Universit´e d’Orl´eans 9 Mai 2017 D´epartement de Math´ematiques
L4MT06 Alg`ebre bilin´eaire et espaces euclidiens
Examen Premi`ere Session
dur´ee : 2 heures
Documents et appareils ´electroniques interdits
La qualit´e de la r´edaction et de la pr´esentation, la clart´e et la pr´ecision des raisonnements constitueront un ´el´ement important pour l’appr´eciation des copies.
Questions de cours :
1. Enoncer le th´eor`eme de Sylvester sur les formes quadratiques r´eelles.
2. Enoncer l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz.
Exercice 1
Soit E = R4 muni de son produit scalaire usuel et de B0 = (1, 2, 3, 4) sa base canonique. On consid`ere les vecteurs
u1 =1, u2 =1+3, u3 =1+2+3−4
et F = Vect(u1,u2,u3) le sous-espace vectoriel engendr´e par ces vecteurs.
1. (a) Montrer que la famille (u1,u2,u3) est libre.
(b) D´eterminer une base orthogonale de F.
(c) D´eterminer la projection orthogonale de u=1+2 sur F. 2. On consid`ere la forme quadratique q d´efinie sur E par :
q(x, y, z, t) =x2+z2+t2+ 2xz+ 2xt+ 4yz+ 6zt.
(a) D´eterminer la matrice de q dans la base B0.
(b) D´eterminer le q-orthogonal deF. Quelle est sa dimension ?
(c) Que peut-on en d´eduire sur la d´eg´en´erescence de la forme quadratique q? 3. (a) D´eterminer la signature, le rang et le noyau de q.
(b) D´eterminer une base de E qui soit q-orthogonale.
Exercice 2
SoientE un espace vectoriel r´eel de dimension finienetq0, q :E →Rdeux formes quadratiques sur E. On suppose queq0 est d´efinie positive.
1. Justifier l’existence d’une base B0 de E qui soit q0-orthonormale.
2. Soit A = MatB0(q) la matrice de q dans la base B0. Justifier l’existence d’une matrice orthogonaleP telle que D = tP AP soit une matrice diagonale.
3. En d´eduire l’existence d’une base B de E qui soit `a la fois q0-orthonormale et q-orthogonale.
4. Soient E = R2 et q0 et q donn´ees par q0(x, y) = x2 +y2 et q(x, y) = 2xy.
D´eterminer une base Bqui soit `a la foisq0-orthonormale etq-orthogonale. Donner l’expression de q0 et de q dans cette base.
Exercice 3
On munit R3 de sa structure usuelle d’espace vectoriel euclidien orient´e. On consid`ere l’endomorphismef de R3 d´efini par la matrice :
A= 1 3
2 −1 2
2 2 −1
−1 2 2
1. L’endomorphisme f est-il sym´etrique ? Montrer que f est un endomorphisme orthogonal.
2. Donner une description g´eom´etrique compl`ete de cet endomorphisme.
3. Donner une base orthonorm´ee deR3 dans laquelle la matrice def a une forme r´eduite. Donner la matrice de f dans cette base.
Exercice 4
SoitE =C([−π, π],R) l’espace vectoriel des fonctions `a valeurs r´eelles d´efinies et continues sur l’intervalle [−π, π]. On le munit du produit scalaire
hf, gi= 1 π
Z π
−π
f(t)g(t)dt.
On consid`ere les fonctions e1 :t 7→1/√
2, e2 :t7→cost et e3 :t7→sint.
1. Montrer que la famille (e1, e2, e3) est orthonormale.
2. Justifier que (e1, e2, e3) est une base du sous-espace vectoriel F engendr´e par e1, e2 et e3.
3. Soitf ∈E. Donner l’expression de la projection orthogonalePF(f) def surF dans la base (e1, e2, e3). Donner l’expression dekPF(f)k2.
4. D´eterminer a0, a1, b1 tels que
Z π
−π
|t− a0
√2 −a1cost−b1sint|2dt= inf
(α,β,γ)∈R3
Z π
−π
|t− α
√2 −βcost−γsint|2dt
5. Calculer la distance d(f, F) de la fonction f :t7→t au sous-espace vectorielF.
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