} est inclus dans ker f . Pour k ∈ N

(1)

MPSI B Année 2017-2018. Corrigé DM 13 le 08/03/18 29 juin 2019

Préliminaires

1. Comme f

⁰

est l'identité, son noyau {0

_V

} est inclus dans ker f . Pour k ∈ N

^∗

,

∀x ∈ V, x ∈ ker f

^k

⇒ f

^k

(x) = 0

V

⇒ f f

^k

(x)

= f (0

V

) = 0

V

⇒ x ∈ ker f

^k+1

Ce qui montre la chaîne d'inclusions demandée.

2. Soit p un entier tel que ker f

^p

= ker f

^p+1

, nous allons montrer que ker f

^p+2

⊂ ker f

^p+1

Cela entrainera que ker f

^p

= ker f

^p+1

= ker f

^p+2

à cause de l'inclusion toujours valide ker f

^p+1

⊂ ker f

^p+2

. On peut alors déduire par récurrence l'égalité de tous les noyaux suivants.

Il s'agit donc de montrer que ker f

^p+2

⊂ ker f

^p+1

. Cela résulte de

∀x ∈ V, x ∈ ker f

^p+2

: f

^p+1

(f (x)) = 0

_V

⇒ f (x) ∈ ker f

^p+1

= ker f

^p

⇒ f

^p+1

(x) = f

^p

( f (x

|{z}

∈kerf^p

)) = 0

V

⇒ x ∈ ker f

^p+1

3. On suppose que V est de dimension nie, tous les sous-espace de V sont alors de dimension nie. La suite dim ker f

^k

k∈N

dénit une fonction croissante de N dans l'ensemble ni J 0, dim V K. Une telle suite ne peut pas être strictement croissante car elle serait injective. Il existe donc des entiers k tels que dim f

^k

< dim f

^k+1

soit faux ce qui entraine dim f

^k

= dim f

^k+1

car dim f

^k

≤ dim f

^k+1

. Soit p le plus petit de ces k . Il vérie

0 = dim(ker f

⁰

) < dim(ker f

¹

) < · · · < dim(ker f

^p

) = dim(ker f

^p+1

) ≤ dim V = n Comme les premières inégalités sont strictes et qu'il y en a p , on obtient

p ≤ dim(ker f

^p

) ≤ n

D'après un résultat de cours sur les sous-espaces en dimension nie : dim(ker f

^p

) = dim(ker f

^p+1

)

ker f

^p

⊂ ker f

^p+1

)

⇒ ker f

^p

= ker f

^p+1

L'égalité se propage alors (d'après 2.) à tous les k ≥ p parmi lesquels gure n ce qui entraine ker f

ⁿ

= ker f

ⁿ⁺¹

.

4. Dans cette question, l'endomorphisme u est nilpotent. D'après la question précédente, la suite croissante des ker u

^k

se stabilise avant n à sa valeur nale qui est V tout entier. On en déduit qu'il existe un p ≤ n tel que V = ker u

^p

.

On en tire que V = ker u

ⁿ

c'est à dire que u

ⁿ

est l'endomorphisme nul.

Partie I.

1. a. La relation g

_n²

= λId

_E_n

+ D

_n

(entre des éléments de L(E

_n

) ) permet d'exprimer D

n

en fonction de g

n

:

D

n

= −λId

E_n

+ g

²_n

Sous cette forme, il est évident que D

_n

commute avec g

_n

.

Pour montrer qu'un sous-espace E

_p

(avec 0 ≤ p ≤ n ) est stable par g , on remarque que c'est un noyau. En eet :

E

p

= R

p

[X ] = ker D

^p+1_n

Comme g

_n

commute avec D

_n

, il commute aussi avec les puissance de D

_n

. En particulier

x ∈ E

p

= ker D

_n^p+1

⇒ D

_n^p+1

(g

n

(x)) = g

n

(D

^p+1_n

(x)) = g

n

(0

E_n

) = 0

E_n

⇒ g

n

(x) ∈ ker D

^p+1_n

= E

p

Une fois prouvée la stabilité de E

p

par g

n

, on peut considérer la restriction g

p

de g

n

à E

p

. Elle vérie évidemment la même relation que g

n

.

b. Le raisonnement est le même que pour la question précédente. Le fait que E ne soit pas de dimension nie ne change rien. Si g vérie la relation, il commute donc avec l'opérateur de dérivation.

Comme plus haut, E

n

est stable par g car c'est un noyau d'une puissance de D

n

et la restriction g

_n

de g vérie la même relation avec la restriction D

_n

de D . 2. a. L'opérateur D

_F

est la restriction à F de l'opérateur de dérivation. Comme F est

de dimension nie, il existe un entier k qui est le degré maximal d'un polynôme quelconque de F . Alors D

^k+1_F

est nul.

