1 Espaces de Hilbert

1 Espaces de Hilbert

Nous ´etudions dans ce chapitre quelques notions de base et des propri´et´es ´el´e- mentaires des espaces de Hilbert. Pour simplifier la pr´esentation, nous n’allons consid´erer que le cas complexe.

1.1 D´ efinitions et exemples

SoitHun espace vectoriel complexe et (u, v) une fonction des variablesu, v2H

`

a valeurs complexes.

D´efinition 1.1. On dit que (·,·) est unproduit scalaire surH si les propri´et´es suivantes sont v´erifi´ees pour tousu, v, w2H et 2C:

( u, v) = ¯(u, v), (u+v, w) = (u, w) + (v, w), (u, v) = (v, u), (1.1) (u, u) 0, (u, u) = 0 si et seulement siu= 0. (1.2) Lemme 1.2. Soit H un espace vectoriel muni d’un produit scalaire (·,·) et kuk = p

(u, u). Alors k·k est une norme sur H, c’est-`a-dire, une fonction positive v´erifiant les propri´et´es suivantes pour tous u, v2H et 2C:

kuk= 0si et seulement si u= 0, (1.3)

k uk=| |kuk, (1.4)

ku+vk  kuk+kvk. (1.5) De plus, on a l’in´egalit´e deCauchy–Schwarz:

|(u, v)| kuk kvk pour tous u, v2H. (1.6) Cette in´egalit´e est strict si et seulement si les vecteursu, v ne sont pas parallels.

D´emonstration. Montrons d’abord l’in´egalit´e (1.6). Comme le produit scalaire est positif sur la diagonale, pour toutt2Ron a

0 ku+tvk²=kuk²+ 2tRe(u, v) +t²kvk², d’o`u on conclut que

|Re(u, v)|² kuk²kvk²0.

En rempla¸cant dans cette in´egalit´evpare^i'v, o`u'2Rest tel quee^i'(u, v)2R, on obtient (1.6). La d´emonstration donn´ee implique qu’on a une ´egalit´e si et seulement siu, v sont parallels.

Montrons maintenant que k·k est une norme. La propri´et´e (1.3) est une consequence imm´ediate de (1.2), et la relation (1.3) est ´evidente. V´erifions l’in´egalit´e (1.5) (appel´eein´egalit´e triangulaire):

ku+vk²=kuk²+kvk²+ 2 Re(u, v)

 kuk²+kvk²+ 2kuk kvk= kuk+kvk ².

Il est facile `a voir que si une normek·kest engendr´ee par un produit scalaire, alors elle v´erifie l’´egalit´e de parall´elogramme:

ku+vk²+ku vk²= 2kuk²+ 2kvk² pour tousu, v2H. (1.7) On peut montrer que c’est aussi une condition suffisante. De plus, l’in´egalit´e (1.6) implique qu’un produit scalaire est une fonction continue surH⇥H.

D´efinition 1.3. Un espace vectoriel H muni d’un produit scalaire est appel´ee un espace pr´e-hilbertien. Si, en plus, H est complet par rapport `a la norme engendr´ee par le produit scalaire (c’est-`a-dire, toute suite de Cauchy poss`ede une limite), alors on appelleH unespace de Hilbert.

Exemple 1.4. Soit C([a, b];C) l’espace des fonctions continues f : [a, b] ! C muni du produit scalaire

(f, g) = Z b

a

f(x)g(x) dx.

AlorsC([a, b];C) est un espace pr´e-hilbertien. L’espaceL²(a, b;C) des fonctions bor´eliennesf : [a, b]!Cde carr´e int´egrable est un espace de Hilbert par rapport au mˆeme produit scalaire. On peut consid´erer aussi l’espaceL²([a, b], µ), o`uµ est une mesure -finie sur [a, b]. En particulier, l’espace vectoriel

`2=n

x = (x1, x2, . . .) :xj 2C, X1 j=1

|xj|²<1o

muni du produit scalaire

(x,y) = X1 j=1

¯ xjyj

est un espace de Hilbert.

