Universit´e Paris XII Licence ´Economie-Gestion
Math´ematiques Tronc commun, semestre 3
8. Valeurs propres et vecteurs propres
Exercice 1 — Calculer les valeurs propres et les vecteurs propres des matrices suivantes. Sont-elles diagonal- isables ? Trigonalisables ?
A=
5 −2 8 −2
B=
5 −2 8 −3
C=
5 −2 8 −5
D=
1 2 3 0
E=
0 1
−1 0
F =
1 2 1 1
G=
0 1
−1 5
H =
1 1 0 a
J =
1 a 0 1
K=
1 1 1 a
L=
1 0 2 0 5 0 3 0 2
M =
1 1 1 1 1 1 1 1 1
N =
4 1 1 2 4 1 0 1 4
P =
1 1 1
0 −1 0
−3 0 1
Q=
2 −5 −3
−1 −2 −3
3 15 12
R=
3 −1 0
−1 2 −1
0 −1 3
S=
4 6 0
−3 −5 0
−3 −6 −5
T =
1 2 −12
−1 −2 6
0 0 2
U =
2 0 4
3 −4 12 1 −2 5
V =
4 −2 2
0 1 0
1 0 1
W =
1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1
Exercice2 — Diagonaliser la matrice
A=
1 1 1 0 2 2 0 0 3
.
En d´eduireAn pourn∈N.
Exercice3 — On consid`ere l’application lin´eairef :R3→R3 donn´ee par
f(x, y, z) = (−2x−4y+ 4z,7x+ 12y−7z,7x+ 10y−5z).
(1) ´Ecrire la matrice de l’applicationf dans la base canonique (e1, e2, e3).
(2) Soit v1= (1,0,1),v2= (0,1,1) etv3= (−1,1,1). Montrer que (v1, v2, v3) est une base deR3. (3) ´Ecrire la matrice def dans la base (v1, v2, v3).
(4) Exprimerf(v1),f(v2) etf(v3) en fonction dev1,v2 etv3. (5) En d´eduire que l’endomorphismef est diagonalisable.
Exercice4 — On consid`ere les matrices A=
11 38 10
−3 −10 −3
6 22 7
, B=
9 42 9
−4 −19 −4
8 38 8
.
(1) Montrer queAet B sont diagonalisables dans lamˆeme base.
(2) En d´eduire queA etB commutent (c’est-`a-dire queAB=BA).
1
Exercice5 — Montrer que AettAont les mˆemes valeurs propres.
* Exercice6 — On rappelle que sixest un r´eel alors exp(x) =P+∞
n=0 xn
n!. Par analogie, siA est une matrice carr´ee on d´efinit (avec la conventionA0= I)
exp(A) =
+∞
X
n=0
1 n!An. (Voir l’exercice 8 de la feuille de TD “Matrices carr´ees”.)
(1) On suppose que A est diagonalisable : P−1AP =D avec D diagonale. Donner la diagonalisation de An.
(2) En d´eduire une expression de exp(A) faisant intervenir les exponentielles des valeurs propres deA.
(3) Application : calculer
exp 3 0
1 2
.
Exercice7 — SoitA une matrice carr´ee de taillen. Soitλune valeur propre deA.
(1) Montrer queλ2est valeur propre de A2.
(2) Montrer que siAest inversible, alors λ6= 0 et λ1 est valeur propre deA−1. (3) Montrer queλ+ 1 est valeur propre deA+ In.
Exercice8 — Poura∈Ron pose
M(a) =
6 2 0
2 3 0
a2−7a a−7 a
.
(1) Pour quelles valeurs deala matriceM(a) est-elle diagonalisable ? (2) CalculerM(2)n pour tout entier naturel n.
Exercice9 — Soit
A=
5 −1 −1
2 2 −1
2 −1 2
. (1) (a) Trouver les valeurs propres de A.
(b) La matriceA est-elle inversible ? (c) Est-elle diagonalisable ?
(2) On pose B=A−3I3. (a) CalculerB2.
(b) En d´eduire, pour tout entier naturel n, An en fonction den.
