Exercice 1. (Autour du cours) D´emontrer que toute suite de Cauchy est born´ee.

CC1 - Topologie A (04/10/2017)

Premier Semestre 2017-2018

Justifier toutes les r´eponses

Exercice 1. (Autour du cours) D´emontrer que toute suite de Cauchy est born´ee.

Exercice 2 . Soient A et B deux ensembles non vides et f : A × B → [c, d] une application, o `u c < d sont deux nombres r´eels.

(a) Montrer que sup

a∈A

b∈B inf f (a, b)

≤ inf

b∈B

sup

a∈A

f (a, b)

. ( ♠ )

(b) Donner un exemple explicite d’ensembles A et B , et d’application f pour lesquels l’in´egalit´e ( ♠ ) est stricte.

Exercice 3. Soit (a _n ) _{n∈ N} une suite de nombres r´eels telle que a _n > 1 , pour tout n ∈ N . On suppose que la suite

b _n = a _n + 1

a _n ( ♣ )

est convergente avec limite b ∈ R .

(a) D´emontrer que la suite (a _n ) _{n∈ N} est born´ee. En d´eduire que les limites inf´erieure et sup´erieure de (a _n ) _{n∈ N} exis- tent ( i.e. elles sont des nombres r´eels). On les appellera

` et L , respectivement.

(b) Montrer que `, L ≥ 1 et b ≥ 1 .

(c) D´emontrer que ` = L , i.e. (a _n ) _{n∈ N} est convergente.

Exercice 4. Existe-t-il une suite (u _n ) _{n∈ N} , telle que (i) (u _n ) _{n∈ N} est born´ee,

(ii) (u _n ) _{n∈ N} poss`ede exactement deux valeurs d’adh´erences et

(iii) l’ensemble {u _n , n ∈ N } est infini ?

Exercice 5. Soit I un ensemble quelconque et (a _i ) _i∈I une famille de nombres r´eels strictement positifs. On suppose que

M := sup n X

j ∈J

a _j | J est une partie finie et non vide de I o

est fini. D´emontrer que l’ensemble I est d´enombrable. Pour cela, on pourra d’abord construire une suite (J _n ) _{n∈ N} de sous- ensembles finis de I , telle que

n→∞ lim X

j∈J

a _j = M.