Exercice I. R´ evisions 1. Calculer I 1 = R 1

Fondements Math´ ematiques 3, 2019-2020 Int´ egrales g´ en´ eralis´ ees

Exercice I. R´ evisions 1. Calculer I 1 = R 1

0 x

1+x

dx, I 2 = R 2 0

2x

(1+x

)

dx, I 3 = R π

0 sin(x) cos ³ (x)dx.

2. A l’aide d’int´ egration par parties, calculer J ₁ = R 1

0 xe ^x dx, J ₂ = R 2

1 x ln(x)dx, J ₃ = R 2

1 ln(x)dx.

3. En utilisant le changement de variable sugg´ er´ e, calculer : K ₁ = R 13 12

dx

x ln

(x) (y = ln(x)), K ₂ = R 2

1

√ dx

x(x+1) (x = y ² ).

Exercice II. Soit F la fonction d´ efinie sur l’intervalle [1, +∞[ par F (x) =

Z x

1

e ^−t

dt.

1. Calculer F ⁰ . En d´ eduire que F est croissante.

2. Montrer que, pour tout r´ eel t ≥ 1, on a 0 ≤ e ^−t

≤ e ^−t . 3. En d´ eduire que, pour tout x ≥ 1, 0 ≤ F (x) ≤ e ⁻¹ .

4. Dire pourquoi la fonction F a une limite quand x → +∞.

5. Quelle est la nature de l’int´ egrale R +∞

1 e ^−t

dt ? De l’int´ egrale R +∞

0 e ^−t

dt ? Exercice III. 1. Calculer R x

0 te ^−t

dt. En d´ eduire que R +∞

0 te ^−t

dt converge et donner sa valeur.

2. Soit λ un nombre r´ eel strictement positif. Calculer R x

0 λe ^−λt dt. En d´ eduire que R +∞

0 λe ^−λt dt converge et donner sa valeur.

Exercice IV. 1. Calculer R x

0 t ² e ^−t

dt (int´ egrer par parties). En d´ eduire que R +∞

0 t ² e ^−t

dt converge et donner sa valeur en fonction de R +∞

0 e ^−t

dt.

2. Soit k un entier naturel non nul. En int´ egrant par parties, calculer I _k = R +∞

0 t ^2k e ^−t

dt en fonction de I ₀ .

Exercice V. 1. Calculer, pour x > 1, R x 1

dt

t

. En d´ eduire que R +∞

1 dt

t

converge et calculer sa valeur.

2. Calculer, pour 1 > x > 0, R 1 x

√ dt

t . En d´ eduire que R 1 0

√ dt

t converge et calculer sa valeur.

Exercice VI. Soit x ∈]0, 1]. Calculer G(x) = R 1

x ln(t)dt (int´ egrer par parties). En d´ eduire que l’int´ egrale R 1

0 ln(t)dt est convergente.

Exercice VII. Comparaison, ´ equivalents Nature des int´ egrales R +∞

1 dt

1+t

, R +∞

1 t

1+t

dt, R +∞

1

t

+t

+t

t

+t

dt, R +∞

1 (1+ ¹ _t )e ^−t dt, R 1 0

1+t √ t dt, R 1

0 e

t

dt,

1

R 1 0

t

1+t dt (a ∈ R ).

Exercice VIII. Probl` eme de convergence aux deux bornes 1. Nature des int´ egrales R +∞

0 1+t

t

dt, R +∞

0 1+t √

t dt, R +∞

−∞ e ^−t dt et R +∞

−∞ e ^−t

dt.

2. L’´ etudiant A pr´ etend que l’int´ egrale R +∞

−∞ t ² dt diverge et l’´ etudiant B que cette int´ egrale converge parce que R x

−x t ² dt = 0 pour tout x ≥ 0. Qui a raison ? Exercice IX. Convergence absolue

Nature des int´ egrales R +∞

1

cos(t)

t

dt et R +∞

1

(1+t) sin(t) t

dt.

Exercice X. Comparaison s´ erie-int´ egrale 1. Calculer, pour tout r´ eel x ≥ 2, R x

2 1 t ln(t) dt.

2. En d´ eduire que R +∞

2 1

t ln(t) dt est divergente.

3. Montrer que, pour tout r´ eel t ≥ 2, la fonction t 7→ _{t ln} ¹ _t est d´ ecroissante.

4. En d´ eduire que P ₁

n lnn est divergente.

Exercice XI. Comparaison s´ erie-int´ egrale (bis) 1. Calculer, pour tout r´ eel x ≥ 1, R x

1 ln(t)

t

dt (utiliser une IPP).

2. En d´ eduire que R +∞

1 ln(t)

t

dt est convergente et vaut 1.

3. Sens de variation de la fonction t 7→ ^ln(t) _t

(t positif assez grand).

4. En d´ eduire que P ln(n)

n

est convergente.

Exercice XII. Emploi d’une int´ egration par parties 1. Nature de R +∞

1

cos(t) t

dt.

2. Montrer que pour tout X ≥ 1 on a Z X

1

sin(t)

t dt = [− cos(t) t ] ^X ₁ −

Z X

1

cos(t) t ² dt.

3. En d´ eduire que R +∞

1

sin(t)

t dt converge.

4. Nature de R +∞

0

sin(t) t dt.

Exercice XIII. Emploi d’une int´ egration par parties (bis) Montrer que R +∞

1

sin(t

)

t

dt converge. En d´ eduire que R +∞

1 cos(t ² )dt converge (indication : on pourra remarquer que cos(t ² ) = ^t _t cos(t ² ) si t 6= 0 puis effectuer une int´ egration par parties).

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