D'après la partie préliminaire, comme D

_F

est nilpotent dans un espace de dimen- sion n + 1 , l'endomorphisme D

ⁿ⁺¹_F

est nul. Ceci montre que F ⊂ R

n

[X ] . Comme les deux espaces sont de même dimension, ils sont égaux.

On peut en conclure que les seuls sous-espaces de dimension nie stables par D sont les R

n

[X ] .

Un seul sous-espace de dimension innie est stable par D , il s'agit de R [X ] lui même. En eet, un tel espace doit contenir des polynômes de degré arbitrairement grand (sinon il serait de dimension nie) et tous leurs polynômes dérivés.

b. Soit G un sous-espace de E . Supposons G stable par g et exploitons la relation fondamentale pour montrer que G est stable par D .

∀P ∈ G, D(P ) = g

²

(P )

| {z }

∈G

− λP

|{z}

∈G

∈ G

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1

Rémy Nicolai M1713C

(2)

MPSI B Année 2017-2018. Corrigé DM 13 le 08/03/18 29 juin 2019

Réciproquement, supposons G stable par D . D'après la question précédente (I.1.b) G = R [X ] ou il existe n ∈ N tel que G = E

n

.

Si G = R [X] , il est évidemment stable par g .

Si G = E

_n

, on a montré en I.1.b que E

_n

= ker D

ⁿ⁺¹

est stable par g . 3. Cas λ < 0 .

a. Dans E

0

= R qui est un espace de dimension 1, les seules applications linéaires sont les multiplications par un scalaire et D

0

est l'application nulle. S'il existe un g

₀

(la multiplication par un µ ∈ R) vériant la relation, on peut écrire

g

²₀

= λId

_E₀

+ D

₀

⇔ µ

²

= λ ⇒ λ ≥ 0

La condition nécessaire à l'existence d'un g

0

vériant la relation est donc λ ≥ 0 . b. D'après 1.a., lorsqu'il existe un entier n et un g

n

∈ L(E

n

) vériant la relation,

tous les sous-espaces E

p

avec p ∈ J 0, n K sont stables par g

n

. D'après 1.b., lorsqu'il existe un g dans L(E) vériant la condition, tous les sous-espaces E

p

avec p entier sont stables par g .

Dans les deux cas, E

0

est stable donc λ ≥ 0 . Ainsi, lorsque λ < 0 , il n'existe pas d'application g vériant la condition étudiée, ni dans L(E) , ni dans un L(E

n

) . 4. a. Soit f linéaire de V dans V telle que f

ⁿ⁺¹

soit nulle mais pas f

ⁿ

. Il existe alors

un y ∈ V tel que

f

ⁿ

(y) 6= 0 Montrons que B = (y, f(y), · · · , f

ⁿ

(y)) est libre.

Si (λ

₀

, λ

₁

, · · · λ

_n

) sont des réels tels que

λ

₀

y + λ

₁

f (y) + · · · + λ

_n

f

ⁿ

(y) = 0

en composant par f

ⁿ

, on obtient λ

0

f

ⁿ

(y) = 0 avec f

ⁿ

(y) 6= 0 d'où λ

0

= 0 et ainsi de suite. En composant successivement par f

ⁿ⁻¹

, f

ⁿ⁻²

, · · · on obtient la nullité de tous les coecients. La famille est donc libre.

Cette famille est une base car elle contient autant de vecteurs que la dimension de l'espace.

b. Dans le cas où l'endorphisme nilpotent est la dérivation restreinte à un espace E

n

= R

n

[X ] ,

Y = X

ⁿ

⇒ (Y, D

n

(Y ), · · · , D

_nⁿ

(Y ))

est une base de E

_n

. En fait n'importe quel polynôme de degré n aurait fait l'aaire.

5. Un exemple avec n = 2 et λ > 0 .

a. Il est bien évident que les endomorphismes h de la forme h = a Id

_E₂

+bD

₂

+ cD

²₂

commutent avec D

₂

. On va montrer que ce sont les seuls.

Considérons X

²

∈ R

2

[X ] , la famille (X

²

, D(X

²

), D

²

(X

²

)) = (X

²

, 2X, 2) est une base de E

₂

d'après la question 4.b ou simplement car il s'agit d'une famille de 3 polynômes de degrés échelonnés dans R

2

[X ] . Comme f (X

²

) ∈ E

₂

,

∃(a, b, c) ∈ R

³

tel que f (X

²

) = aX

²

+ bD(X

²

) + cD

²

(X

²

)

Dénissons F ∈ L(E

2

) par F = a Id

E₂

+bD

2

+cD

²₂

et comparons le à f . Pour cela, il sut de les comparer sur les vecteurs d'une base (théorème du prolongement linéaire).