D´efinition 1.5. Un espace de Hilbert H est dits´eparable si il existe une suite dense dansH.

Par exemple, `2 est un espace s´eparable. Dans la suite, nous n’allons con- sid´erer que des espaces de Hilbert s´eparables.

Soient H1 et H2 deux espaces de Hilbert. La somme directe H1 H2 est d´efinie comme l’ensemble des paires [u1, u2] tels queui2Hi pouri= 1,2. Les op´erations

[u1, u2] + [v1, v2] = [u1+v1, u2+v2], [u1, u2] = [ u1, u2] d´efinissent une structure vectorielle surH1 H2. De plus, la forme bilin´eaire

[u1, u2],[v1, v2] = (u1, v1) + (u2, v2)

est un produit scalaire sur H1 H2. Il est facile `a voir que c’est un espace de Hilbert. On peut d´efinir aussi la somme directe d’une famille d´enombrable {Hk}. Dans ce cas, on pose

M1 k=1

Hk =n

u= (u1, u2, . . .) :uk 2Hk, X1 k=1

kukk²Hk <1o ,

(u,v) = X1 k=1

(uk, vk)Hk.

On peut montrer que c’est un espace de Hilbert, et si, en plus, Hk sont des espaces s´eparables, alors kHk l’est aussi.

Exemple 1.6. La somme directe de deux copies deL²(R;C) est ´egale `a L<sup>2</sup>(R,C<sup>2</sup>) ={f :R!C<sup>2</sup>|f bor´elienne,|f|<sup>2</sup>2L<sup>1</sup>(R)}. La somme directe d’une famille d´enombrable deL<sup>2</sup>(R) est ´egale `a

L²(R,`2) = f :R!`2|f bor´elienne,kfk²`2 2L¹(R) .

Soient H1 et H2 deux espaces de Hilbert et A : H1 ! H2 un op´erateur lin´eaire. On dit queAestcontinusi pour tout pointu2H1et toute suite (un)⇢ H1 telle queun !udans H1 la suite (Aun) converge vers AudansH2. Il est facile `a voir queA est continue siA est continue au point z´ero. Cette derni`ere condition est v´erifi´ee si et seulement siAestborn´e:

kAkL:= sup

kukH11kAuk^H2<1.

L’ensemble de tous les op´erateurs continus deH1dansH2 est not´eL(H1, H2).

On dit queA:H !H est un op´erateurauto-adjoint si (Au, v) = (u, A^⇤v) pour tousu, v2H.

1.2 Projecteurs et bases hilbertiennes

Th´eor`eme 1.7. SoitH un espace de Hilbert etH0⇢H un sous-espace ferm´e.

Alors pour toutu2H il existe un unique ´el´ementu02H0 tel que ku u0k= dist(u, H0) := inf

v2H0ku vk. (1.8)

De plus,u0 est l’unique ´el´ement de H0 v´erifiant la condition

(u u0, v) = 0 pour toutv2H0. (1.9) L’´el´ement u0 2 H0 est appel´e la projection orthogonale de u sur H0. Le th´eor`eme 1.7 implique imm´ediatement le r´esultat suivant.

Corollaire 1.8. SoitH0 un sous-espace ferm´e d’un espace de HilbertH etH₀^? soncompl´ementaire orthogonal, c’est-`a-dire, l’ensemble des vecteursu2H tels que (u, v) = 0 pour tout v 2 H0. Alors H est repr´esentable comme la somme directeH =H0 H<sub>0</sub><sup>?</sup>. De plus, l’op´erateurP qui envoie un vecteuru2H `a sa projection orthogonale surH0 est lin´eaire et v´erifie les propri´et´es suivantes:

P²=P, kPkL(H)= 1.

On appelleP le projecteur orthogonal surH0.

D´emonstration du th´eor`eme. Soit{vn}⇢H0 une suite telle que ku vnk !d:= dist(u, H0) quandn! 1.

