1 Espaces de Hilbert

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1 Espaces de Hilbert

1.1 D´ efinition et exemples

Soit H un espace vectoriel complexe et (u, v) une fonction des variables u, v∈H `a valeurs complexes.

Définition 1.1. On dit que (·,·) est un produit scalaire surH si les propriétés suivantes sont vérifiées pour tousu, v, w∈H et λ∈C:

(λu, v) =λ(u, v), (u+v, w) = (u, w) + (v, w), (u, v) = (v, u), (1.1) (u, u)≥0, (u, u) = 0 si et seulement siu= 0. (1.2) Tout espace vectoriel muni d’un produit scalaire est appel´e un espace pr´e- hilbertien.

Lemme 1.2. SoitH un espace pr´e-hilbertien avec le produit scalaire(·,·). On notekuk=p

(u, u). Alors pour tousu, v∈H etλ∈C, on a

|(u, v)| ≤ kuk kvk, (1.3)

ku+vk ≤ kuk+kvk, kλuk=|λ| kuk. (1.4) Démonstration. Nous ne démontrons que les inégalités, car la deuxième relation dans (1.4) est évidente. Comme le produit scalaire est non négatif, pour tout t∈Ron a

0≤ ku+tvk²=kuk²+ 2tRe(u, v) +t²kvk², d’o`u on conclut que

|Re(u, v)|²− kuk²kvk²≤0.

En rempla¸cant dans cette inégalitéupareîϕu, oùϕ∈Rest tel queeîϕ(u, v)∈R, on obtient (1.3). Pour monter l’inégalité de (1.4), on utilise (1.3) :

ku+vk²=kuk²+kvk²+ 2 Re(u, v)≤ kuk²+kvk²+ 2kuk kvk= kuk+kvk2

.

Dans la suite, une fonction non négativek · k définie sur un espace vectoriel et vérifiant (1.4) est appelée une norme surH si la relationkuk = 0 implique queu= 0. L’exercice suivant donne une condition nécessaire et suffisante pour qu’une norme soit engendrée par un produit scalaire.

Exercice 1.3. Soit k · k une norme sur un espace vectoriel H. Alors elle est engendr´ee par un produit scalaire si et seulement si

ku+vk²+ku−vk²= 2kuk²+ 2kvk² pour tousu, v∈H. (1.5) Cette relation est appelée l’égalité de parallélogramme.

Exercice 1.4. Montrer que le produit scalaire et la norme sont des fonctions continues.Indication :utiliser les in´egalit´es (1.3) et (1.4).

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Exemples 1.5. Les espaces suivants sont des espaces pr´e-hilbertiens :

1. l’espaceℓdes suites complexes x = (xn)n≥1dont les éléments sont nuls à partir d’un certain rang ; le produit scalaire est défini par

(x,y) =

∞

X

n=1

xny¯n;

2. l’espace C([a, b]) des fonctions continuesf : [a, b] →C muni du produit scalaire

(f, g) = Z b

a

f(x)g(x)dx;

3. l’espace P des polynˆomes P(z) de la variables z ∈ C muni du produit scalaire

(P, Q) = Z

|z|<1

P(z)Q(z)dz .

Tout espace pré-hilbertien peut être considérer comme un espace métrique avec la distance ku−vk. Rappelons qu’un espace métrique est dit complet si toute suite de Cauchy possède une limite.

Définition 1.6. (a) SoitH un espace pré-hilbertien. On dit queH est un espace de Hilbert si il est complet par rapport à la métrique associée à la norme.

(b) SoitH0⊂H un sous-espace vectoriel d’un espace de HilbertH. On dit queH est la complétion de H0 si pour tout élémentu∈H il existe une suite{un} ⊂H0 qui converge versu, c’est-à-dire,H0est dense dansH.

Exemples 1.7. Les espaces de Hilbert suivants sont les complétions des espaces pré-hilbertiens considérés dans l’exemple 1.5 :

1. l’espaceℓ²des suites complexes x = (xn)n≥1 telles que

kxkℓ²:=

^∞ X

n=1

|xn|² 1/2

<∞;

2. l’espaceL²(a, b) des fonctions mesurablesf : [a, b]→Ctelles que

kfkL²(a,b):=

Z b

a

|f(x)|²dx 1/2

<∞;

3. l’espace A²(D) (o`u D ={z ∈ C : |z| < 1}) des fonctions analytiques f d´efinies sur le disqueDtelles que

kfkL²(D):=

Z

D

|f(z)|²dz 1/2

<∞.

Exercice1.8. Ecrire les inégalités (1.3) et (1.4) dans le cas des espaces considérés dans l’exemple 1.7.

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D´efinition 1.9. Un espace de HilbertH est dit s´eparable s’il existe une suite dense.

Exercice 1.10. Montrer que les espaces considérés dans l’exemple 1.7 sont sépa- rables.

Dans la suite, nous n’allons consid´erer que des espaces de Hilbert s´eparables.

1.2 Op´ erateurs lin´ eaires

SoientH₁,H₂deux espaces de Hilbert. On noteL(H1, H₂) l’espace d’opéra- teurs linéaires continus deH1 dansH2. Dans le caseH1=H2, on écritL(H1).