Par dénition de F : f (X

²

) =F (X

²

)

f (D(X

²

)) =D(f (X

²

)) = aD(X

²

) + bD

²

(X

²

) = F (D(X

²

)) car D

³

(X

²

) = 0 f (D

²

(X

²

)) =D

²

(f (X

²

)) = aD

²

(X

²

) = F (D

²

(X

²

))

Les deux fonctions coïncident sur une base, elles sont donc égales.

b. Montrons que Id

E₂

, D

2

, D

₂²

est une famille libre dans L(E

2

) . Considérons des réels α , β , γ tels que

α Id

E₂

+βD

2

+ γD

₂²

= 0

_L(E₂₎

et prenons la valeur de cette expression (endomorphis nul) successivement aux polynômes 1 , X et X

²

. On en tire dans l'ordre α = 0 , β = 0 , γ = 0 . La famille est donc bien libre.

c. On doit chercher les g

2

telles que g

²₂

= λ Id

E₂

+D

2

parmi les applications qui commutent avec D

2

. Cherchons donc des conditions sur a, b, c assurant que

g

2

= a Id

E₂

+bD

2

+ cD

₂²

vérie g

₂²

= λ Id

E₂

+D

2

. Calculons g

²

:

g

²

= a

²

Id

E₂

+2abD

²₂

+ (b

²

+ 2ac)D

₂²

= λ Id

E₂

+D

2

Comme Id

E2

, D

2

, D

²₂

est une famille libre, on peut identier les coecients. On trouve donc exactement deux endomorphismes répondant à la question, l'un étant déterminé par

a =

√

λ, b = 1 2 √

λ , c = − 1 8λ √

λ L'autre étant son opposée.

2

(3)

MPSI B Année 2017-2018. Corrigé DM 13 le 08/03/18 29 juin 2019

Partie II.

1. a. On suppose ici g

²_n

= D

_n

. Comme D

_n

est nilpotent g

_n

l'est aussi. Si un endomor- phisme f est injectif, alors tous les f

^k

le sont également, par conséquent g

_n²

et g

n

ne sont pas injectifs (une de leurs puissance est l'endomorphisme nul). Mais pourquoi ker g

_n²

est-il de dimension au moins 2 ?

Si ce n'était pas le cas, on aurait, avec ker g

n

⊂ ker g

_n²

,

0 < dim(ker g

n

) ≤ dim(ker g

²_n

) < 2 ⇒ dim(ker g

n

) = dim(ker g

²_n

) = 1 La suite des noyaux de g

_n^k

est alors constante dès le premier rang. Mais d'après la partie préliminaire, sa valeur nale est E

n

autrement dit g

n

est nulle ce qui est absurde.

b. Il n'existe pas de g

_n

tel que g

²_n

= D

_n

car le noyau de D

_n

est de dimension 1 (polynômes constants) alors que celui de g

_n²

devrait être au moins 2.

D'après la partie I, si g

²

= D , les espaces E

n

sont stables par g et les restrictions g

n

vérient g

²_n

= D

n

ce qui est impossible.

2. a. Tout polynôme admet plusieurs polynômes primitifs (c'est à dire dont le polynôme dérivé est égal au polynôme donné) qui dièrent d'une constante. L'application D et les applications D

^m

sont donc surjectives.

La surjectivité de g

^k

entraîne celle de g car Im g

^k

⊂ Im g .

b. Pour q ≤ k , ker g

^q

⊂ ker g

^k

= ker D

^m

= E

_m−1

qui est de dimension nie m . On conclut avec le résultat de cours : tout sous-espace d'un espace de dimension nie est de dimension nie.

c. L'application Φ est linéaire car c'est la restriction de g à ker g

^p

. Elle prend ses valeurs dans ker g

^q−1

car

∀x ∈ E, x ∈ ker g

^p

⇒ 0

E

= g

^p

(x) = g

^p−1

(g(x)) ⇒ g(x) ∈ ker g

^p−1

Montrons la surjectivité de Φ .

Soit x ∈ ker g

^p−1

. Comme g est surjective, il existe un y ∈ E tel que x = g(y) et 0

E

= g

^p−1

(x) = g

^p−1

(g(y)) = g

^p

(y)

donc y ∈ ker g

^p

et y est un antécédent par Φ de x .