D’apr`es l’´egalit´e de parall´elogramme appliqu´ee aux vecteurs u vn et u vm

on a

kvn vmk²= 2ku vnk²+ 2ku vmk² 4 u ^vn+v₂ ^{m 2}

2ku vnk²+ 2ku vmk² 4d²!0

quandm, n! 1. On conclut que{vn} est une suite de Cauchy. Il est facile `a v´erifier que sa limiteu0 satisfait toutes les propri´et´es requises.

D´efinition 1.9. SoitH un espace de Hilbert s´eparable. Une suite de vecteurs {ej}⇢H est appel´ee unebase orthonorm´ee deH si elle poss`ede les propri´et´es suivantes:

(a) (ei, ej) = 0 pouri6=j et kejk= 1 pour toutj 1;

(b) tout vecteuru2H est repr´esentable sous la forme u=

X1 j=1

ujej, (1.10)

o`u la s´erie converge pour la norme deH.

Il est facile `a voir que si {ej} ⇢ H est une base orthonorm´ee, alors les vecteurejsont lin´eairement ind´ependants, et dans la s´erie (1.10) les coefficients sont calcul´es par uj = (ej, u). On dit qu’une suite{ej} ⇢H est un syst`eme orthonorm´e si elle v´erifi´e la propri´et´e (a) de la d´efinition 1.9.

Proposition 1.10. Soit {ej} ⇢ H un syst`eme orthonorm´e. Alors pour tout u2H on al’in´egalit´e de Bessel:

X1 j=1

|(ej, u)|² kuk². (1.11) De plus, {ej} est une base orthonorm´ee si et seulement si on a la relation de Parseval :

X1 j=1

|(ej, u)|²=kuk². (1.12)

D´emonstration. Il est facile `a v´erifier que 0 u

XN

j=1

(ej, u)ej 2

=kuk² XN

j=1

|(ej, u)|²,

d’o`u, en passant `a la limite quandN ! 1, on obtient l’in´egalit´e de Bessel (1.11).

Si {ej} est une base orthonorm´ee, alors on a la repr´esentation (1.10). En prenant la norme au carr´e, on obtient la relation (1.12). R´eciproquement, sup- posons que la relation de Parseval a lieu. Alors

u X1 j=1

(ej, u)ej 2

=kuk² X1 j=1

|(ej, u)|²= 0,

d’o`u on conclut que la relation (1.10) a lieu.

L’existence d’une projection orthogonale permet de construire une base or- thonorm´ee pour tout espace de Hilbert s´eparable et de montrer que tous les espaces de Hilbert s´eparables sont isom´etriques.

Th´eor`eme 1.11. SoitH un espace de Hilbert s´eparable. Alors elle poss`ede une base orthonorm´ee. De plus, siH1 etH2sont deux espaces de Hilbert s´eparables, alors il existe une bijection lin´eaireV :H1!H2 telle que

kV uk^H2 =kuk^H1 pour toutu2H1.

D´emonstration. Pour tout espace de Hilbert s´eparable H, il existe une suite {fj} ⇢ H de vecteurs lin´eairement ind´ependants telle que les combinaisons lin´eaire defj sont denses. On d´efinit un syst`eme orthonorm´e{ej} en utilisant leproc´ed´e d’orthogonalisation de Gramm–Schmidt :

e1= f1

kf1k, ej= fj Pj 1fj

kfj Pj 1fjk, j 2,

o`u Pj d´esigne le projecteur orthogonal sur l’espace engendr´e par les vecteurs f1, . . . , fj. En utilisant le fait que l’espace vectoriel engendr´e pare1, . . . , ej est confondu avec celui engendr´e par f1, . . . , fj, on montre que {ej} est une base orthonorm´ee.

Soient maintenant H1 et H2 deux espaces de Hilbert s´eparables avec des bases orthonorm´ees{ej}et{fj}. On d´efinit un op´erateur lin´eaireV :H1!H2

parV ej =fj pour toutj 1. Il est facile `a v´erifier queV satisfait toutes les propri´et´es requises.