Exercice 1.11. Montrer qu’une application lin´eaire A : H1 → H2 appartient

`

a L(H1, H2) si et seulement si

kAkL(H1,H2):= sup

kukH1≤1

kAukH2 <∞.

Exercice 1.12. Montrer que la fonction k · kL(H1,H2) est une norme sur l’espace des applications linéaires continues et qu’elle peut être calculée par la formule

kAkL(H1,H2)= sup

u,v|(Au, v)H2|,

o`u la borne sup´erieure est prise par rapport aux vecteursu∈H1 et v∈H2 de norme≤1.

Le résultat suivant montre qu’un opérateur linéaire est uniquement défini par ses valeurs sur un sous-espace dense.

Théorème 1.13. SoitH1, H2 deux espaces de Hilbert,H0⊂H1un sous-espace vectoriel dense, etA0:H0→H2 une application linéaire telle que

kA0ukH2 ≤CkukH1 pour toutu∈H₀. (1.6) Alors il existe un unique opérateurA∈ L(H1, H2)dont la restriction àH0 est confondue avec A0. De plus, la norme de A est majorée par la constante C de l’inégalité (1.6).

Idée de la démonstration. On définit un opérateurA:H1→H2 par la formule Au= lim

n→∞A0un,

où {un} ⊂ H0 est une suite quelconque telle que un → uquand n → ∞. On vérifie facilement que l’opérateur A est bien défini et linéaire. De plus, on a l’inégalitékAukH2 ≤CkukH1 pour toutu∈H1, ce qui implique que la norme deAest majorée parC.

Exercice 1.14. Soit Q l’ensemble des rationnels et f : Q → R une fonction bornée continue. Peut-on affirmer que f possède une extension continue àR? Si non, trouver une condition nécessaire et suffisante pour l’existence d’une telle extension.

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Exemple 1.15. Soit H = L²(a, b) et k(x, y) une fonction continue à valeurs complexes définie sur le carré [a, b]×[a, b]. On définit un opérateurA:H →H par la relation

(Au)(x) = Z b

a

k(x, y)u(y)dy.

AlorsA∈ L(H) et kAkL(H)≤n

x∈[a,b]max Z b

a

|k(x, y)|dy max

y∈[a,b]

Z b

a

|k(x, y)|dxo1/2

. (1.7)

1.3 Projection, bases hilbertiennes et th´ eor` eme d’isomor- phisme

Théorème 1.16. SoitH un espace de Hilbert etH0⊂H un sous-espace fermé.

Alors pour toutu∈H il existe un unique ´el´ementu0∈H0 tel que ku−u0k= dist(u, H0) := inf

v∈H0

ku−vk. (1.8)

De plus,u0 est l’unique élément de H0 vérifiant la condition

(u−u0, v) = 0 pour toutv∈H0. (1.9) L’élément u0 ∈ H0 est appelé la projection orthogonale de u sur H0. Le théorème 1.16 implique immédiatement le résultat suivant.

Corollaire 1.17. SoitH0un sous-espace fermé d’un espace de HilbertH etH₀^⊥ son complémentaire orthogonal, c’est-à-dire, l’ensemble des vecteursu∈H tels que (u, v) = 0 pour tout v ∈ H0. Alors H est représentable comme la somme directeH =H₀⊕H₀^⊥.

Exercice 1.18. Soit H un espace de Hilbert et H₀ ⊂H un sous-espace ferm´e.

Montrer que l’opérateur P qui envoie un vecteuru∈H à sa projection orthogonale surH0 est linéaire et qu’elle vérifie les propriétés suivante :

P²=P, kPkL(H)= 1.

Démonstration du théorème. Soit{vn} ⊂H0 une suite telle que ku−vnk →d:= dist(u, H0) quand n→ ∞.

D’après l’égalité du parallélogramme appliquée aux vecteurs u−vn et u−vm

on a

kvn−vmk²= 2ku−vnk²+ 2ku−vmk²−4

u−^vⁿ^+v₂ ^m

2

≤2ku−vnk²+ 2ku−vmk²−4d²→0 quandm, n→ ∞.

Donc, {vn} est une suite de Cauchy. On v´erifie facilement que sa limite u0

satisfait toutes les propri´et´es requises.

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L’argument utilisé dans la démonstration du théorème permet d’établir une propriété similaire quand le sous-espace est remplacé par un ensemble convexe.

Exercice 1.19. SoitK⊂H un ensemble convexe ferm´e. Alors pour toutu∈H il existe un unique pointu0∈K tel que

ku−u0k= dist(u, K) := inf

v∈Kku−vk.

Définition 1.20. SoitH un espace de Hilbert séparable. Une suite {ej} ⊂H est appelée unebase orthonormée deH si elle possède les propriétés suivantes :

(a) (ei, ej) = 0 pouri6=j etkejk= 1 pour toutj≥1 ; (b) tout vecteuru∈H est repr´esentable sous la forme

u=

∞

X

j=1

ujej, (1.10)

o`u la s´erie converge pour la norme deH.