Ainsi Φ est surjective de ker g

^p

vers ker g

^p−1

de noyau ker g . Le théorème du rang donne alors

dim(ker g

^p

) = dim(ker g

^p−1

) + dim(ker g) La suite des dimensions est arithmétique d'où

dim(ker g

^p

) = p dim(ker g)

3. D'après la question précédente, comme dim(ker D

^m

) = m ,

g

^k

= D

^m

⇒ dim(ker g

^k

) = dim(ker D

^m

) ⇒ k dim(ker g) = m ⇒ k divise m Réciproquement, si k divise m , il existe q ∈ N tel que m = qk . En posant g = D

^q

, on vérie

g

^k

= D

^qk

= D

^m

La condition nécessaire et susante demandée est donc

k divise m

Partie III.

1. a. La fonction ϕ est C

^∞

dans ] − 1, +∞[ , elle admet donc, d'après la formule de Taylor avec reste de Young, des développements limités à tous les ordres.

b. À l'ordre 3 , le développement est usuel : ϕ(x) = (1+x)

¹²

= 1+ 1

2 x− 1 8 x

²

+ 1

16 x

³

+o(x

³

) ⇒ b

₀

= 1, b

₁

= 1

2 , b

₂

= − 1

8 , b

₃

= 1 16 Pour b

k

, on utilise l'expression venant de la formule de Taylor

b

k

= ϕ

^(k)

(0) k! = 1

k! ( 1 2 )( 1

2 − 1)( 1

2 − 2) · · ·

| {z }

kfacteurs consécutifs

= (−1)

^k−1

2

^k

k!

k−1

Y

i=1

(2i − 1)

Le produit étant constitué des impairs entre 1 et 2k − 3 . On le transforme

k−1

Y

i=1

(2i − 1) = (2k − 2)!

pdt des pairs entre 2 et 2k − 2 = (2k − 2)!

2

^k−1

(k − 1)!

On en déduit

b

k

= (−1)

^k−1

(2k − 2)!

2

^2k−1

k! (k − 1)! = (−1)

^k−1

(2k − 1)!

2

^2k−1

(2k − 1)k! (k − 1)! = (−1)

^k−1

2

^2k−1

(2k − 1)

2k − 1 k

c. Pour montrer la formule demandée, il ne faut surtout pas chercher à combiner les coecients du binôme mais utiliser le produit du développement limité par lui même. Pour tout n entier, notons

a

_m

=

m

X

k=0

b

_k

b

_m−k

3

(4)

MPSI B Année 2017-2018. Corrigé DM 13 le 08/03/18 29 juin 2019

En fait a

m

est le coecient de x

^m

dans le développement limité de ϕ(x)

²

= 1 +x . On en déduit que a

m

= 1 pour m = 1 ou 2 et a

n

= 0 pour les autres valeurs.

2. On calcule g

²_n

en utilisant le fait que Id

E_n

et D

n

commutent et que D

_nⁿ⁺¹

est l'endo- morphisme nul :

g

_n²

= X

(k,k⁰)∈J0,nK

2

b

k

b

⁰_k

D

^k+k_n ⁰

Pour m entre 0 et 2n , on regroupe les (k, k

⁰

) tels que k + k

⁰

= m . En fait, seuls les m ≤ n contribuent signicativement car D

_nⁿ⁺¹

est l'endomorphisme nul.

Pour m entre 0 et n , on retrouve les sommes a

m

de la question précédente g

²_n

=

n

X

m=0

a

m

D

^m_n

= D

⁰_m

+ D

m

= Id

E_m

+D

m

3. On cherche à se rapprocher du cas précédent en factorisant par λ lorsqu'il est non nul : λ Id

E_n

+D

n

= λ

Id

E_n

+ 1 λ D

n

En remplaçant D

n

par

¹_λ

D

n

, un calcul analogue au précédent montre que

n

X

k=0

b

k

λ

^k

D

_n^k

!

²

= Id

E_n

+ 1 λ D

n

Si λ > 0 , on peut poser

g

n

= √ λ

n

X

k=0

b

k

λ

^k

D

^k_n

!

qui vérie g

_n²

= λ Id

E_m

+D

m

.

L'expression suivant d'un endomorphisme de E semble n'avoir aucun sens car elle fait intervenir une somme innie

g = √ λ

+∞

X

k=0

b

k

λ

^k

D

_n^k

!

En fait elle dénit bien un endomorphisme car, pour chaque polynôme P , le calcul de g(P ) ne fait intervenir que les k inférieurs ou égaux au degré de P . Si n = deg(P ) , tout se passe dans E

_n

et g(P ) = g

_n

(P ) d'où

g

²

(P ) = g

²_n

(P) = λP + D(P ) Ceci étant valable pour tous les P , on a bien g

²

= λ Id

E