1.3 Compl´ et´ e d’un espace pr´ e-hilbertien

Th´eor`eme 1.12. SoitH0un espace pr´e-hilbertien s´eparable. Alors il existe un espace de Hilbert H et une application J : H0 ! H tel que J(H0) est dense dansH et(u, v)H0= (Ju, Jv)H pour tousu, v2H0.

On appelle H lecompl´et´e deH0. Le fait queJ pr´eserve le produit scalaire implique que J pr´eserve aussi la norme. On conclut que J est une isom´etrie de l’espace H0 sur son image J(H0). Tr`es souvent on identifie l’espace H0

avecJ(H0), en le consid´erant comme un sous-espace deH.

D´emonstration. Soit{ej}un syst`eme orthonorm´e dansH0 tel que l’espace vec- toriel engendr´e par les combinaisons lin´eaires de {ej} est dense. On note H<sup>0</sup> l’espace dual de H0, c’est-`a-dire, l’espace des fonctionnelles continues sur H0

muni de la norme

kfkH₀⁰ = sup

kuk1|f(u)|.

AlorsH₀⁰ est un espace de Hilbert s´eparable par rapport au produit scalaire (f, g) =

X1 j=1

f(ej)g(ej),

qui engendre la norme k·k^H0⁰. Soit H l’espace dual de H₀⁰. Alors H est aussi un espace de Hilbert. On noteJ :H0 !H l’application lin´eaire qui envoie un vecteur u2H0 `a la fonctionnelle Fu 2H d´efinie par Fu(f) =f(u). Montrons que J est une application bijective de H0 sur J(H0) qui pr´eserve le produit scalaire. En e↵et, il est facile `a v´erifier que

kJ(u)k^H = sup

kfkH001|Fu(f)|=kuk^H0 pour toutu2H0.

Cette relation implique, en particulier, que le noyau deJ est trivial. En plus, tenant compte de l’identit´e de polarisation (voir la feuille d’exercices), on conclut queJ pr´eserve le produit scalaire.

Il nous reste `a montrer que J(H0) est dense dans H. Supposons qu’il ex- iste F 2 H tel que (F, J(u))H = 0 pour tout u 2 H0. Si {fj} est une base orthonorm´ee deH₀⁰, alors

(F, J(u))H= X1 j=1

F(fj)J(u)(fj) = X1 j=1

F(fj)fj(u) = ˜f(u) = 0, o`u ˜f = P

jF(fj)fj. Comme cette relation est vraie pour tout u 2 H0, on conclut que ˜f = 0 et doncF = 0. Ceci ach`eve la d´emonstration du th´eor`eme.

Exemple 1.13. Soitc0l’espace des suites dont tous les ´el´ements sont nuls `a partir d’un certain rang. On munitc0 du produit scalaire de l’espace`2. Alorsc0 est un espace pr´e-hilbertien dont le compl´et´e est confondu avec `2. De mˆeme, le compl´et´e de l’espaceC([a, b];C) par rapport au produit scalaireL²est confondu avecL²(a, b;C).

Exemple 1.14 (S´eries de Fourier). SoitS⇢R²le cercle de rayon 1 et de centre z´ero. Rappelons que les coefficients de Fourier d’une fonctionf 2 L²(S) sont d´efinies par

ck(f) = Z 2⇡

0

f(x)e ^ikxdx, k2Z.

Le th´eor`eme de Weierstrass (§3.2) implique que les fonctions trigonom´etriques forment un syst`eme complet dansL²(S). Il s’ensuit que{(2⇡) ¹e^iix, k2Z}est une base orthonorm´ee, et l’on voit que la s´erie de Fourier

1 2⇡

X

k2Z

ck(f)e^ikx

de toute fonctionf 2L²(S) converge versf dansL²(S).

