Soit H un espace de Hilbert

Ann´ee 2013-2014 MATMECA

Analyse Fonctionnelle et Int´egration : TD5.

Exercice 1. Soit H un espace de Hilbert. D´efinir et calculer la projection sur la boule unit´e ferm´ee de H.

Exercice 2. Soit H=L²(O;R), O ouvert de Rⁿ.

a. Montrer queC={f ∈H , f ≥0pp} est un cˆone convexe ferm´e.

b. Calculer la projection sur C.

Exercice 3. Soient H un Hilbert, F un sev ferm´e deH etP la projection sur F. Montrer que:

1)P² =P 2)∀x, y∈H (P x/y) = (x/P y) 3)kPk ≤1 etkPk= 1si F 6={0}.

Exercice 4. Soit H un espace de Hilbert et soit P ∈ L(H) tel que P² = P. Montrer que H=KerP ⊕ImP. P est-il une projection orthogonale?

Exercice 5. D´eterminer a, b, c∈Rr´ealisant minR1

−1|x³−ax²−bx−c|²dx.

Exercice 6. Soient A une matrice `a M lignes et N colonnes (M > N) et b un vecteur de R^M. Montrer qu’il existeX ∈R^N qui minimise kAx−bk₂.

Exercice 7. Montrer que l’application qui `a f ∈ C⁰([0,2π]) associe la fonctiong d´efinie par:

g(t) = 1 2π

Z 2π

0

1 +e^i(t−s)+e^2i(t−s) f(s)ds est un op´erateur de projection.

Exercice 8. Soit H={f : (0,1)→Ctelles que^√1_tf(t)∈L²(0,1)}. a. Montrer queH est un espace de Hilbert pourhf, gi=R

(0,1)f(t)g(t)¹_tdt.

b. Montrer qu’il existe une famille (non finie) de polynˆomes orthogonaux dans H.

c. En appliquant le proc´ed´e d’orthogonalisation de Gramm Schmidt `a t, t² ett³, calculer trois polynˆomes orthogonaux dansH.

Exercice 9. Soit H={f :R→Ctelles que: e^−t

2

2 f(t)∈L²(R)} . a. Montrer queH est un espace de Hilbert pourhf, gi=R

Rf(t)g(t)e^−t2dt.

b. 1) Montrer que tout polynˆome est dansH.

2) Soitf ∈L^p(R), 2≤p≤+∞. Montrer que f est dans H et que l’injection deL^p(R) dansH est continue.

3) Pour 1≤p <2,L^p(R) est-il contenu dansH? C⁰(R) est-il contenu dansH?

c. 1) Pour k ∈ N montrer qu’il existe un polynˆome h_k, de degr´e k, d´efini `a une constante multiplicative pr`es, solution de l’´equation diff´erentielle: y⁰⁰−2xy⁰+ 2ky= 0.

2) On poseH_k(x) =e^−x

2

2 h_k(x). Montrer que : 1

(i) Hk00Hl−HkHl00+ 2(k−l)HkHl= 0 et (ii)R

R(Hk00Hl−HkHl00)dx= 0.

En d´eduire que la famille (h_k) est orthogonale dans H.

Exercice 10. On note H_p³ l’ensemble des fonctions u : R → C, 2π-p´eriodiques, telles que u∈L²(]−π, π[) et v´erifiant X

n

n⁶|c_n(u)|² <∞, o`u cn(u) est le n-i`eme coefficient de Fourier deu.

On munitH_p³ de la norme:

kuk_H3 = |c₀(u)|²+X

n

n⁶|c_n(u)|²

!¹₂ .

a. Montrer queH_p³ est un espace de Hilbert et que l’injection de H_p³ dans L² est continue.

b. Montrer que si u∈H_p³,u estC² et montrer qu’il existe une constante C telle que

∀u∈H_p³, sup

R

|u⁰⁰| ≤Ckuk_H3 p.

c. Soith >0. Montrer que pour toutf ∈H_p³, il existe un et un seul g∈H_p³ tel que : ig−f

h + d²

dx²(g+f 2 ) = 0, et montrer que kgk_H3 =kfk_H3.

Exercice 11. (Th´eor`eme de Riesz) a. SoitH un espace de Hilbert.

1) Soit a ∈ H. Montrer que l’application x 7→ (x, a) est une forme lin´eaire continue sur H.

Quelle est sa norme? Quel est son noyau?

2) Soit a∈H de normekak= 1, et soitE l’espace (la droite) engendr´e para. Montrer que la projection orthogonale surE est donn´ee par x7→(x, a)a.

3) Soit L:x7→L(x) une forme lin´eaire continue surH.

- Montrer que son noyauF est un sous espace ferm´e deH.

- SiL6= 0, montrer queE =F^⊥ l’othogonal au noyau est de dimension 1.

- Montrer qu’il existe y∈H tel que pour tout x∈H,L(x) = (x, y). b. Soit H un espace de Hilbert. Soitaune forme bilin´eaire surH×H.

1) Montrer queaest continue sur H×H si et seulement si il existe une constante C telle que

∀(x, y)∈H×H : |a(x, y)| ≤Ckxk kyk.

On note alors

kak= sup

x6=0,y6=0

|a(x, y)|

kxk kyk.

2) SiT est une application lin´eaire continue deH dans H montrer que l’application (x, y) 7→ a(x, y) := (T x, y)_H

est une une forme bilin´eaire continue sur H×H. ( (·,·)_H d´esigne le produit scalaire dans H).

Montrer alors quekTk=kak.

2

3) R´eciproquement, si a est une forme bilin´eaire continue sur H×H, il existe T application lin´eaire continue deH dansH telle que

∀(x, y)∈H×H : a(x, y) = (T x, y)H.

(Utiliser le a 3)). c. Soit H un espace de Hilbert. Montrer qu’un sous espace K est dense si et seulement siK^⊥={0}.

Exercice 12. Soit H un espace de Hilbert, et soit f une fonction continue de H dans R. On suppose quef est convexe, c’est--dire que

∀u∈H,∀v ∈H,∀t∈[0,1] : f tu+ (1−t)v

≤tf(u) + (1−t)f(v). (1) a. Montrer que pour tout r´eel λ l’ensemble K_λ ={u :f(u) ≤ λ} est un sous-ensemble convexe ferm´e de H.

b. On suppose que la fonction convexef v´erifie en outre :

f(u)→+∞ quand kuk →+∞, (2)

m:= inf

u∈Hf(u)>−∞. (3)

Pourn∈Non noteK_n={u:f(u)≤m+ 2⁻ⁿ}. Montrer que pour toutn,K_nest convexe, born´e, ferm´e, non vide et que K_n+1 ⊂K_n. En d´eduire qu’il existe une suite born´e u_n∈H, telle que

m≤f(u_n)≤m+ 2⁻ⁿ.

c. En extrayant une sous suite de la suite u_n, montrer qu’il existe u∈H tel que f(u) = min

v∈Hf(v).

d. Si en outre f est strictement convexe, c’est--dire v´erifie

∀u∈H,∀v∈H,∀t∈]0,1[: f tu+ (1−t)v

< tf(u) + (1−t)f(v), (4) montrer que le minimumu est unique.

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