Exercice 1.21. Montrer que si {ej} ⊂ H est une base orthonormée, alors les vecteurej sont linéairement indépendants, et dans la série (1.10) les coefficients sont calculés par uj = (u, ej).

On dit qu’une suite {ej} ⊂H est un système orthonormé si elle vérifié la propriété (a) de la définition 1.20.

Proposition 1.22. Soit {ej} ⊂ H un système orthonormé. Alors pour tout u∈H on a l’inégalité de Bessel :

∞

X

j=1

|(u, ej)|²≤ kuk². (1.11)

De plus,{ej} est une base si et seulement si on a la relation de Parseval :

∞

X

j=1

|(u, ej)|²=kuk². (1.12)

Démonstration. Il est facile à vérifier que 0≤

u−

N

X

j=1

(u, ej)ej

2

=kuk²−

N

X

j=1

|(u, ej)|²,

d’où, en passant à la limite quandN → ∞, on obtient l’inégalité de Bessel (1.11).

Si{ej}est une base orthonormée, alors on a la représentation (1.10). En pre- nant la norme au carré, on obtient la relation (1.12). Réciproquement, supposons que la relation de Parseval a lieu. Alors

u−

∞

X

j=1

(u, ej)ej

2

=kuk²−

∞

X

j=1

|(u, ej)|²= 0,

d’o`u on conclut que la relation (1.10) a lieu.

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Exercice 1.23. SoitH un espace de Hilbert. Montrer qu’un système orthonormé est une base si et seulement si l’ensemble des combinaisons linéaires de ses vecteurs est dense dansH.

L’existence d’une projection orthogonale permet de construire une base or- thonormée pour tout espace de Hilbert séparable et de montrer que tous les espaces de Hilbert séparables sont isométriques.

Théorème 1.24. SoitH un espace de Hilbert séparable. Alors elle possède une base orthonormée. De plus, siH₁ etH₂ sont deux espaces de Hilbert séparables, alors il existe une bijection linéaireV :H₁→H₂ telle que

kV ukH2 =kukH1 pour toutu∈H1.

Démonstration. Pour tout espace de Hilbert séparable H, il existe une suite {fj} ⊂ H de vecteurs linéairement indépendants telle que les combinaisons linéaire defj sont denses. On définit un système orthonormé{ej} en utilisant leprocédé d’orthogonalisation de Gramm–Schmidt :

e1= f1

kf1k, ej= fj−Pj−1fj

kfj−Pj−1fjk, j≥2,

où Pj désigne le projecteur orthogonal sur l’espace engendré par les vecteurs f1, . . . , fj. En utilisant le fait que l’espace vectoriel engendré par e1, . . . , ej est confondu avec celui engendré parf1, . . . , fj, on montrer que{ej} est une base orthonormée ; voir l’exercice 1.23.

Soit maintenantH1, H2 deux espaces de Hilbert séparables avec des bases orthonormées {ej}, {fj}. On définit un opérateur linéaire V : H1 → H2 par V ej = fj pour tout j ≥ 1. Il est facile à vérifier que V satisfait toutes les propriétés requises.

1.4 Th´ eor` eme de Riesz

SoitH un espace de Hilbert. On noteH^∗l’espace de fonctionnelles continues sur H, c’est-`a-dire, l’espace L(H,C). On appelleH^∗ l’espace dual deH, et on le munit de la norme naturelle

kfkH^∗ = sup

kuk≤1

|f(u)|.

Exercice 1.25. Montrer que pour tout u ∈ H l’application fu : v 7→ (v, u) appartient `aH^∗. De plus,kfukH^∗ =kukH.

Le théorème suivant est l’énoncé réciproque de l’exercice 1.25 et permet d’identifier tout espace de Hilbert avec son dual.

Théorème 1.26. Pour tout élémentf ∈H^∗il existe un unique vecteuru_f ∈H tel que

f(v) = (v, uf) pour tout v∈H. (1.13)

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De plus, l’application L:H^∗ →H qui envoie f àuf est anti-linéaire et vérifie la relation

kLfkH=kfkH^∗ pour toutf ∈H^∗. (1.14) D´emonstration. SoitH0⊂H le sous-espace ferm´e sur lequel la fonctionnellef est nulle. Si H0 est confondue avecH, alorsf = 0, et on pose uf = 0. Si H0

est un sous-espace propre, alors on note u0 un élément de norme 1 dans le complémentaire orthogonal de H0. On cherche uf sous la forme uf = cu0. Si (1.13) a lieu, alorsf(uf) =kufk², d’où on conclut quec=f(u0).

Montrons que (1.13) a lieu avec uf =f(u0)u0 et que kufkH =kfkH^∗. En effet, tout vecteurv ∈H est repr´esentable sous la forme v= (v, u0)u0+v^′, o`u v^′∈H0. Alors

f(v) =f (v, u0)u0+v^′

= v, f(u0)u0

= (v, uf).

De plus, on a

|f(u0)|=|(u0, u_f)|=kufk, |f(v)|=|(v, uf)| ≤ kufk kvk.

Ceci achève la démonstration du théorème.