TD d’analyse spectrale 2018-2019
TD5 - Espaces de Hilbert
Exercice 1.
1. On note P2 :=R2[X]∩L2(]−1,1[). Interpr´eter m= min
a,b,c
Z 1
−1
|x3−a−bx−cx2|2dx
comme une distance au sev P2. 2. Calculer la quantit´e pr´ec´edente.
3. De mani`ere g´en´erale, si H est un espace de Hilbert et F un sev ferm´e, alors si x0 ∈H est fix´e, montrer que
max
g∈F⊥,kgk=1hx0, gi=d(x0, F) 4. On s’int´eresse `a
M = max Z 1
−1
x3g(x)dx,
o`u g ∈L2(]−1,1[) est soumis aux contraintes Z 1
−1
g(x)dx= Z 1
−1
xg(x)dx= Z 1
−1
x2g(x)dx= 0;
Z 1
−1
|g(x)|2dx= 1.
Montrer que M =m.
Exercice 2. (Th´eor`eme fondamental du traitement du signal) Soit τx l’op´erateur de translation agissant sur les fonctions r´eelles
(τxf)(y) = f(y−x).
Soit T :L2(RN)→C00(RN) un op´erateur lin´eaire continu, o`u C00(RN) est l’espace des fonctions continues tendant vers 0 `a l’infini, muni de la norme k · kL∞. On suppose queT est invariant par translation :
∀x∈RN, T ◦τx =τx◦T
1. Montrer que τx est une isom´etrie de L2(RN). Donner un exemple d’op´erateur in- variant par translation.
2. Montrer qu’il existe g ∈ L2(RN) tel que T(f) = g ? f, o`u ? d´esigne le produit de convolution. On pourra utiliser la forme lin´eaire ϕ : L2(RN) → C d´efini par ϕ(f) = (T f)(0) et sa repr´esentation.
Exercice 3. (Polynˆomes orthogonaux)
Soit w:R→R∗+ une fonction mesurable telle que
∀n∈N, Z
R
xnw(x)dx <+∞.
On introduit
L2(R, w) :={f :R→R, Z
R
f(x)2w(x)dx <+∞}.
1. Proposer un produit scalaire sur L2(R, w) qui en fasse un espace de Hilbert.
2. Montrer qu’il existe une unique famille (Pn)n∈N de polynˆomes unitaires tels que deg(Pn) =n et
n6=m =⇒ Z
R
Pn(x)Pm(x)w(x)dx= 0.
3. (a) Montrer qu’on peut choisir an et bn tel que deg(Pn+1−(anx+bn)Pn)< n.
(b) Calculer hPn+1−(anx+b)Pn, Pji pour j < n−1.
(c) En d´eduire une relation de r´ecurrence lin´eaire d’ordre 2 pour la suite (Pn)n≥0. 4. On suppose de plus que
∃a >0, Z
R
ea|x|w(x)dx <+∞.
(a) Soit f ∈L2(R, w). On consid`ere F :R→R d´efinie par F(ξ) =
Z
R
e−ixξf(x)w(x)dx.
Montrer que F se prolonge en une fonction holomorphe dans Ba:={z ∈C,|Imz|< a
2}.
(b) Calculer F(n)(0).
(c) Montrer que (Pn)n∈N forme une base hilbertienne de L2(R, w).
5. Soit w(x) = x−log(x). En consid´erant f(x) = sin(2πlog(x)), montrer que les
Exercice 4. (Th´eor`eme ergodique de Von Neumann)
Soit H un espace de Hilbert et T ∈ L(H) un endomorphisme v´erifiant kTk ≤ 1. On va montrer que
∀x∈H, Tn(x) := 1 n+ 1
n
X
k=0
Tkx →
n→+∞p(x),
o`up d´esigne la projection orthogonale sur ker(T −I).
1. Montrer que x∈ker(T −I) si et seulement si hT x, xi=kxk2. 2. Montrer que ker(T −I) = ker(T −I)∗. En d´eduire
∀x∈ker(T −I)∗, Tn(x) →
n→+∞p(x).
3. Pour x∈Im(T −I), montrer que Tn(x) →
n→+∞0.
4. Etendre le r´esultat au casx∈Im(T −I).
5. D´emontrer le r´esultat annonc´e.
6. Soit H =L2(T) l’ensemble des fonctions 2π-p´erodique qui sont dans L2(0,2π).
(a) De quel produit scalaire canonique peut-on munir H?
