UNIVERSIT´E de SAVOIE Ann´ee 05-06 Introduction au calcul scientifique FEUILLE DE TP 1 : Prise en main
Exercice I on note
u1 =
1 2 3
, u2 =
−5 2 1
, u1 =
−1
−3 7
.
1) D´efinir ces vecteurs sous Matlab et calculezu1+u2, u1+ 3u2−5u3, u3/5.
2) Utilisez les fonctions d’aidehelpoulookforafin de calculer les normes||u1||2,||u2||1,||u3||∞. 3) Calculez le cosinus de l’angle form´e par les vecteursu1 et u2.
Exercice IICalculez les d´eterminants, inverses, valeurs propres et vecteurs propres (eigenvalues eteigenvectors en anglais) des matrices suivantes :
A=
2 3 6 5
, B =
2 3 4 7 6 5 2 8 7
.
Exercice III Soient :
A =
5/8 −1/4 1/8
1/4 0 1/4
1/8 −1/4 5/8
, b =
1
−1 1
, u0 =
5 2
−4
.
On consid`ere la suite de vecteurs d´efinie par
un+1 =Aun+b.
1) Calculez les premiers termes de la suite un, qu’observez vous ? 2) Mˆeme question avec
A=
5 6 3
−1 5 −1
1 2 0
, b=
1
−1 1
, u0 =
2 1 0
.
3) Interpr´etez ces r´esultats.
1
Exercice IV En utilisant les instructions break et continue, ´ecrire une fonction nomm´ee premiers dont l’en-tˆete est :
function p = premiers(n)
qui pour un entier n > 2, renvoie le vecteur des nombres premiers inf´erieurs ou ´egaux `a n.
Comparez votre routinue avec la routine Matlab primes.
Exercice VEcrire un script qui repr´´ esente sur un mˆeme graphique, la fonction f(x) = cos(x) et les fonctionsfn(x) :
fn(x) = 1 +
n
X
k=1
(−1)k x2k (2k)!
pourn variant de 1 `a 8, et x∈[−π, π].
Exercice VIOn consid`ere la matrice tridiagonale d’ordre n suivante :
A=
2 −1
−1 2 −1 . .. ... ...
−1 2 −1
.
1) Que font les instructions suivantes :
S=[eye(n) zeros(n,1)] ; S=S( :,2 :(n+1)) ; A=2*eye(n)-S-S’ ; 2) Mˆemes questions pour :
D=diag(ones(n,1)) ; SD=diag(ones(n-1,1),1) ; A=2*D-SD-SD’ ;
3) ´Ecrire une fonction qui construit la matrice An pour n quelconque et qui r´esoud le syst`eme lin´eaire Ax = b. `A l’aide des fonctions tic et toc ou cputime, mesurez le temps d’ex´ecution de cette fonction.
Matlab offre la possibilit´e de travailler avec des matrices creuses. ´Ecrire une fonction analogue
`
a la pr´ec´edente qui travaille en stockage creux.
4) Tracez sur deux graphiques diff´erents l’´evolution du temps d’execution de chacune de ces fonctions en fonction de la dimension de la matrice An. Qu’en concluez vous ?
5) Proposez une m´ethode experimentale pour ´etudier la positivit´e d’une matrice.
