Universit´e Paris Diderot MT1
Licence 1`ere ann´ee Ann´ee 2008-09
EXAMEN du 5 janvier 2009 Dur´ee : 3 h
L’usage de tout appareil ´electronique est interdit. Il est n´ecessaire de justifier les r´eponses. Ne pas donner de r´eponse `a une question est pr´ef´erable `a une r´eponse absurde.
Exercice 1
Donner un exemple d’applicationR→Rqui est injective mais pas surjective.
Exercice 2
Donner le module, un argument, les parties r´eelles et imaginaires des nombres complexes z qui v´erifient z3= 2i.
Exercice 3
Posons, dansR3, u1 = (1,1,2), u2 = (1,2,1), u3 = (0,1,−1), v1 = (2,1,1), v2 = (1,1,2), v3 = (1,0,−1).
NotonsE etF respectivement les espaces vectoriels engendr´es par les familles (u1, u2, u3) et (v1, v2, v3).
1. Les familles (u1, u2, u3) et (v1, v2, v3) sont-elles libres ? 2. Donner des bases et les dimensions deE etF.
3. Donner des bases et les dimensions deE∩F etE+F.
4. Les sous-espaces vectorielsE etF sont-ils suppl´ementaires dansR3 ? Exercice 4
Consid´erons la fonctionf : [−1,1]→Rqui `axassocie√
1 +x4−√ 1−x4. 1. Justifier le domaine de d´efinition def.
2. La fonctionf est-elle continue ?
3. Montrer que f est d´erivable sur ]−1,1[ et calculer f0. Est-elle d´erivable en 1 et −1 ? D´eterminer {x∈]−1,1[/f0(x) = 0}.
4. Tracer le graphe def et donner le tableau de variation. Quelle est l’image def ? 5. Rappeler quel est le d´eveloppement limit´e `a l’ordre 2 dex7→√
1 +xen 0.
6. En d´eduire le d´eveloppement limit´e `a l’ordre 8 def en 0.
Exercice 5 Soitf la fonctionR−→Rqui `a xassocie sin (x)/(1 +x2).
1. D´emontrer quef est born´ee, continue et d´erivable surR. Est-elle de classeC∞ ?
2. En quels pointsf est-elle nulle ? D´emontrer que la d´eriv´ee def s’annule trois fois au moins sur l’intervalle [0,3π].
3. En d´eduire que la d´eriv´ee seconde de f s’annule deux fois au moins sur l’intervalle [0,3π] puis que la d´eriv´ee troisi`eme def s’annule sur l’intervalle [0,3π].
4. Rappeler quel est le d´eveloppement limit´e `a l’ordre 5 de la fonction sinus en 0. D´eduire de cela un d´eveloppement limit´e `a l’ordre 5 de f en 0.
Exercice 6
Soitk ∈ {1,2,3}. Consid´eronsγk : R→R2 qui `a tassocie (x(t), y(t)) = (t3, tk). Tracer la courbe de γk. Pour quelles valeurs dek cette courbe admet-elle un point de rebroussement ?