(b) Soit α /∈2πQ. Montrer que 1 n+ 1
n
X
k=0
f(·+kα)→ 1 2π
Z 2π
0
f(x)dx,
o`u la convergence a lieu dans H.
Exercice 5. (Base de Haar)
On pose H(x) = 1 si 0 ≤x < 12, H(x) =−1 si 12 ≤x < 1, etH(x) = 0 en dehors de [0,1[. C’est la fonction de Haar. On pose
Hkl(x) = 22lH(2lx−k), l, k∈Z.
1. Dessiner les fonctions de Haar pour l = 1,2. D´emontrer que ces fonctions forment un syst`eme orthonormal de L2(R).
2. Compter les fonctions de Haar qui sont `a support dans [0,1] et qui sont constantes sur les intervalles dyadiques de longueur 2−j. On appelleSj le syst`eme qu’elles for- ment. Remarquer qu’elles sont toutes d’int´egrale nulle et d´eduire qu’elles forment une base de Wj, l’espace des fonctions en escalier dyadiques, constantes sur des intervalles de longueur 2−j et `a moyenne nulle.
3. Montrer que le syst`eme de Haar est une base hilbertienne deL2(R). On commencera par montrer qu’une partie de la base de Haar engendre l’espace des fonctions de L2(−2j,2j) `a moyenne nulle sur (−2j,0) et (0,2j).
On rappelle que dans un espace de Hilbert H, une suite (xn)n≥0 converge vers x faiblement si
∀y∈H, hxn, yi →
n→+∞hx, yi.
On note parfoisxn * x.
Exercice 6.
Soit (en)n≥1 une base hilbertienne d’un espace de Hilbert s´eparable H.
1. V´erifier queen *0 quand n → ∞.
2. Soit (an)n≥1 une suite born´ee de r´eels. On pose un = 1
n
n
X
i=1
aiei.
Montrer que (un)n≥0 converge vers 0.
3. Soit (xn)≥0 une suite de H. Montrer que (xn)n≥0 converge faiblement vers x si et seulement si (xn)n≥0 est born´ee et
∀p∈N, hxn, epi →
n→+∞hx, epi.
4. Montrer que √
n un*0.
Exercice 7.
[Convergence faible non forte chez les fonctions]Pour a < b dans [−∞,+∞], l’espaceL2(a, b) est muni de son produit scalaire usuel
hf, gi= Z b
a
f(x)g(x)dx.
Soit ϕ:R→R une fonction r´eguli`ere non nulle `a support compact.
1. (Evanescence)Montrer que R3 x7→un(x) :=ϕ(x−n) converge faiblement vers 0 dans L2(R), mais que cette convergence n’est pas forte.
2. (Concentration)Montrer que ]−1,1[3x7→vn(x) := √
nϕ(nx) converge faiblement vers 0 dans L2(−1,1), mais que cette convergence n’est pas forte.
3. (Oscillations) Ici H =L2(0,2π).
(a) Montrer que bn(x) := sin(nx) tend faiblement vers 0 lorsquen tend vers +∞,
(b) Soit w : R → R une fonction 2π-p´eriodique non constante et wn(x) = w(nx) pourx∈[0,2π] etn∈N. Montrer quewnconverge faiblement vers la moyenne de w sur [0,2π] mais ne converge pas fortement dans L2(0,2π).
Exercice 8.
Montrer que (Lp(Rn),k · kp) n’est pas un espace de Hilbert lorsquep6= 2. On montrera que l’in´egalit´e du parall`elogramme n’est pas v´erifi´ee en prenant des fonctions `a supports disjoints.
Exercice 9.
Soit H un espace de Hilbert etB sa boule unit´e ferm´ee. Donner la projection sur B.
Exercice 10.
Soit Ω un ouvert de mesure finie de RN, et ϕune fonction positive mesurable sur Ω.
On d´efinit
K =
u∈L2(Ω) ; |u(x)| ≤ϕ(x) p.p. x∈Ω .
V´erifier queK est un convexe ferm´e non vide deH =L2(Ω). Pour toutf ∈H, d´eterminer la projection sur K, not´ee PK(f).
Exercice 11.
Soit H un espace de Hilbert r´eel, K ⊂H un cˆone convexe ferm´e de sommet 0 (c’est-
`
a-dire que x ∈ K et λ ∈ R+ =⇒ λx ∈ K). Montrer que si f ∈ H alors sa projection g =PK(f) est caract´eris´ee par les propri´et´es
? g ∈K
? (f −g, g) = 0
? ∀v ∈K, (f −g, v)≤0