Supposons maintenant que f 2 C¹(S). Alors en int´egrant par parties on montre que

|ck(f)||k ¹ck(f⁰)| pour toutk2Z⇤. (1.13) On ´etablit maintenant des estimations pour les sommes partielles

(Sm,nf)(x) = 1 2⇡

Xn

k=m

ck(f)e^ikx.

En utilisant (1.13), la relation de Parseval et l’in´egalit´e de Cauchy–Schwarz, on obtient

(Sm,nf)(x)  1 2⇡

Xn

k=m

|k ¹ck(f⁰)|Ckf⁰kL²(S)

(Sm,nf)(x) (Sm,nf)(x+y)  1 2⇡

Xn

k=m

|k ¹ck(f⁰)| |e^iky 1|

Ckf⁰k^L2

✓Xⁿ

k=m

k ²|e^iky 1|²

◆^1/2

!(y)kf⁰k^L2,

o`u !(y)!0 quandy!0. Le r´esultat suivant est ´etablit dans§3 :

• Soit{f↵,↵2A}⇢C¹(S) une famille born´ee de fonctions telle que sup

↵2Akf_↵⁰k^C(S)<1.

Alors pour toute suite {↵n}⇢Ail existe une suite extraite{↵⁰_n}⇢{↵n} telle que{f↵⁰_n}converge dansC(S).

On conclut que pour toutes suites mj ! 1 et nj !+1, il existes des suites extraitesm⁰_j et n⁰_j telles que Sm⁰_j,n⁰_j converge vers une limite dansC(S).

Par l’unicit´e de la limite dans L²(S), il s’ensuit que {Sm,n} converge vers f dansC(S).

1.4 Th´ eor` eme de Riesz

Soit H un espace de Hilbert et H⁰ son espace dual. Il est facile `a voir que pour toutu2H l’application fu :v 7!(v, u) appartient `aH⁰ et que kfuk^H0 =

kuk^H. Le th´eor`eme suivant montre qu’il n’y a pas d’autres ´el´ements dansH⁰ et permet d’identifier tout espace de Hilbert avec son dual. Ce r´esultat implique, en particulier, que le dual de tout espace de Hilbert s´eparable l’est aussi.

Th´eor`eme 1.15. Pour tout ´el´ementf 2H⁰ il existe un unique vecteuruf 2H tel que

f(v) = (uf, v) pour toutv2H. (1.14) De plus, l’application L:H⁰ !H qui envoief `auf est anti-lin´eaire et v´erifie la relation

kLfk^H=kfk^H0 pour tout f 2H⁰. (1.15) D´emonstration. SoitH0 ⇢H le sous-espace ferm´e sur lequel la fonctionnellef est nulle. SiH0 est confondue avec H, alors f = 0, et on poseuf = 0. SiH0

est un sous-espace propre, alors on note u0 un ´el´ement de norme 1 dans le compl´ementaire orthogonal de H0. On cherche uf sous la forme uf = cu0. Si (1.14) a lieu, alorsf(uf) =kufk², d’o`u on conclut quec=f(u0).

Montrons que (1.14) a lieu avec uf =f(u0)u0 et que kufk^H =kfk^H0. En e↵et, tout vecteurv 2H est repr´esentable sous la forme v= (u0, v)u0+v⁰, o`u v⁰2H0. Alors

f(v) =f (u0, v)u0+v⁰ = f(u0)u0, b = (uf, v).

De plus, on a

|f(u0)|=|(uf, u0)|=kufk, |f(v)|=|(uf, v)| kufk kvk. Ceci ach`eve la d´emonstration du th´eor`eme.

Rappelons que l’op´erateur adjoint d’un op´erateur born´e A : H1 ! H2 est d´efini par

(A^⇤f)(u) =f(Au) pour f 2H₂⁰,u2H1.

