suivantes : Soient a, b, c ∈ R xés. On considère la fonction f(x1, x2) = ax21+ 2bx1x2+cx22.
2. Soit~v = (v1, v2)un vecteur propre de la matrice
M = a b
b c
! .
Calculer la limitelimt→0
f(v1t, v2t) kt~vk2 .
3. Démontrer (par exemple, en utilisant les deux questions précedentes) : La limite lim
(x1,x2)→(0,0)
f(x1, x2) x21 +x22 existe si et seulement si a=c etb = 0.
Exercice 2. On considère la matrice
A= 5 −2
−2 2
!
1. Calculer les valeurs propres de A.
2. Construire une base orthonormée de vecteurs propres deA. 3. Dessiner la courbe de l'équation 5x2−4xy+ 2y2 = 1. 4. Trouver toutes les solutions réelles du système diérentiel
(x0(t) = 5x(t)−2y(t), y0(t) = −2x(t) + 2y(t).
5. Trouver une solution particulière du système
(x0(t) = 5x(t)−2y(t) + 34e2tsint, y0(t) =−2x(t) + 2y(t).
Exercice 3. On considère la fonction f(x, y) = (x+y)2 +x4+y4. 1. Calculer les dérivées partielles premières de f.
Pour les deux questions suivantes : Soit (a, b) ∈ R2. On note Πa,b le plan tangent au graphe de f en point a, b, f(a, b)
. 2. Donner l'équation deΠ1,0.
3. Trouver tous les points(a, b)∈R2 pour lesquels le plan Πa,b est parallèle au plan Oxy.
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