Universit´e Grenoble Alpes L2 Sciences 2017-2018 Unit´e d’Enseignement MAT 301
Feuille de TD 2 Applications lin´eaires.
Exercice 1
(compl´ement de cours)
Soit f :E →F une application lin´eaire entre espaces vectoriels de dimension finie.
1. Montrer que f est injective si et seulement si il existe une base B de E dont l’image par f est une famille libre de F.
2.Montrer que f est injective si et seulement si l’image de toute base deE est une famille libre deF.
3. Montrer que f est surjective si et seulement si il existe une base B de E dont l’image par f est une famille g´en´eratrice de F.
4. Montrer que f est surjective si et seulement si l’image de toute base de E est une famille g´en´eratrice de F.
5. Montrer que f est bijective si et seulement si il existe une base B de E dont l’image par f est une base de F.
6. Montrer que f est bijective si et seulement si l’image de toute base deE est une base de F. 7. En d´eduire que si f est bijective, alors dimE = dimF.
Exercice 2
1. Donner un endomorphisme f : R2 → R2 pour lequel Kerf et Imf ne sont pas en somme directe.
2. Donner un endomorphisme f :R2 →R2 pour lequel R2 = Kerf⊕Imf. Sous-espaces stables par un endomorphisme.
On rappelle qu’un sous-espace S d’un espace vectoriel E est dit stable par un endomorphisme f :E →E si f(S)⊂S.
Exercice 3
On consid`ere l’application lin´eaire suivante :
f :R3 →R3, (x, y, z)7→(3x+ 2y−2z, z,4x+ 3y−2z) 1. Donner la matrice de f dans la base canonique de R3.
2. Les sous-espaces vectoriels suivants sont-ils stables par f ?
a. A = vect((1,−1,0)) b. B = vect((1,−1,1)) c. C = vect((0,1,1)) d. D= vect((0,1,1),(1,0,1)) e. E = vect((1,0,1))
3. Montrer que R3 =B⊕D et que B = ((1,−1,1),(0,1,1),(1,0,1)) est une base de R3. 4. Montrer qu’aucun suppl´ementaire de C dans D n’est stable parf et d´eterminer la matrice def|D dans la base B|D = ((0,1,1),(1,0,1)) deD.
5. D´eterminer la matrice de f dans la baseB.
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Exercice 4
On consid`ere l’application lin´eaire suivante :
f :R3 →R3, (x, y, z)7→(x+y−z,−2x−y+ 2z, y) 1. Donner la matrice de f dans la base canonique de R3.
2. Montrer que les sous-espaces vectoriels suivants sont stables par f : a. A = vect((1,0,1)) b. B = vect((0,1,1),(1,1,3))
3. Montrer que B se d´ecompose comme somme directe de deux sous-espaces stables par f.
4. a. Montrer que R3 est somme directe de trois droites stables par f.
b. D´eterminer la matrice def dans une base de R3 adapt´ee `a cette d´ecomposition en somme directe (c’est-`a-dire une base de R3 form´ee de la r´eunion de bases de chacune des droites).
Exercice 5
Soit f : E →E un endomorphisme. On note f0 = Id et par r´ecurrence pour tout entierp, on note fp+1 =fp◦f.
1. Montrer que Kerf ⊂Kerf2 ⊂...⊂Kerfp ⊂...et que chacun de ces sous-espaces vectoriels deE est stable par f.
2. Montrer que Ker(Id +f), Ker(2 Id−f +f2) sont stables par f.
3. Montrer que pour tout entier p on a Imfp+1 ⊂ Imfp et que ces sous-espaces sont stables par f.
Exercice 6
Soit f un endomorphisme de Rn v´erifiant f2−3f+ 2 Id = 0. Montrer que Rn = Ker(f−Id)⊕ Ker(f −2 Id) et que ces deux noyaux sont stables parf.
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