1ère Spécialité Lundi 20 janvier 2020 NOM : ……… Durée : 1h50
Devoir surveillé n°2
Calculatrice autorisée
Exercice 1
: (5 points)1. La suite () est une suite arithmétique de raison et de premier terme . On donne : = 89 et = 250.
a) Déterminer la raison et le premier terme . b) Calculer .
2. Calculer la somme :
= 4 + 6 + 8 + ⋯ + 308
3. La suite () est une suite géométrique de raison > 0 et de premier terme . On donne : = 225 et = 506,25.
a) Déterminer la raison et le premier terme . b) Calculer = + + ⋯ +
On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée à l’unité près.
Exercice 2
: (4,5 points)Le directeur d’une réserve marine a recensé 3 000 cétacés dans cette réserve au 1 ! juin 2017. Le classement de la zone en « réserve marine » ne sera pas reconduit si le nombre de cétacés devient inférieur à 2 000.
Une étude lui permet d’élaborer un modèle selon lequel, chaque année :
• Entre le 1er juin et le 31 octobre, 80 cétacés arrivent dans la réserve ;
• Entre le 1er novembre et le 31 mai, la réserve perd 5% de son effectif par rapport à celui du 31 octobre qui précède.
Selon ce modèle, pour tout $ ∈ ℕ, désigne le nombre de cétacés au 1 !juin de l’année 2017 + $.
On a donc = 3 000.
1. Justifier que = 2 926.
2. Justifier que, pour tout nombre entier naturel $,
' = 0,95+ 76
3. On désigne par () la suite définie, pour tout nombre entier naturel $, par = − 1 520.
a) Démontrer que la suite () est géométrique de raison 0,95 dont on précisera le premier terme.
b) En déduire que, pour tout nombre entier naturel $,
= 1480 × 0,95+ 1 520
4. Recopier puis compléter l’algorithme suivant afin de déterminer l’année à partir de laquelle le nombre de cétacés dans la réserve sera inférieur à 2 000.
1ère Spécialité Lundi 20 janvier 2020 NOM : ……… Durée : 1h50
Exercice 3
: (6,5 points)On se place dans un repère orthonormé.
1. On donne les points suivants : *(1; −2), ,(2; -) et .(4; 2 − -) où - est un paramètre réel.
a) Déterminer *,/////⃗. *./////⃗ en fonction de -.
b) Déterminer les valeurs de - pour que le triangle *,. soit rectangle en *.
2. On donne les points : 1(1; 3), 2(−2; −1) et 3(3; 1).
a) Déterminer 21/////⃗. 23/////⃗.
b) En déduire cos (1237) puis une valeur approchée au degré près de 1237. c) Soit 8 le projeté orthogonal de 1 sur [23].
Calculer 28. (Arrondir au dixième près)
d) Déterminer l’ensemble des points ; qui vérifie :
;1//////⃗. ;3//////⃗ = 0
Exercice 4
: (4 points)1. Soit < la fonction définie sur ℝ\?−2@ par :
<(A) = 3 2 + A
a) Donner le taux de variation de < entre 1 et 1 + ℎ . (ℎ ≠ 0 DE ℎ ≠ −3) b) En déduire que < est dérivable en 1 et calculer <′(1).
2. Soit G la fonction définie sur ℝ par :
G(A) = 5A− 3A + 2 En utilisant la même méthode qu’à la question 1, calculer G′(−1).
