Sup PCSI 2 — Colle n◦ 5 et 6 — Quinzaine du 13/10 au 24/10
Les points marqu´es d’un • peuvent faire l’objet de questions de cours avec d´emonstrations d´etaill´ees. Les points marqu´es d’un ◮ se prˆetent particuli`erement `a des exercices.
1 R´ evisions : calculs
Equations, trigonom´etrie, int´egrales, complexes. . .´
2 Op´ erateurs
Pet
Q◮Manipulation des op´erateursP etQ
: propri´et´es alg´ebriques, changement d’indices, t´elescopage.
•Calcul de Snp= X
16k6n
kp, pourp∈[[1,3]].
◮Permutation des op´erateurs dans le cas de sommeshhdoublesii.
•Formule deBernoulli:an−bn= (a−b) X
06k<n
akbn−1−k.
•Simplification de X
06k6n
cos(kx) et X
16k6n
sin(kx).
•Formule du binˆome : preuve par r´ecurrence.
3 Int´ egration
• La notion de fonction continue a ´et´e d´efinie sans recours `a la notion de limite : on a simplement ´enum´er´e une famille de fonctions continueshhde baseii, et donn´e des r`egles permettant de prouver qu’une fonction est continue (somme, produit, quotient, compos´ee).
•Les fonctions d´erivables sont continues. NotationsC(I,R),Cn(I,R) etC∞(I,R).
•D´efinition des primitives d’une fonction sur un intervalleI. On admet que toute fonction continue sur un intervalleI poss`ede des primitives sur cet intervalle. On montre que la diff´erence entre deux primitives def surI est constante.
L’int´egrale sur [a, b] d’une fonction continuef est d´efinie comme la variation sur [a, b] d’une primitive def sur cet intervalle ; cette variation ne d´epend pas de la primitive choisie.
•L’int´egrale ainsi d´efinie est lin´eaire et positive.
•Extension de la notation Z b
a
f(t)dtaux casa=b, puisa > b. Relation deChasles.
•Si f ∈ C¡
[a, b],R+¢ v´erifie
Z b
a
f(t)dt= 0, alorsf = 0 (sous r´eserve quea < b).
•In´egalit´e
¯
¯
¯
¯ Z b
a
f(t)dt
¯
¯
¯
¯ 6
Z b
a
¯¯f(t)¯
¯dt. Sia < b, on a l’´egalit´e ssif est de signe constant.
•In´egalit´e deCauchy-Schwarz; le cas d’´egalit´e a ´et´e vu, et est exigible.
•Formule d’int´egration par parties. Les ´etudiants doiventIMP ´ERATIVEMENT, lors de son application, exhiber deux fonctions de classeC1.
•Formule deTayloravec reste int´egral.
•In´egalit´e deTaylor-Lagrange.
◮Calculs pratiques, en particulier : int´egration par parties.
• Partage d’un intervalle. Sommes de Riemann. Si f ∈ C¡
[0,1],R), convergence (non exigible) de 1
n
n−1
X
k=0
f³k n
´vers Z 1
0
f(t)dt.
◮Applications `a des calculs de limites.
•◮Changement de variable.
