v1/v v2/v1doncv n’est pas g´eom´etrique

TS 8 Interrogation 1A : Correction 8 septembre 2015 Exercice 1 :

Pour les suites suivantes, conjecturer puis d´emontrer leur nature. Le cas ´ech´eant, on donnera la raison et le premier terme

1. u_n= 4n+ 3 2. v_n= 3n²+ 5 3. wn= ³₅²ⁿ⁺¹2n+3

Solution: usemble ˆetre une suite arithm´etique.

u_n+1= 4(n+ 1) + 3 = 4n+ 4 + 3 =u_n+ 4.uest donc arithm´etique de raison 4.

v ne semble ˆetre ni arithm´etique, ni g´eom´etrique.

v₀= 5,v₁= 8 etv₂= 17.v₂−v₁= 96= 3 =v₁−v₀ doncvn’est pas arithm´etique.

v1/v0= ⁸₅ 6=¹⁷₈ =v2/v1doncv n’est pas g´eom´etrique.

wsemble ˆetre g´eom´etrique.

w_n+1=³₅^2(n+1)+3_2(n+1)+1 = ³₅²ⁿ⁺³_2n+1^×3_×5²₂ = ₂₅⁹w_n.w est une suite g´eom´etrique de raison ₂₅⁹

Exercice 2 :

1. On sait qu’une suiteuest arithm´etique de raison 2 et telle queu3= 5. En d´eduireu0. Solution: u_n =u₃+ 2(n−3) = 5 + 2n−6 = 2n−1, doncu₀=−1

2. On sait qu’une suitev est g´eom´etrique telle quev₃= 9 etv₅= 81 en d´eduirev₀ Solution:

v5

v₃ = 9 = 3², la raison est donc 3 ou−3. Doncv0=v3×₃¹3 = ¹₃ ouv0=−¹₃. 3. On sait qu’une suitewest arithm´etique de raison −2 et telle que w0= 10. Calculer

9

X

i=0

wi

Solution: w9= 10 +−2×9 =−8 doncP

i= 0⁹wi= 10×¹⁰⁻⁸₂ = 10 Exercice 3 :

Soitula suite d´efinie pour tout entiernparu_n+1= 2u_n−3 etu₀= 1.

1. Calculeru1 etu2.

Solution: u1=−1 etu2=−5

2. On posev la suite d´efinie parvn =un−3. D´emontrer que vest g´eom´etrique.

Solution: vn+1=un+1−3 = 2un−3−3 = 2un−6 = 2(un−3) = 2vn

v est donc g´eom´etrique de raison 2 et de premier terme v₀=u₀−3 =−2 doncv_n =−2×2ⁿ 3. Exprimer v_n en fonction denpuisu_n en fonction den.

Solution:

un=vn+ 3 =−2×2ⁿ+ 3.

4. D´eterminer en fonction den

n

X

i=0

vi, en d´eduire

n

X

i=0

ui. Solution:

Pn

i=0vn=v0×2ⁿ⁺¹−1

2−1 =−2× 2ⁿ⁺¹−1 et Pn

i=0u_n =Pn

i=0(v_n+ 3) =Pn

i=0v_n+Pn

i=03 =−2× 2ⁿ⁺¹−1

+ 3(n+ 1)