UNIVERSIT ´E JOSEPH FOURIER, L3B MATH ´EMATIQUES, ALG `EBRE 2014/2015
Contrˆ ole Continu N
o1 - 10/10/2014
Exo 1. Soient G et G0 deux groupes, et soit f :G→G0 une applica- tion.
1) Que signifie “f est un morphisme de groupes” ? 2) On suppose que f est un morphisme de groupes.
2.a) Rappeler la d´efinition du noyau ker(f) de f.
2.b) Montrer que f est injectif si et seulement si ker(f) = {eG}.
Exo 2. On consid`ere l’ensemble G = {f ∈ O(R2) | f(R) = R} des isom´etries vectorielles du plan euclidien usuelR2 conservant le rectangle R = {(x, y) ∈ R2 | |x| ≤ 2,|y| ≤ 1}. On rappelle que O(R2) est constitu´e des rotations de centre (0,0) et des sym´etries ayant pour axe une droite passant par (0,0).
1) Montrer que G est un sous-groupe de O(R2).
A partir d’ici, on admettra que G={IdR2, r, s1, s2}o`ur est la rotation d’angleπet de centre (0,0), et o`us1 ets2sont les sym´etries par rapport
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a l’axe des abscisses et des ordonn´ees respectivement.
2) D´eterminer l’ordre des ´el´ements deG. Montrer queG est commu- tatif.
3) Montrer que G est isomorphe `a Z/2Z×Z/2Z. 4) Le groupe Gest-il cyclique ?
Exo 3. On travaille dans cet exercice dans le groupe Q, muni de l’addition usuelle.
1) Montrer que le sous-groupe de Q engendr´e par 12 et 13 est ´egal `a
1
6Z={k6 | k ∈Z}.
2) Montrer que le groupe Qn’admet pas de partie g´en´eratrice finie.
Exo 4. Soit Gun groupe et soient H et K deux sous-groupes de G.
1) Consid´erons les ensembles HK ={xy | x ∈ H, y ∈ K} et KH = {y0x0 | x0 ∈ H, y0 ∈ K}. Montrer que HK est un sous-groupe de G si et seulement si HK =KH.
2) Montrer que si H et K sont finis alors |HK|= |H|·|K||H∩K|.
Exo 5. 1) SoitGun groupe et soientH etK deux sous-groupes finis de G tels que |H|=|K|=p est premier. Montrer que si H 6=K alors H∩K ={eG}.
1
2
2) Soit G un groupe fini d’ordre 35.
2.a) On suppose G cyclique. Montrer que G contient au moins un
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el´ement d’ordre 5 et un ´el´ement d’ordre 7.
2.b) On suppose que Gn’est pas cyclique. Montrer queGcontient au moins un ´el´ement d’ordre 5 et un ´el´ement d’ordre 7. On pourra utiliser (et admettre le cas ´ech´eant) la question 1) de cet exercice.