Le th´eor`eme de Riesz permet de consid´erer A^⇤ comme un op´erateur de H2

dans H1. Plus pr´ecis´ement, on consid`ere l’op´erateur ˜A<sup>⇤</sup> = L1A<sup>⇤</sup>L<sub>2</sub><sup>1</sup>, o`u Li

d´esigne l’op´erateur construit dans le th´eor`eme 1.15 pour l’espaceHi. Alors ( ˜A<sup>⇤</sup>v, u) = (L1A<sup>⇤</sup>fv, u) =A<sup>⇤</sup>fv(u) =fv(Au) = (v, Au), (1.16) o`u fv:H2!Cd´esigne la fonctionnelle associ´ee `av. Dans la suite, on ´ecritA^⇤ au lieu de ˜A^⇤. Remarquons qu’on pourrait d´efinirA^⇤:H2!H1comme l’unique op´erateur v´erifiant la relation

(A^⇤v, u) = (v, Au) pour tousv2H2,u2H1.

1.5 Produit tensoriel des espaces de Hilbert

Soient H1 et H2 deux espaces de Hilbert. Pouru1 2H1 et u2 2 H2, on note u1⌦u2:H1 H2!Cla forme bilin´eaire d´efinie par

(u1⌦u2)['1,'2] = (u1,'1) (u2,'2).

SoitE l’espace vectoriel engendr´e par ces formes. On d´efinie une forme hermi- tienne surE par

(u1⌦u2, v1⌦v2) = (u1, v1) (u2, v2). (1.17) Proposition 1.16. La forme hermitienne donn´ee par (1.17) est bien d´efinie, et c’est un produit scalaire surE.

D´emonstration. On doit montrer que le produit scalaire d’´el´ements⌘,⇣2E ne d´epend pas de la repr´esentation de ces ´el´ements. Pour cela, il suffit de v´erifier que si⌘= 0, alors pour tout

⇣= Xn

k=1

ckv₁^k⌦v^k₂ (1.18)

on a (⌘,⇣) = 0. Comme⌘ est une forme bilin´eaire z´ero, on a (⌘,⇣) =

Xn

k=1

ck(⌘, v^k₁⌦v^k₂) = Xn

k=1

ck⌘[v^k₁, v^k₂] = 0.

Montrons maintenant que c’est produit scalaire surE. Si

⌘= Xm

l=1

blu^l₁⌦u^l₂

alors on peut ´ecrire (⌘,⇣) =X

k,l

¯blck(u^l₁⌦u^l₂, v₁^k⌦v^k₂) =X

k,l

¯blck(u^l₁, v₁^k) (u^l₂, v₂^k).

Cette formule implique toutes les propri´et´e requises.

D´efinition 1.17. Le compl´et´e deE, not´eH1⌦H2, est appel´e leproduit tensoriel des espacesH1et H2.

Proposition 1.18. Soient{ej}et{fk}des bases orthonorm´ees dans H1 etH2

respectivement. Alors{ej⌦fk} est une base orthonorm´ee dansH1⌦H2. D´emonstration. Il est claire que{ej⌦fk}est un syst`eme orthonorm´ee. Il suffit donc de v´erifier que c’est un syst`eme complet. Cette propri´et´e sera ´etablie si on montre que tout ´el´ement u⌦v appartient `a l’espace vectoriel ferm´e engendr´e par{ej⌦fk}. On ´ecrit

u= X1 k=1

bjej, v= X1

l=1

ckfk.

CommeP

j,k|bj|²|ck|²<1, la s´erie X

j,k

cjbkej⌦fk

d´efinit un ´el´ement deH1⌦H2. Il est facile `a v´erifier qu’il est ´egal `au⌦v.

Exemples 1.19. (a)Le produit tensoriel deC^m etCⁿ est confondue avecC^mn. (b)SoitH1=L²(R) etH2=Cⁿ. AlorsH1⌦H2est isom´etrique `aL²(R,Cⁿ).

(c) Soit H1 = L²(R^m) et H2 =L²(Rⁿ). Alors il existe une isom´etrie na- turelle deH1⌦H2 surL²(R^m+n).